培養(yǎng)小學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng) (2).doc

培養(yǎng)小學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)曾子墨是鳳凰衛(wèi)視節(jié)目主持人，她年輕漂亮，事業(yè)有成。其實(shí)，曾子墨能取得今天的成就和她自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)有很大關(guān)系，1996年，在參加全球最負(fù)盛名的投資銀行摩根斯坦利的面試時(shí)，一位分析員問她：“如果你找到一份工作，薪水有兩種支付方式：一年12000美元，一次性全部給你；同樣一年12000美元，按月支付，每月1000美元。你怎么選擇？”這兩種支付方式總數(shù)相同，按常規(guī)理解，無(wú)所謂隨便選擇一種就行。但曾子墨卻說(shuō)：“這取決于現(xiàn)在的實(shí)際利率。如果實(shí)際利率是正數(shù)，我選第一種；如是負(fù)數(shù)，我選擇第二種；如果是零，兩者一樣。同時(shí)，我還會(huì)考慮機(jī)會(huì)成本，即便實(shí)際利率是負(fù)數(shù)，假如有好的投資機(jī)會(huì)能帶來(lái)更多的回報(bào)，我還是選擇第一種?！苯又?，那位分析員又提問：“9枚硬幣，有一枚重量和其他的不一樣，你用兩只手，至少幾次可以找出這枚硬幣？”曾子墨毫不猶豫地回答：“三次。” “還是9枚硬幣，改變其中的一個(gè)條件，兩次就可以找出這枚特殊的硬幣，這個(gè)條件應(yīng)該怎樣改變？”“告訴我這枚特殊的硬幣比其它的硬幣重還是輕。”就這樣，曾子墨以她出色的表現(xiàn)，征服了所有分析員。最終在她的評(píng)定書上寫的是：不惜代價(jià)，一定要雇傭！數(shù)學(xué)素養(yǎng)聽起來(lái)好像很深?yuàn)W、很生疏，其實(shí)它時(shí)時(shí)滲透在我們的日常生活中，如：商場(chǎng)打折信息、家庭投資理財(cái)問題等。那什么是數(shù)學(xué)素養(yǎng)？對(duì)于數(shù)學(xué)素養(yǎng)的解釋，到目前為止還沒有一個(gè)嚴(yán)格的、統(tǒng)一的定義。有人認(rèn)為“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”是人在先天基礎(chǔ)上，受后天環(huán)境、數(shù)學(xué)教育等影響，所獲得的數(shù)學(xué)知識(shí)技能、數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)觀念和數(shù)學(xué)思維品質(zhì)等融于身心的一種比較穩(wěn)定的心理狀態(tài)。用南開大學(xué)顧沛教授的話說(shuō)：“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”就是把所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)都排出或忘掉后剩下的東西。小學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)包括數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、統(tǒng)計(jì)觀念、數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)五種數(shù)學(xué)意識(shí)，數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)理解、數(shù)學(xué)交流、解決問題四種數(shù)學(xué)能力以及數(shù)學(xué)價(jià)值觀的發(fā)展。下面我從以下三個(gè)方面和大家談?wù)勎覍?duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的膚淺認(rèn)識(shí)：一、用數(shù)學(xué)的視角去認(rèn)識(shí)世界。二、用數(shù)學(xué)的方式去思考問題。三、用數(shù)學(xué)的方法解決問題。首先看第一個(gè)方面：用數(shù)學(xué)的視角去認(rèn)識(shí)世界數(shù)學(xué)意識(shí)的培養(yǎng)。什么是“數(shù)學(xué)意識(shí)”呢？舉一個(gè)例子，假如學(xué)生會(huì)計(jì)算“484”，說(shuō)明學(xué)生具有除法的知識(shí)與技能。學(xué)生會(huì)解“有48個(gè)蘋果，平均每人分4個(gè)蘋果，可以分給多少人？”，說(shuō)明學(xué)生具有一定的分析問題、解決問題的能力，但都不能說(shuō)明學(xué)生具有數(shù)學(xué)意識(shí)。而在體育課上，48位學(xué)生在跳長(zhǎng)繩，教師共準(zhǔn)備了4根長(zhǎng)繩，由此學(xué)生能想到“484”這個(gè)算式，這就說(shuō)明學(xué)生具有一定的數(shù)學(xué)意識(shí)了。（一）理解數(shù)的意義與數(shù)的聯(lián)系，培養(yǎng)數(shù)感。在北京自然博物館有一塊展板：“1983年初在東北地區(qū)進(jìn)行的航行調(diào)查表明，在7000平方米的山林中僅發(fā)現(xiàn)兩只老虎，因此東北虎被列為一級(jí)保護(hù)動(dòng)物?！睂?duì)外經(jīng)貿(mào)大學(xué)的小楊認(rèn)為:一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的操場(chǎng)都比7000平方米大。如果在7000平方米的范圍里就有兩只老虎，那么老虎的數(shù)量應(yīng)該很多，怎么還會(huì)因此被列為一級(jí)保護(hù)動(dòng)物呢？那為什么那么多的參觀者對(duì)此說(shuō)明都熟視無(wú)睹，而小楊卻能發(fā)現(xiàn)其中的問題呢？一方面我認(rèn)為小楊善于觀察、思考，另一方面說(shuō)明小楊有很好的數(shù)感。“數(shù)感”，就是對(duì)數(shù)的本質(zhì)的理解和感覺。數(shù)的本質(zhì)是“多與少”或者“大與小”，從而過(guò)渡到數(shù)的順序。有關(guān)“數(shù)感”問題我們可以追溯到動(dòng)物的感知，比如說(shuō)條狗，它可能敢與一匹狼爭(zhēng)斗，但如果有兩匹狼它就會(huì)害怕，如果面對(duì)一群狼它就會(huì)逃跑。這說(shuō)明動(dòng)物也知道“多與少”。在數(shù)：科學(xué)的語(yǔ)言一書中記載了這樣一件事：一只烏鴉在一家莊園的望樓頂上建了個(gè)鳥巢，莊園主對(duì)此很生氣，決心殺死這只烏鴉?？墒?，每當(dāng)莊園主走進(jìn)望樓，烏鴉就離巢而去，直到莊園主走出望樓才回巢。莊園主就想了一個(gè)辦法，他找來(lái)個(gè)朋友，兩人一起進(jìn)去，然后走出一人，希望留下一個(gè)人去殺烏鴉，但是烏鴉并沒有上當(dāng)回巢。后來(lái)又三人進(jìn)去兩人出來(lái)，四人進(jìn)去三人出來(lái)，依然如故。直到五人進(jìn)去四人出來(lái)，烏鴉才分辨不清，回巢了。這說(shuō)明烏鴉關(guān)于數(shù)的悟性至少可以分辨到4或5。如果人不會(huì)數(shù)數(shù)的話，能辨別到幾呢?實(shí)驗(yàn)表明，人也只能辨別到4或5。由此可以推斷，在數(shù)學(xué)方面，發(fā)明了計(jì)數(shù)之后，人類才與動(dòng)物產(chǎn)生了本質(zhì)的差異。有了“多少”這一概念，人類才能理解“有序”、“后繼數(shù)”等概念。從l開始，借助“后繼數(shù)”，便形成了自然數(shù)系；通過(guò)自然數(shù)的四則運(yùn)算，形成了有理數(shù)系；通過(guò)有理數(shù)的代數(shù)運(yùn)算，最終形成了實(shí)數(shù)系。所以，“多少”的概念，以及由其自然產(chǎn)生而不是通過(guò)運(yùn)算產(chǎn)生的自然數(shù)，才是數(shù)學(xué)最本質(zhì)的概念，也是小學(xué)數(shù)學(xué)的根基。因此，培養(yǎng)小學(xué)生的“數(shù)感”是低學(xué)段教學(xué)的重點(diǎn)。其實(shí)學(xué)生入學(xué)前就已經(jīng)知道了不少數(shù)，但那只是他們憑生活經(jīng)驗(yàn)認(rèn)識(shí)的數(shù)，對(duì)數(shù)他們只是有一種非?！澳w淺”的表層認(rèn)識(shí)，我們的任務(wù)就是讓這些成人看起來(lái)非常抽象的數(shù)，在孩子的腦子中逐漸豐富起來(lái)，富有“數(shù)的內(nèi)涵”。一年級(jí)上冊(cè)第五單元學(xué)習(xí)1120各數(shù)的認(rèn)識(shí)，本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是，讓學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作初步認(rèn)識(shí)和數(shù)位“個(gè)位”、“十位” 和 計(jì)數(shù)單位“一”、“十”；理解同一數(shù)字在不同位置表示不同的數(shù)值。一上課我通過(guò)猜數(shù)游戲引出“11”這個(gè)數(shù)，然后要求學(xué)生把11根小棒擺在桌面上，讓別人一眼就能看出是11根。當(dāng)學(xué)生把11根分成10根和1根兩部分后，接著讓他們把10根捆在一起。這時(shí)告訴大家，和同學(xué)們一樣，數(shù)也有自己的位置，并出示數(shù)位筒，認(rèn)識(shí)個(gè)位和十位。1根小棒表示1個(gè)一應(yīng)放在個(gè)位筒里，1捆小棒表示1個(gè)十應(yīng)放在十位筒里。另外，學(xué)生通過(guò)1個(gè)十和10個(gè)一的相互轉(zhuǎn)化過(guò)程，體會(huì) “數(shù)位”“計(jì)數(shù)單位”概念的實(shí)際意義，建立“數(shù)位”和“計(jì)數(shù)單位”的概念。同時(shí)，“數(shù)位筒”的教學(xué)又在不知不覺中對(duì)后面“份”的概念的教學(xué)起到了非常微妙的作用，從份的概念來(lái)分析，把這“10”根小棒捆成1捆，就是把10根小棒看成1份。學(xué)完后我問學(xué)生當(dāng)你看到20你想到了什么？劉鈺杰說(shuō)：“我穿20號(hào)的鞋子。”劉翔宇說(shuō)；“20十位上是2，個(gè)位上是0?！倍庞昝日f(shuō)：“我有20支新鉛筆?！倍≈袓拐f(shuō)：“20比11大多了?！比绻覀儾唤o孩子說(shuō)的自由，大概就沒機(jī)會(huì)知道孩子心中的數(shù)有如此豐富的內(nèi)涵了。（二）經(jīng)歷符號(hào)化過(guò)程，培養(yǎng)符號(hào)意識(shí)。英國(guó)著名數(shù)學(xué)家羅素說(shuō)過(guò)：“什么是數(shù)學(xué)？數(shù)學(xué)就是符號(hào)加邏輯?！狈?hào)意識(shí)，主要是指能夠理解并且運(yùn)用符號(hào)表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；知道使用符號(hào)可以進(jìn)行一般性的運(yùn)算和推理。學(xué)生在生活中能接觸到很多像停車標(biāo)志、奧運(yùn)五環(huán)標(biāo)志等用符號(hào)表示的情境，所以有一定的符號(hào)經(jīng)驗(yàn)。上學(xué)期學(xué)習(xí)“統(tǒng)計(jì)我們的鞋碼”時(shí)，我就利用學(xué)生已有的符號(hào)經(jīng)驗(yàn)，鼓勵(lì)他們用自己喜歡的方式進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，有的學(xué)生寫數(shù)，有的畫“”，還有的用“、”等圖形表示。記得王老師在教學(xué)“用數(shù)對(duì)確定位置”時(shí)，先通過(guò)呈現(xiàn)學(xué)生熟悉的教室里的座位這一具體場(chǎng)景，激活學(xué)生頭腦中已有的描述物體位置的經(jīng)驗(yàn)；通過(guò)交流，學(xué)生產(chǎn)生用一致的方式來(lái)表示位置的需求。然后把具體的場(chǎng)景圖逐步抽象成圓圈圖、網(wǎng)絡(luò)圖這種平面圖，并讓經(jīng)歷用數(shù)對(duì)表示位置的過(guò)程。這樣學(xué)生就經(jīng)歷了“具體事物個(gè)性化地符號(hào)表示學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)化表示”的學(xué)習(xí)過(guò)程，體會(huì)到引入符號(hào)的必要性以及數(shù)學(xué)符號(hào)的簡(jiǎn)潔與實(shí)用，培養(yǎng)了學(xué)生的符號(hào)意識(shí)，發(fā)展空間觀念。當(dāng)然數(shù)學(xué)符號(hào)的產(chǎn)生和發(fā)展過(guò)程并不是一帆風(fēng)順的，如，阿拉伯?dāng)?shù)字的誕生和使用就是一個(gè)漫長(zhǎng)的過(guò)程，我們可以結(jié)合數(shù)的認(rèn)識(shí)的教學(xué)向?qū)W生介紹數(shù)字誕生的歷史，讓學(xué)生了解數(shù)字符號(hào)的發(fā)展史，感受數(shù)學(xué)文化的無(wú)窮魅力。（三）實(shí)踐操作與數(shù)學(xué)思考相結(jié)合，培養(yǎng)空間觀念空間觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運(yùn)動(dòng)和變化；依據(jù)語(yǔ)言描述畫出圖形等。我們就生活在宇宙這個(gè)大空間里，如，你想邀請(qǐng)別人去你家做客，就要說(shuō)清楚你家的方位及去你家的行走路線。還有，我們的樓房，就要經(jīng)歷先有設(shè)計(jì)師把頭腦中的實(shí)物抽象成平面圖形，再由建筑師負(fù)責(zé)把它轉(zhuǎn)化為實(shí)物的過(guò)程。教學(xué)時(shí)，我們要充分利用學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)，找準(zhǔn)發(fā)展空間觀念的支點(diǎn)。上學(xué)期在學(xué)習(xí) “方向與位置”時(shí)，我把學(xué)生帶到操場(chǎng)上，利用學(xué)生已有的“太陽(yáng)從東方升起”的生活經(jīng)驗(yàn)，先確定東方，再來(lái)認(rèn)識(shí)其他三個(gè)方向。這樣就把教學(xué)視野拓展到了生活空間，利用生活原型來(lái)有效促進(jìn)學(xué)生空間觀念的發(fā)展?？臻g觀念的發(fā)展不僅需要豐富的現(xiàn)實(shí)情境、而且需要大量的操作活動(dòng)。在教學(xué)“體積和容積”時(shí)，有位教師就利用從粉筆盒抽出粉筆和放回粉筆的動(dòng)態(tài)過(guò)程，把抽象的數(shù)學(xué)概念具體化，讓“物體占有空間的大小”變得可觀察、可感受。還有在學(xué)習(xí)“搭一搭”時(shí)，老師先出示兩幅從物體前面和右面觀察到的平面圖：前面：右面：然后讓學(xué)生通過(guò)想一想、搭一搭、說(shuō)一說(shuō)等活動(dòng)，知道有多種可能的情況，不能確定物體的具體形狀。這時(shí)老師又出示從上面看到的平面圖。上面：最后，大家通過(guò)想一想、搭一搭確定了物體的形狀。在這里，教學(xué)過(guò)程把學(xué)生的觀察、操作、想象、思考、交流等活動(dòng)結(jié)合起來(lái)，發(fā)揮學(xué)生的空間想象力，實(shí)現(xiàn)了二維平面與三維空間之間的轉(zhuǎn)化，有效促進(jìn)了活動(dòng)的內(nèi)化及空間觀念的形成。（四）經(jīng)歷統(tǒng)計(jì)活動(dòng)的全過(guò)程，培養(yǎng)統(tǒng)計(jì)觀念我們幾乎每天都要和數(shù)據(jù)打交道，如：“今日滬綜指開于2845.33點(diǎn)，跌幅1.07%，成交額679.80億元?！薄拔覈?guó)1.91億畝作物受旱，422萬(wàn)人飲水困難”，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行收集、整理、分析是我們每位公民的基本素養(yǎng)之一。統(tǒng)計(jì)就是一個(gè)包括數(shù)據(jù)的收集、整理、描述和分析的完整過(guò)程。小學(xué)生學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)的核心目標(biāo)是發(fā)展“統(tǒng)計(jì)觀念”統(tǒng)計(jì)觀念的培養(yǎng)僅靠訓(xùn)練是難以形成的，必須讓學(xué)生去親身體驗(yàn)。如，上學(xué)期學(xué)校舉辦“陽(yáng)光女孩節(jié)”，我班就開展了一次“應(yīng)多買些什么顏色的氣球”的調(diào)查。學(xué)生經(jīng)歷了收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、描述數(shù)據(jù)，通過(guò)交流，作出決策的統(tǒng)計(jì)活動(dòng)。在活動(dòng)中學(xué)生體會(huì)到統(tǒng)計(jì)的必要性以及統(tǒng)計(jì)的作用。現(xiàn)代公共媒體已經(jīng)大量使用統(tǒng)計(jì)圖來(lái)表示信息，能看懂生活中常見的統(tǒng)計(jì)圖表是現(xiàn)代公民重要的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。因此，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)教學(xué)時(shí)，應(yīng)將學(xué)習(xí)重點(diǎn)放在引導(dǎo)學(xué)生讀懂統(tǒng)計(jì)圖表、會(huì)分析圖表中的數(shù)據(jù)并進(jìn)行必要的推理上，而不是放在制作統(tǒng)計(jì)圖表上。如，一位同學(xué)調(diào)查了自己班上的5位男同學(xué)，其中有4位同學(xué)喜歡打籃球，便得出結(jié)論他班80%的同學(xué)喜歡打籃球。我們就要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)來(lái)源、數(shù)據(jù)處理的方法以及由此得到的結(jié)論進(jìn)行合理的質(zhì)疑，使學(xué)生對(duì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)有較全面、正確的認(rèn)識(shí)。（五）注重?cái)?shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)有一次，我的好朋友不好意思的問我：在超市買東西時(shí)，你好不好看同一產(chǎn)品不同的包裝的價(jià)格，然后比較一下哪個(gè)便宜再買？其實(shí)，我們學(xué)知識(shí)為了什么？不就是用嗎？學(xué)了不讓它為我們的生活服務(wù)，我們學(xué)它干什么。比如，同樣是光明純鮮牛奶：大包裝1000ml,8元/桶；小包裝220ml，2元/盒。通過(guò)計(jì)算10008=1250（ml/元）2202=110（ml/元）可以知道，同樣1元錢，可以多喝15 ml牛奶，如果家庭人口比較多，當(dāng)然選擇大包裝合算。什么是數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)呢？數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法的心理傾向，主動(dòng)嘗試用數(shù)學(xué)知識(shí)、方法、策略、思想去思考和解決遇到的現(xiàn)實(shí)問題?？磥?lái)我這位朋友就有很好的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。在教學(xué)中我們要有意識(shí)的引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注生活中的這些數(shù)學(xué)問題，讓他們體會(huì)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義以及數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，養(yǎng)成用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活的習(xí)慣。培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和實(shí)踐能力，僅靠課堂上的學(xué)習(xí)體驗(yàn)是不夠的，我們還要安排一些有意思的實(shí)踐活動(dòng)，把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)延伸到課外。在認(rèn)識(shí)“厘米和米”時(shí)，一位教師就安排了四次課外實(shí)踐活動(dòng)：（一）請(qǐng)你和爸爸、媽媽一起用腳量一量你的小房間的長(zhǎng)。通過(guò)活動(dòng)，讓學(xué)生體驗(yàn)到同一物體用不同的長(zhǎng)度單位量，會(huì)得到不同的結(jié)果；其次讓學(xué)生在學(xué)習(xí)長(zhǎng)度單位前，對(duì)長(zhǎng)度單位先有一個(gè)廣義的了解，并在與爸爸媽媽合作的過(guò)程中感受學(xué)習(xí)的快樂。（二）請(qǐng)你和同桌一起用一拃來(lái)量一量課桌的長(zhǎng)。通過(guò)本活動(dòng)，學(xué)生再一次體驗(yàn)到同一物體用不同的長(zhǎng)度單位量，會(huì)得到不同的結(jié)果，同時(shí)讓學(xué)生感受到就自己的一拃在量的過(guò)程中長(zhǎng)短也在變化，這樣量不準(zhǔn)確，最好用一個(gè)比較準(zhǔn)一點(diǎn)的工具來(lái)量。（三）請(qǐng)你用數(shù)學(xué)書來(lái)量一量你的小房間和課桌的長(zhǎng)。通過(guò)這一活動(dòng)，學(xué)生感悟到用同樣的長(zhǎng)度單位去量，可以比較物體的長(zhǎng)短，但這樣的長(zhǎng)度單位在敘述時(shí)很不方便，適用范圍也小，既不能量比較長(zhǎng)的物體，如操場(chǎng)，也不能量比較小的物體，如橡皮，從而感受到需要有一種統(tǒng)一的測(cè)量工具和統(tǒng)一的長(zhǎng)度單位。（四）請(qǐng)你用尺子來(lái)量一量你的小房間和課桌的長(zhǎng)。通過(guò)這次活動(dòng)，學(xué)生加深了對(duì)厘米和米的認(rèn)識(shí)，同時(shí)建立了法定長(zhǎng)度單位與生活中長(zhǎng)度單位間的聯(lián)系，熟練掌握了用尺子來(lái)量物體的長(zhǎng)度的方法。第二個(gè)方面：用數(shù)學(xué)的方式思考問題數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)。（一）數(shù)形結(jié)合，發(fā)展學(xué)生的形象思維小學(xué)生的思維處于形象思維向抽象思維過(guò)渡的階段。數(shù)是形的抽象，形是數(shù)的表現(xiàn)。“數(shù)形結(jié)合”能幫助學(xué)生生成正確的數(shù)學(xué)表象，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解。案例一：“千克與克”的認(rèn)識(shí)屬于概念教學(xué)，內(nèi)容相對(duì)比較抽象，學(xué)生理解有一定困難。在學(xué)習(xí)千克的時(shí)候，我設(shè)計(jì)了一個(gè)找1千克的環(huán)節(jié)。我讓學(xué)生一只手掂著1千克重的洗衣粉，另一只手掂一掂袋子里的東西，估一估哪袋東西也重1千克。人對(duì)物體質(zhì)量的直觀感知，除了掂一掂然后估一估之外，很重要的一種方式是根據(jù)具體實(shí)物的數(shù)量來(lái)進(jìn)行簡(jiǎn)單推斷。因此，在評(píng)價(jià)學(xué)生“克與千克”知識(shí)掌握程度時(shí)，經(jīng)常要考查學(xué)生“5個(gè)蘋果約重（）千克”、“1箱蘋果重10（）”。我們大人根據(jù)一般的生活經(jīng)驗(yàn)，都能做出簡(jiǎn)單的估計(jì)。但剛上三年級(jí)的小學(xué)生，生活經(jīng)驗(yàn)比較少，或者平時(shí)經(jīng)歷了但沒有留心，臨到做題時(shí)只能瞎猜。而且同樣質(zhì)量的物體，每個(gè)物體的大小不同，物體的數(shù)量也不同。這就要求教師在課堂上通過(guò)實(shí)踐活動(dòng)，喚醒學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，提醒他們注意積累對(duì)質(zhì)量的體驗(yàn)。比如，學(xué)生掂、稱出1千克蘋果、面粉等后，讓學(xué)生數(shù)一數(shù)、看一看，就能發(fā)現(xiàn)4個(gè)蘋果約重1千克，2瓶礦泉水約重1千克，1千克黃豆（約4000粒）有幾捧。讓學(xué)生將抽象的1千克數(shù)學(xué)概念與具體事物的數(shù)量、體積聯(lián)系起來(lái)，能幫助學(xué)生有效建立1千克的質(zhì)量概念，化抽象的概念為可以看得見的數(shù)學(xué)事實(shí)。（二）精心組織數(shù)學(xué)活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生初步的推理能力推理是由一個(gè)或幾個(gè)已知判斷得出新判斷的思維過(guò)程。根據(jù)小學(xué)生的年齡特征，小學(xué)生的推理能力應(yīng)以合情推理為主。偉大的科學(xué)家牛頓認(rèn)為：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)。”數(shù)學(xué)猜想是合情推理發(fā)展的基礎(chǔ)?！安孪腧?yàn)證”是一種重要的推理策略。在教學(xué)“圓錐的體積”時(shí)，老師要求學(xué)生把圓柱形的胡蘿卜削成等高的圓錐，并猜測(cè)圓錐的體積與圓柱體積的關(guān)系。有的認(rèn)為是圓柱的1/2,有人認(rèn)為是1/3,也有人認(rèn)為介于1/2和1/3之間。在上述案例中，學(xué)生借助觀察與實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了大膽猜想；我們也可以運(yùn)用類比提出猜想，如根據(jù)“長(zhǎng)方體的體積=底面積高”，可以類比推斷出“圓柱的體積=底面積高”。由于合情推理的結(jié)果具有不確定性，所以我們要采用實(shí)例法和演繹法對(duì)結(jié)論進(jìn)行論證，并以實(shí)例驗(yàn)證為主。實(shí)例驗(yàn)證，主要是通過(guò)舉例的方法進(jìn)行，可以舉反例，推翻原來(lái)的結(jié)論或猜想。也可以舉出正例，運(yùn)用不完全歸納法驗(yàn)證猜想使原來(lái)的結(jié)論更加可靠。下面我們來(lái)看學(xué)生是怎樣驗(yàn)證“3的倍數(shù)的特征”的。當(dāng)學(xué)生根據(jù)2、5的倍數(shù)的特征猜測(cè)：個(gè)位上是3、6、9的數(shù)是3的倍數(shù)后，學(xué)生就用反例進(jìn)行了驗(yàn)證：生1：個(gè)位上是3、6、9的數(shù)不一定是3的倍數(shù)，如13、16、19都不是3的倍數(shù)。生2：像60、12、27等個(gè)位上不是3、6、9，但這些數(shù)都是3的倍數(shù)。通過(guò)探索初步得出：“一個(gè)數(shù)每個(gè)數(shù)位上的數(shù)字和是3的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就是3的倍數(shù)”這一結(jié)論后，學(xué)生又用“舉例歸納”的方法進(jìn)行了驗(yàn)證：如有的學(xué)生發(fā)現(xiàn)“在1100的自然數(shù)中，是3的倍數(shù)的，各位數(shù)位的數(shù)字和都是3的倍數(shù)。110、145各數(shù)位數(shù)字之和不是3的倍數(shù)，這些數(shù)就不是3的倍數(shù)?！弊詈?，教師還引導(dǎo)學(xué)生利用3根小棒在數(shù)位表中擺數(shù)，用“操作歸納”的方法進(jìn)一步驗(yàn)證了結(jié)論。隨著年級(jí)的升高，我們應(yīng)該結(jié)合課堂上的學(xué)習(xí)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)一些有效的演繹推理方法。如，17世紀(jì)著名的數(shù)學(xué)家萊布尼茲就一絲不茍地利用數(shù)學(xué)的演繹法論證了“22=4”，22=2（1+1）=2+2=2+（1+1）=（2+1）+1=3+1=4，這里運(yùn)用了自然數(shù)的意義、乘法分配律、加法結(jié)合律等知識(shí)進(jìn)行論證。小學(xué)生的推理能力往往不是靠“傳授”得來(lái)的，而是在自主參與的推理活動(dòng)中“領(lǐng)悟”出來(lái)的。數(shù)學(xué)推理能力的培養(yǎng)并不僅局限于課堂，一些有效的課外活動(dòng)及游戲方式同樣是培養(yǎng)推理能力的良好途徑。（三）把握整體，突破常規(guī)，培養(yǎng)直覺思維能力愛因斯坦說(shuō)：“真正可貴的思維是直覺思維?！敝庇X思維是人腦對(duì)事物、問題、現(xiàn)象的某種直接的領(lǐng)悟和洞察的一種思維形式。在教學(xué)中，要培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維能力。首先，要提高學(xué)生整體把握知識(shí)的能力。如小明今年8歲，他媽媽今年36歲，再過(guò)6年，媽媽比小明大幾歲？按一般的思維方式，此題列式是“（36+6）-（8+6）”，但具有良好的直覺思維的學(xué)生就會(huì)簡(jiǎn)化信息與問題間的距離，直接列式為“36-8”.其次，要選擇合適的問題和形式，訓(xùn)練學(xué)生的直覺思維。如問題1：計(jì)算（1+3+5+2007）-（2+4+6+2006），教師可以引導(dǎo)學(xué)生觀察數(shù)據(jù)特點(diǎn)，從而產(chǎn)生直覺預(yù)見，去掉括號(hào)，將算式重組為1+（3-2）+（5-4）+（2007-2006）=1004。問題2：下面時(shí)間中，與你的年齡最接近的是（）。600時(shí)b600日c 600周d 600月本題是一道選擇題，只要求從四個(gè)選項(xiàng)中挑選一個(gè)合理的答案，省略了解題過(guò)程，允許學(xué)生運(yùn)用合理的猜想，有利于直覺思維的發(fā)展。最后一個(gè)方面:用數(shù)學(xué)的方法解決問題解決問題能力的培養(yǎng)。記得匈牙利著名數(shù)學(xué)家羅莎曾做過(guò)一個(gè)比喻：假如在一群專家面前有煤氣灶、水龍頭、水壺和火柴，要想燒開水，應(yīng)當(dāng)怎么做？大家都認(rèn)為應(yīng)先灌水，再點(diǎn)燃煤氣灶，然后放到火上燒，這是共同的認(rèn)識(shí)。但如果壺中已經(jīng)灌好水了，其它條件都不變，又該怎樣做？這時(shí)，多數(shù)專家會(huì)直接點(diǎn)燃煤氣灶，然后放在火上燒，而唯有數(shù)學(xué)家會(huì)把水倒掉，因?yàn)閿?shù)學(xué)家這時(shí)會(huì)用數(shù)學(xué)思維化歸思想來(lái)思考問題，把后一情形化歸為前面已經(jīng)熟悉的情形。比喻雖有點(diǎn)夸張，但它的確能說(shuō)明：與其他應(yīng)用科學(xué)家相比，數(shù)學(xué)家更善于用數(shù)學(xué)的思維方式來(lái)思考問題。能否用數(shù)學(xué)的思想、方法、策略等去解決數(shù)學(xué)問題或日常問題是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)高低的一個(gè)重要標(biāo)志。（一）讓運(yùn)用策略成為學(xué)生的一種思維習(xí)慣生活中的問題形式多樣、變化多端，我們不可能把所有問題讓學(xué)生一一嘗試解決。因此，“解決問題”的學(xué)習(xí)價(jià)值在于使學(xué)生積淀解決問題的基本思路和常用方法，積累解決問題的經(jīng)驗(yàn)，形成解決問題的基本策略。根據(jù)小學(xué)生的年齡特點(diǎn)，應(yīng)把畫圖、列表、猜想與驗(yàn)證、動(dòng)手操作等作為常用策略在教學(xué)中加以指導(dǎo)。很多問題都可以通過(guò)用“圖”解決或找到思路?！爱媹D”包括畫線段圖、示意圖等。線段圖是一種常見的圖式表征的形式，在一年級(jí)學(xué)習(xí)求一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多（少）幾的問題時(shí)，我就引導(dǎo)學(xué)生用線段圖來(lái)揭示數(shù)量關(guān)系：一班：二班：使問題變的直觀易解。畫示意圖是指用圖來(lái)模擬具體情境或事物運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程，如這樣一個(gè)問題：小船最初在南岸，從南岸駛向北岸，再?gòu)谋卑恶偦啬习?，不斷往返。小船擺渡21次后，船在南岸還是北岸？為什么？在教師的引導(dǎo)下學(xué)生畫出了示意圖。通過(guò)觀察得出結(jié)論：擺渡奇數(shù)次后，船在北岸；擺渡偶數(shù)次后，船在南岸。因?yàn)?1是奇數(shù)，所以船在北岸。畫圖直觀、明了，學(xué)生容易找到解題思路。列表也是一種重要的解決問題策略。列表可以幫助學(xué)生整理信息，并利用表格進(jìn)行分析推理；也可以幫助學(xué)生分析數(shù)量之間的關(guān)系、尋找規(guī)律。對(duì)于古代數(shù)學(xué)名題“雞兔同籠”：雞兔同籠，有20個(gè)頭，54條腿，雞、兔各有多少只？我們可以引導(dǎo)學(xué)生列表：頭（個(gè)）雞（只）兔（只）腿（條）201197820515702010106020155502014652這么多腿？一定是兔子太多了還多，兔子還應(yīng)減少比54少了，兔子數(shù)應(yīng)該在5和10之間然后用“猜想與嘗試”的策略找到解決問題的答案。其實(shí)“雞兔同籠”問題我們的關(guān)注點(diǎn)不是數(shù)學(xué)問題本身，而是要用“雞兔同籠”這個(gè)問題為載體讓學(xué)生經(jīng)歷列表、嘗試和不斷調(diào)整的過(guò)程，從中體會(huì)解決問題的一般策略?！皠?dòng)手操作”策略是利用實(shí)物操作或動(dòng)態(tài)模擬幫助學(xué)生思考問題。在各個(gè)學(xué)習(xí)領(lǐng)域都可以應(yīng)用動(dòng)手操作策略幫助學(xué)生理解知識(shí)、解決問題。如利用擺小棒理解算理、利用圖形剪拼探索組合圖形面積的計(jì)算方法等。當(dāng)遇到如“小軍去游泳池游泳，他在泳道內(nèi)游了兩個(gè)來(lái)回，共游了100米，這個(gè)游泳池的泳道有多長(zhǎng)？”這樣的問題，可以讓學(xué)生用手在桌面上模擬一下真實(shí)情境，理解“兩個(gè)來(lái)回”實(shí)際上就是4個(gè)泳道的長(zhǎng)。另外，在指導(dǎo)學(xué)生掌握和運(yùn)用這些方法和策略的同時(shí)，還應(yīng)結(jié)合適當(dāng)?shù)牟牧蠞B透一些基本的數(shù)學(xué)思想，如剛才提到的化歸思想，數(shù)學(xué)問題解決的最基本的形式就是化歸：把未知的問題化歸為已知的問題，把非典型的問題化歸為典型的問題，把非常規(guī)的問題化歸為常規(guī)問題。還有函數(shù)思想、集合思想等。（二）有效實(shí)現(xiàn)解決問題過(guò)程的兩次轉(zhuǎn)化周玉仁教授認(rèn)為：“在解決實(shí)際問題的過(guò)程中，小學(xué)生實(shí)際上完成了兩個(gè)轉(zhuǎn)化。從紛亂的實(shí)際問題中獲取有用的信息，抽象成數(shù)學(xué)問題，這是第一個(gè)轉(zhuǎn)化。然后分析其間的數(shù)量關(guān)系，用數(shù)學(xué)方法求解或近似解，并在實(shí)際中檢驗(yàn)，這是第二個(gè)轉(zhuǎn)化?！币虼?，我們要加強(qiáng)對(duì)學(xué)生解決問題過(guò)程的指導(dǎo)，促進(jìn)學(xué)生較好地完成這“兩次轉(zhuǎn)化”，提高他們解決問題的能力。1.注重“問題表征”方法與策略的指導(dǎo)，促進(jìn)“問題情境”向“數(shù)學(xué)問題”的轉(zhuǎn)化表征問題的方式一般分為內(nèi)部表征和外部表征兩種。內(nèi)部表征（也稱心理表征），是指在頭腦中表征問題，對(duì)于信息少、數(shù)量關(guān)系簡(jiǎn)單的問題，學(xué)生一般用內(nèi)部表征就能解決。外部表征是指把有關(guān)信息與問題用圖形、表格等方式表示出來(lái)。外部表征的形式很多，像信息摘錄、畫圖呈現(xiàn)等。根據(jù)小學(xué)生的特點(diǎn)，教學(xué)中要加強(qiáng)外部表征方式的指導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生讀懂問題情境，摘錄下有用信息，實(shí)現(xiàn)“問題情境”向“數(shù)學(xué)問題”的轉(zhuǎn)化。心理表征有兩種基本的策略直接轉(zhuǎn)換策略和問題模型策略。使用直接轉(zhuǎn)換策略的學(xué)生只對(duì)題中的表面內(nèi)容進(jìn)行理解，比如看到“一共”就用加法，看到“少”就用減法；而使用問題模型策略的學(xué)生是對(duì)每個(gè)信息都進(jìn)行表征，理解各信息之間的關(guān)系，再進(jìn)行情境模型建構(gòu)。如這樣一個(gè)問題：學(xué)校體育室共有30個(gè)籃球，四（1）班借了20個(gè)籃球，又還回來(lái)8個(gè)，四（1）班還有幾個(gè)籃球沒有還？如果學(xué)生認(rèn)為“ 共有30個(gè)籃球，借走20個(gè)，算式是30-20，又還回來(lái)8個(gè)，所以算式是30-20+8”這說(shuō)明他使用的是直接轉(zhuǎn)換策略；如果學(xué)生認(rèn)為“借走20個(gè)，又還回來(lái)8個(gè)，所以沒有還的籃球數(shù)是20-8，30在這個(gè)問題中是多余信息”，這個(gè)學(xué)生使用的就是問題模型策略。教學(xué)中，教師要有針對(duì)性的指導(dǎo)，提高學(xué)生運(yùn)用“問題模型策略”表征問題的能力。2.注重?cái)?shù)量關(guān)系分析的指導(dǎo)，促進(jìn)從“數(shù)學(xué)問題”到“用數(shù)學(xué)方法解決”的轉(zhuǎn)化解決問題時(shí)，分析數(shù)量關(guān)系是從“數(shù)學(xué)問題”到“用數(shù)學(xué)方法解決”的“橋梁”。數(shù)量關(guān)系的建構(gòu)要結(jié)合具體的問題情境，除了“速度、時(shí)間、路程”和“單價(jià)、數(shù)量、總價(jià)”等常見的數(shù)學(xué)模型有必要進(jìn)行概括外，其他的數(shù)量關(guān)系就沒有必要作統(tǒng)一要求了。對(duì)于比較復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，教師要引導(dǎo)學(xué)生利用畫圖、列表等表征方式進(jìn)行分析。下面來(lái)看一個(gè)教學(xué)片斷：“解決角上重復(fù)計(jì)數(shù)問題”：在一個(gè)正方形的每條邊上放6個(gè)棋子，最少要用多少個(gè)棋子？教師鼓勵(lì)學(xué)生用畫圖的方式說(shuō)明自己的想法。結(jié)果出現(xiàn)了：生1：62+（6-2）2=20（個(gè)），我先算兩條邊的棋子數(shù)要12個(gè)，另外兩條邊只要增加4個(gè)就可以了。生2：角上4個(gè)棋子各重復(fù)了一次，我每條邊上只算一個(gè)，所以是54=20（個(gè)）。生3：角上的棋子重復(fù)了一次，所以是64-4=20(個(gè))。生4：角上的棋子可以先不算，所以是44+4=20(個(gè))。反饋交流后，再呈現(xiàn)第二個(gè)問題：在一個(gè)正方形的每條邊上擺100個(gè)棋子，最少要多少個(gè)呢？讓學(xué)生先把圖畫在腦子里，嘗試列式計(jì)算，最后畫圖驗(yàn)證。在上述案例中，教師引導(dǎo)學(xué)生用畫圖的方法進(jìn)行思考，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從具體到抽象，并把數(shù)學(xué)計(jì)算方法、圖形、數(shù)學(xué)語(yǔ)言說(shuō)明相結(jié)合，促進(jìn)了學(xué)生對(duì)方法的理解，提高了使用畫圖策略解決問題的能力。當(dāng)然，解決問題的策略是多樣化的，我們要鼓勵(lì)學(xué)生根據(jù)不同的問題來(lái)選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ê筒呗?，并將解決問題的策略內(nèi)化為個(gè)人的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，成為思考問題的一種習(xí)慣。（三）在交流與反思中促進(jìn)方法與策略的內(nèi)化解決問題經(jīng)驗(yàn)的積累、方法策略的內(nèi)化在很大程度上是交流與反思的結(jié)果。案例：“估計(jì)一版報(bào)紙有多少字”。老師先讓學(xué)生獨(dú)立思考后說(shuō)說(shuō)自己打算怎樣估計(jì)：生1：先估計(jì)一篇文章，再數(shù)出一共幾篇文章。生2：先估計(jì)一欄有多少字，再看一共有幾欄。生3：把報(bào)紙折成大小相等的幾塊，先估計(jì)一塊，再估計(jì)整版。接著讓學(xué)生在三種方法中選擇一種進(jìn)行估計(jì)。估計(jì)完再進(jìn)行交流。這兩次交流意義不同：第一次是交流估計(jì)的策略，通過(guò)交流使一部分還沒有想起策略的同學(xué)得到了啟發(fā)，估計(jì)時(shí)就不會(huì)茫然無(wú)序。第二次主要是交流具體的估計(jì)方法，在同學(xué)們的互相補(bǔ)充中來(lái)完善自己的方法。許多研究表明，學(xué)生在問題解決中之所以失敗，常常不是因?yàn)槿狈ο嚓P(guān)的知識(shí)和認(rèn)知策略，而是對(duì)知識(shí)和認(rèn)知策略的無(wú)效運(yùn)用。專家在研究問題時(shí)，會(huì)定期檢查解題過(guò)程，看看是否沿著一條正確的途徑，如果感覺沒有進(jìn)展，就會(huì)毫不猶豫地停下來(lái)，選擇其他途徑。學(xué)生的評(píng)價(jià)、反思意識(shí)和水平對(duì)提高學(xué)生解決問題的能力起著重要的作用，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解決問題的過(guò)程和方法進(jìn)行反思和評(píng)價(jià)，促進(jìn)“策略”的形成。總之，“解決問題”教學(xué)要變“教解法”為“策略指導(dǎo)”，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)從復(fù)雜的情境中解讀數(shù)學(xué)信息，注重解決問題過(guò)程中的體驗(yàn)和解決問題方法的積淀，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。記得聽過(guò)這樣一個(gè)故事：一位數(shù)學(xué)家的女兒從幼兒園放學(xué)回家，父親問她今天學(xué)到了什么？女兒高興的回答道：“我們今天學(xué)習(xí)了集合?！睌?shù)學(xué)家想，對(duì)這樣一個(gè)高度抽象的概念，到高中一年級(jí)才要學(xué)，女兒的年齡實(shí)在太小了。因此，他關(guān)切地問：“你懂嗎？”女兒肯定地回答：“懂！一點(diǎn)都不難。”父親還是放心不下，又追問道：“你們老師是怎樣教的？”女兒說(shuō)：“老師先讓班上的男孩子站起來(lái)，然后告訴大家，這就是男孩子集合；再讓所有女孩子站起來(lái)，并說(shuō)這就是女孩子集合；接下來(lái)，又是白人孩子的集合、黑人孩子的集合。老師最后問大家：是否都懂了？大家回答：都懂了?！甭犕昱畠旱臄⑹?，父親想檢驗(yàn)一下女兒的學(xué)習(xí)成果，就問:“我們能否把世界上所有的土豆組成一個(gè)集合呢？”女兒遲疑了一會(huì)兒，最終回答：“不行！除非它們都站起來(lái)?！笨磥?lái)在教學(xué)中我們不僅要注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)，重點(diǎn)培