2015年考研數(shù)學(xué)(三)真題及答案詳解.pdf

2015年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（三） 試題解析 一、選擇題:18小題,每小題4分,共32分.下列每題給出的四 個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求的,請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母 填在答題紙指定位置上. (1)設(shè)是數(shù)列,下列命題中不正確的是 ( ) (A) 若,則 (B) 若, 則 (C) 若,則 (D) 若,則 【答案】(D) 【解析】答案為D, 本題考查數(shù)列極限與子列極限的關(guān)系. 數(shù)列對(duì)任意的子列均有,所以A、B、C正確； D 錯(cuò)(D選項(xiàng)缺少的斂散性),故選D (2) 設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù),其2階導(dǎo)函數(shù)的圖形如右圖 所示,則曲線的拐點(diǎn)個(gè)數(shù)為 ( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】(C) 【解析】根據(jù)拐點(diǎn)的必要條件，拐點(diǎn)可能是 不存在的點(diǎn)或的點(diǎn)處產(chǎn)生.所以有三個(gè)點(diǎn)可能是拐 點(diǎn)，根據(jù)拐點(diǎn)的定義，即凹凸性改變的點(diǎn)；二階導(dǎo)函數(shù)符號(hào)發(fā)生改 變的點(diǎn)即為拐點(diǎn).所以從圖可知，拐點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，故選C. (3) 設(shè) ,函數(shù)在上連續(xù),則 ( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】(B) 【解析】根據(jù)圖可得，在極坐標(biāo)系下該二重積分要分成兩個(gè)積分區(qū) 域 所以 ， 故選B. (4) 下列級(jí)數(shù)中發(fā)散的是( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】(C) 【解析】A為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，因?yàn)?Image ，所以根據(jù)正項(xiàng) 級(jí)數(shù)的比值判別法收斂；B為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，因?yàn)?，根?jù) 級(jí)數(shù)收斂準(zhǔn)則，知收斂；C，根 據(jù)萊布尼茨判別法知收斂， 發(fā)散，所以根據(jù)級(jí)數(shù)收斂定義 知，發(fā)散；D為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，因?yàn)?Image ，所以根據(jù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值 判別法收斂，所以選C. (5)設(shè)矩陣,.若集合，則線性方程組有無窮多解的充分必要條件為 ( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】(D) 【解析】 ， 由，故或，同時(shí)或.故選（D） (6) 設(shè)二次型在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為，其中，若則在正交變換下 的標(biāo)準(zhǔn)形為( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】(A) 【解析】由，故. 且. 又因?yàn)?故有 所以.選（A） (7) 若為任意兩個(gè)隨機(jī)事件,則: ( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】(C) 【解析】由于，按概率的基本性質(zhì)，我們有且，從而，選 (C) . (8) 設(shè)總體為來自該總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本, 為樣本均值,則 ( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】(B) 【解析】根據(jù)樣本方差的性質(zhì)，而，從而，選(B) . 二、填空題：914小題,每小題4分,共24分.請(qǐng)將答案寫在答 題紙指定位置上. (9) 【答案】 【解析】原極限 (10)設(shè)函數(shù)連續(xù)，若則 【答案】 【解析】因?yàn)檫B續(xù)，所以可導(dǎo)，所以 ； 因?yàn)椋?又因?yàn)?，所?故 (11)若函數(shù)由方程確定，則 【答案】 【解析】當(dāng)，時(shí)帶入，得. 對(duì)求微分，得 把，代入上式，得 所以 (12)設(shè)函數(shù)是微分方程的解，且在處取得極值3，則 【答案】 【解析】的特征方程為，特征根為， ，所以該齊次微分方程的通解為，因?yàn)榭蓪?dǎo)，所 以為駐點(diǎn)，即 ，所以，故 (13)設(shè)3階矩陣的特征值為，其中E為3階單位矩陣，則行 列式 【答案】 【解析】的所有特征值為的所有特征值為 所以. (14)設(shè)二維隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則 【答案】 【解析】由題設(shè)知，而且相互獨(dú)立，從而 . 三、解答題：1523小題,共94分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指 定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. (15)(本題滿分10 分) 設(shè)函數(shù).若與在時(shí)是等價(jià)無窮小，求的值. 【答案】 【解析】法一： 因?yàn)椋?則有， Image ， 可得： Image ，所以， Image 法二： 由已知可得得 Image 由分母，得分子，求 得c； 于是 Image 由分母，得分子 ，求得 ； 進(jìn)一步，b值代入原式 Image Image ，求得 (16)(本題滿分10 分) 計(jì)算二重積分，其中 【答案】 【解析】 (17)(本題滿分10分) 為了實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)的最大化，廠商需要對(duì)某商品確定其定價(jià)模型，設(shè)為 該商品的需求量，為價(jià)格，MC為邊際成本，為需求彈性. (I) 證明定價(jià)模型為； (II) 若該商品的成本函數(shù)為，需求函數(shù)為，試由（I）中的定價(jià)模型確定 此商品的價(jià)格. 【答案】(I)略(II) . 【解析】(I)由于利潤(rùn)函數(shù),兩邊對(duì)求 導(dǎo)，得 . 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，利潤(rùn)最大，又由于,所以 , 故當(dāng)Image時(shí)，利潤(rùn)最大. (II)由于,則代入(I)中的定價(jià) 模型，得Image,從而解得. (18)(本題滿分10 分) 設(shè)函數(shù)在定義域上的導(dǎo)數(shù)大于零，若對(duì)任意的，曲線在點(diǎn)處的切線 與直線及軸所圍成區(qū)域的面積恒為4，且，求表達(dá)式. 【答案】 【解析】曲線的切線方程為，切線與 軸的交 點(diǎn)為 故面積為：. 故滿足的方程為,此為可分離變量的微分方程, 解得，又由于，帶入可得，從而 (19)(本題滿分 10分) （I）設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)定義證明 （II）設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，寫出的求導(dǎo)公式. 【答案】 【解析】（I） （II）由題意得 (20) (本題滿分 11分) 設(shè)矩陣，且. (I) 求的值； (II)若矩陣滿足，其中為3階單位矩陣，求. 【答案】 【解析】(I) (II)由題意知 ， (21) (本題滿分11 分) 設(shè)矩陣相似于矩陣. (I) 求的值； （II）求可逆矩陣，使為對(duì)角矩陣. 【答案】 【解析】(1) 的特征值 時(shí)的基礎(chǔ)解系為 時(shí)的基礎(chǔ)解系為 A的特征值 令， (22) (本題滿分11 分) 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為,對(duì)進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)的觀測(cè),直到第2個(gè)大于3 的觀測(cè)值出現(xiàn)時(shí)停止，記為觀測(cè)次數(shù) (I)求的概率分布； (II)求. 【答案】(I)， ； (II). 【解析】(I) 記為觀測(cè)值大于3的概率，則， 從而， 為的概率分布； (II) 法一:分解法: 將隨機(jī)變量分解成兩個(gè)過程,其中表示從到次試驗(yàn)觀測(cè)值大 于首次發(fā)生，表示從次到第試驗(yàn)觀測(cè)值大于首次發(fā)生. 則，(注：Ge表示幾何分布) 所以. 法二:直接計(jì)算 記，則， ， ， 所以， 從而. (23) (本題滿分11 分) 設(shè)總體的概率密度