很好的圓錐曲線(xiàn)歸納和例題.doc

2011年高考數(shù)學(xué)圓錐曲線(xiàn) 知識(shí) 歸納（1） 一試題趨勢(shì)近年來(lái)圓錐曲線(xiàn)在高考中比較穩(wěn)定，解答題往往以中檔題或以押軸題形式出現(xiàn)，主要考察學(xué)生邏輯推理能力、運(yùn)算能力，考察學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。但圓錐曲線(xiàn)在新課標(biāo)中化歸到選學(xué)內(nèi)容，要求有所降低，估計(jì)2011年高考對(duì)本講的考察， 主要考察熱點(diǎn)有：（1）圓錐曲線(xiàn)的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）與圓錐曲線(xiàn)有關(guān)的軌跡問(wèn)題；（3）與圓錐曲線(xiàn)有關(guān)的最值、定值問(wèn)題；（4）與平面向量、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)相結(jié)合的交匯試題（1）圓錐曲線(xiàn)的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程；1.（2010北京文理）（13）已知雙曲線(xiàn)的離心率為2，焦點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)相同，那么雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ；漸近線(xiàn)方程為 。答案：() 2.（2010天津文數(shù)）（13）已知雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程是，它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)相同。則雙曲線(xiàn)的方程為 ?！敬鸢浮俊窘馕觥勘绢}主要考查了雙曲線(xiàn)和拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)及雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于容易題。由漸近線(xiàn)方程可知 因?yàn)閽佄锞€(xiàn)的焦點(diǎn)為（4，0），所以c=4 又 聯(lián)立，解得，所以雙曲線(xiàn)的方程為【溫馨提示】求圓錐曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程通常利用待定洗漱法求解，注意雙曲線(xiàn)中c最大。3.（2010福建文數(shù)）13 若雙曲線(xiàn)-=1(b0)的漸近線(xiàn)方程式為y=，則等于?！敬鸢浮?【解析】由題意知，解得b=1?！久}意圖】本小題考查雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)、待定系數(shù)法，屬基礎(chǔ)題。4.（2010江蘇卷）6、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)M，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是3，則M到雙曲線(xiàn)右焦點(diǎn)的距離是_解析考查雙曲線(xiàn)的定義。，為點(diǎn)M到右準(zhǔn)線(xiàn)的距離，=2，MF=4。5.（2010浙江理數(shù)）（13）設(shè)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，點(diǎn).若線(xiàn)段的中點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，則到該拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的距離為_(kāi)。解析：利用拋物線(xiàn)的定義結(jié)合題設(shè)條件可得出p的值為，B點(diǎn)坐標(biāo)為（）所以點(diǎn)B到拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的距離為，本題主要考察拋物線(xiàn)的定義及幾何性質(zhì)，屬容易題6.（2010安徽文數(shù)）(12)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 答案：【解析】拋物線(xiàn)，所以，所以焦點(diǎn).【誤區(qū)警示】本題考查拋物線(xiàn)的交點(diǎn).部分學(xué)生因不會(huì)求，或求出后，誤認(rèn)為焦點(diǎn)，7. (2010年全國(guó)高考寧夏卷12）已知雙曲線(xiàn)的中心為原點(diǎn)，是的焦點(diǎn)，過(guò)F的直線(xiàn)與相交于A，B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為,則的方程式為(A) (B) (C) (D) （2）與圓錐曲線(xiàn)有關(guān)的軌跡問(wèn)題；1（2010遼寧文數(shù)）（20）（本小題滿(mǎn)分12分） 設(shè)，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線(xiàn)與橢圓 相交于,兩點(diǎn)，直線(xiàn)的傾斜角為，到直線(xiàn)的距離為.（）求橢圓的焦距；（）如果,求橢圓的方程.解：（）設(shè)焦距為，由已知可得到直線(xiàn)l的距離所以橢圓的焦距為4.（）設(shè)直線(xiàn)的方程為聯(lián)立解得因?yàn)榧吹霉蕶E圓的方程為2.（2010遼寧理數(shù)）(20)（本小題滿(mǎn)分12分）設(shè)橢圓C：的左焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，直線(xiàn)l的傾斜角為60o,.(I) 求橢圓C的離心率；(II) 如果|AB|=，求橢圓C的方程.解：設(shè)，由題意知0，0.（）直線(xiàn)l的方程為 ，其中.聯(lián)立得解得因?yàn)?，所?即 得離心率 . 6分（）因?yàn)椋?由得.所以，得a=3，.橢圓C的方程為. 12分3.(2009山東卷文)（本小題滿(mǎn)分14分）設(shè),在平面直角坐標(biāo)系中,已知向量,向量,動(dòng)點(diǎn)的軌跡為E.（1）求軌跡E的方程,并說(shuō)明該方程所表示曲線(xiàn)的形狀; （2）已知,證明:存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線(xiàn)與軌跡E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),并求出該圓的方程;(3)已知,設(shè)直線(xiàn)與圓C:(1R2)相切于A1,且與軌跡E只有一個(gè)公共點(diǎn)B1,當(dāng)R為何值時(shí),|A1B1|取得最大值?并求最大值.解（1）因?yàn)? 所以, 即. 當(dāng)m=0時(shí),方程表示兩直線(xiàn),方程為; 當(dāng)時(shí), 方程表示的是圓當(dāng)且時(shí),方程表示的是橢圓; 當(dāng)時(shí),方程表示的是雙曲線(xiàn).(2).當(dāng)時(shí), 軌跡E的方程為,設(shè)圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線(xiàn)為,解方程組 得,即,要使切線(xiàn)與軌跡E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B, 則使=,即,即, 且,要使, 需使,即,所以, 即，且, 即恒成立.所以又因?yàn)橹本€(xiàn)為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線(xiàn),所以圓的半徑為, 所求的圓為.當(dāng)切線(xiàn)的斜率不存在時(shí),切線(xiàn)為,與交于點(diǎn)或也滿(mǎn)足.綜上, 存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線(xiàn)與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且.(3)當(dāng)時(shí),軌跡E的方程為,設(shè)直線(xiàn)的方程為,因?yàn)橹本€(xiàn)與圓C:(1R0）過(guò)M（2，） ，N (,1)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，（I）求橢圓E的方程；（II）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線(xiàn)與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且？若存在，寫(xiě)出該圓的方程，并求|AB |的取值范圍，若不存在說(shuō)明理由。解:（1）因?yàn)闄E圓E: （a,b0）過(guò)M（2，） ，N (,1)兩點(diǎn),所以解得所以橢圓E的方程為（2）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線(xiàn)與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且,設(shè)該圓的切線(xiàn)方程為解方程組得,即, 則=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因?yàn)橹本€(xiàn)為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線(xiàn),所以圓的半徑為,所求的圓為,此時(shí)圓的切線(xiàn)都滿(mǎn)足或,而當(dāng)切線(xiàn)的斜率不存在時(shí)切線(xiàn)為與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為或滿(mǎn)足,綜上, 存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線(xiàn)與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且.因?yàn)?所以, 當(dāng)時(shí)因?yàn)樗?所以,所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取”=”. 當(dāng)時(shí),. 當(dāng)AB的斜率不存在時(shí), 兩個(gè)交點(diǎn)為或,所以此時(shí),綜上, |AB |的取值范圍為即: 【命題立意】:本題屬于探究是否存在的問(wèn)題,主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的確定,直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系和待定系數(shù)法求方程的方法,能夠運(yùn)用解方程組法研究有關(guān)參數(shù)問(wèn)題以及方程的根與系數(shù)關(guān)系.）與圓錐曲線(xiàn)有關(guān)的最值問(wèn)題、參數(shù)范圍問(wèn)題，這類(lèi)問(wèn)題的綜合型較大，解題中需要根據(jù)具體問(wèn)題、靈活運(yùn)用解析幾何、平面幾何、函數(shù)、不等式、三角知識(shí)，正確的構(gòu)造不等式或方程，體現(xiàn)了解析幾何與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系。 三試題探究 1.從近幾年高考題的命題方向來(lái)看，與其他知識(shí)相結(jié)合 在逐漸增加，圓錐曲線(xiàn)的概念、性質(zhì)、方程 等基礎(chǔ)知識(shí)穩(wěn)中求活，穩(wěn)中求新，命題中經(jīng) 常涉及的有：（1）方程，（2）幾何特征值 a、b 、c、p 、e，（3）直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)問(wèn) 題，從弦長(zhǎng)到位置關(guān)系. （4）曲線(xiàn)與方程的關(guān)系、考查曲線(xiàn)方程的探求，如直接法、相關(guān)點(diǎn)法、待定系數(shù)法、定義法、交軌法等.分值一般在22分左右，解答題難度較大. 解答題入手較寬.2010安徽文數(shù)）17、（本小題滿(mǎn)分12分）橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在軸上，離心率。 ()求橢圓的方程；()求的角平分線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程法2）如圖：關(guān)于直線(xiàn)L的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P必在直線(xiàn)上,且又軸, ,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,-2),所以直線(xiàn)L的斜率為2 法3） 設(shè)的角平分線(xiàn)交x軸交于點(diǎn)B, 點(diǎn)B在之間, 點(diǎn)B坐標(biāo)為由角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理有則，解得利用點(diǎn)斜式，得到角平分線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程為 法4）由于的三邊長(zhǎng)分別為3,4,5所以其內(nèi)接圓的半徑為 又所以 的內(nèi)心的坐標(biāo)為（1,1）。（下略）法5）由 易得 為直角三角形，并且設(shè) ，則 解得 由所求直線(xiàn)方程為四、復(fù)習(xí)備選題預(yù)計(jì)今后高考命題有以下特點(diǎn)： （1）以選擇或填空題考查圓錐曲線(xiàn)的定義和性質(zhì)，難度為中檔題，（2）以解答題形式重點(diǎn)考查圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題，多與直線(xiàn)結(jié)合進(jìn)行命題，難度較大，文科多側(cè)重 于橢圓，而理科側(cè)重于橢圓和拋物線(xiàn). 1已知橢圓E的離心率為，兩焦點(diǎn)為，拋物線(xiàn)C以為頂點(diǎn)，為焦點(diǎn)，P為兩學(xué)曲線(xiàn)的一個(gè)交點(diǎn)，若，則的值為 （ ）A B C D 2. 若雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為則此雙曲線(xiàn)的離心率為 BAB C D3.已知直線(xiàn)交于A、B兩點(diǎn)，且，其中O為原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為A2 B2C2或2 D或 4.已知點(diǎn)，動(dòng)圓與直線(xiàn)切于點(diǎn)，過(guò)、與圓相切的兩直線(xiàn)相交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為A 填空1.已知橢圓以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心,坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸,且橢圓以?huà)佄锞€(xiàn)的焦點(diǎn)為焦點(diǎn),以雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)為頂點(diǎn),則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 2解答題1（10福建理）已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，3），且點(diǎn)F（2，0）為其右焦點(diǎn)。（1）求橢圓C的方程；（2）是否存在平行于OA的直線(xiàn)，使得直線(xiàn)與橢圓C有公共點(diǎn)，且直線(xiàn)OA與的距離等于4？若存在，求出直線(xiàn)的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由?！久}意圖】本小題主要考查直線(xiàn)、橢圓等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想?！窘馕觥浚?）依題意，可設(shè)橢圓C的方程為，且可知左焦點(diǎn)為F（-2，0），從而有，解得，又，所以，故橢圓C的方程為。（2）假設(shè)存在符合題意的直線(xiàn)，其方程為，由得，因?yàn)橹本€(xiàn)與橢圓有公共點(diǎn)，所以有，解得，另一方面，由直線(xiàn)OA與的距離4可得：，從而，由于，所以符合題意的直線(xiàn)不存在。2遼寧理設(shè)橢圓C：的左焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，直線(xiàn)l的傾斜角為60o,.(III) 求橢圓C的離心率；(IV) 如果|AB|=，求橢圓C的方程.（20）解：設(shè)，由題意知0，0.（）直線(xiàn)l的方程為 ，其中.聯(lián)立得解得因?yàn)?，所?即 得離心率 . 6分（）因?yàn)?，所?由得.所以，得a=3，.橢圓C的方程為. 12分3如圖，已知為橢圓的左右兩個(gè)頂點(diǎn)，為橢圓的右焦點(diǎn)，為橢圓上異于點(diǎn)的任意一點(diǎn)，直線(xiàn)分別交直線(xiàn)于點(diǎn)，交軸于C點(diǎn).（1） 當(dāng)時(shí)，求直線(xiàn)的方程；（2） 求證：當(dāng)時(shí)以為直徑的圓過(guò)F點(diǎn)；APONBFCM（3） 對(duì)任意給定的值，求面積的最小值。4拋物線(xiàn)上橫坐標(biāo)為6的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為8,且點(diǎn)在軸上方過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn),垂足為.(1).求拋物線(xiàn)方程；(2).若過(guò)點(diǎn)作,垂足為,試求點(diǎn)坐標(biāo);(3).以為圓心為半徑作圓，當(dāng)是軸上一動(dòng)點(diǎn),討論與圓的位置關(guān)系.4(1)拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為,由拋物線(xiàn)定義知:到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為8, . (2),由題意得,又 的方程為 的方程為 由得:， (3) 的方程為 即: 又圓的半徑為到的距離當(dāng)即: 或時(shí),和圓相切;當(dāng)即: 時(shí),和圓相離;當(dāng)即: 或時(shí),和圓相交5. (本小題滿(mǎn)分12分)已知定點(diǎn)A、B間的距離為2，以B為圓心作半徑為2的圓，P為圓上一點(diǎn)，線(xiàn)段AP的垂直平分線(xiàn)l與直線(xiàn)PB交于點(diǎn)M，當(dāng)P在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)PABMlM的軌跡記為曲線(xiàn)C(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線(xiàn)C的方程，并說(shuō)明它是什么樣的曲線(xiàn)；(2)試判斷l(xiāng)與曲線(xiàn)C的位置關(guān)系，并加以證明【解】 (1)以AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)AB所在直線(xiàn)為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(1,0)，B(1,0). PABMlOxy設(shè)M(x,y),由題意：|MP|=|MA|, |BP|=2，所以 |MB|+|MA|=2.故曲線(xiàn)C是以A、B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2的橢圓，其方程為x2+2y2=2. (2)直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C的位置關(guān)系是相切. 證法一：由(1)知曲線(xiàn)C方程為x2+2y2=2，設(shè)P(m, n)，則P在B上，故(m1)2+n2=8，即m2+n2=7+2m. 當(dāng)P、A、B共線(xiàn)時(shí)，直線(xiàn)l的方程為x=，顯然結(jié)論成立. 當(dāng)P、A、B不共線(xiàn)時(shí)，直線(xiàn)l的方程為：,整理得， 把直線(xiàn)l的方程代入曲線(xiàn)C方程得：，整理得 直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C相切. (說(shuō)明：以A或B為原點(diǎn)建系亦可)證法二：在直線(xiàn)l上任取一點(diǎn)，連結(jié)， 由垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)得， (當(dāng)且僅當(dāng)M、重合時(shí)取“=”號(hào))直線(xiàn)l與橢圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)M.結(jié)論得證. 6已知線(xiàn)段，的中點(diǎn)為，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足（為正常數(shù)）（1）求動(dòng)點(diǎn)所在的曲線(xiàn)方程；（2）若存在點(diǎn)，使，試求的取值范圍；（3）若，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，且，試求面積的最大值和最小值6解：（1）以為圓心，所在直線(xiàn)為軸建立平面直角坐標(biāo)系 若，即，動(dòng)點(diǎn)所在的曲線(xiàn)不存在；若，即，動(dòng)點(diǎn)所在的曲線(xiàn)方程為； 若，即，動(dòng)點(diǎn)所在的曲線(xiàn)方程為. 4分 （2）由（1）知，要存在點(diǎn)，使， 則以為圓心，為半徑的圓與橢圓有公共點(diǎn)。 故，所以 所以的取值范圍是. 8分（3）當(dāng)時(shí)，其曲線(xiàn)方程為橢圓 由條件知兩點(diǎn)均在橢圓上，且設(shè)，的斜率為，則的方程為，的方程為 解方程組得， 同理可求得， 10分 面積= 12分令則令所以，即 14分當(dāng)時(shí)，可求得,故，故的最小值為，最大值為1. 16分xyOF1F2M第7題7已知、分別為橢圓:的上、下焦點(diǎn),其中也是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn),點(diǎn)是與在第二象限的交點(diǎn),且.（1）求橢圓的方程.（2）已知點(diǎn)和圓:,過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)與圓相交于不同的兩點(diǎn),在線(xiàn)段上取一點(diǎn),滿(mǎn)足:,(且).求證:點(diǎn)總在某定直線(xiàn)上.7解: （1）方法一、由知,設(shè), 1分因在拋物線(xiàn)上,故又,則, 由解得,.4分橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)橢圓上,由橢圓定義得 6分,又, 橢圓的方程為. 8分方法二、由知,設(shè),因在拋物線(xiàn)上,故又,則, 由解得,. 4分而點(diǎn)橢圓上,故有即, 又,則由可解得,橢圓的方程為.8分（2）設(shè),由可得:,即10分由可得:,即 得: 得: 12分兩式相加得 14分又點(diǎn)在圓上，且,所以,即, 點(diǎn)總在定直線(xiàn) 8、(本題滿(mǎn)分15分) 已知圓交軸于兩點(diǎn)，曲線(xiàn)是以為長(zhǎng)軸，直線(xiàn)為準(zhǔn)線(xiàn)的橢圓（）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）若是直線(xiàn)上的任意一點(diǎn)，以為直徑的圓與圓相交于兩點(diǎn)，求證：直線(xiàn)必過(guò)定點(diǎn)，并求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（）如圖所示，若直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，且，試求此時(shí)弦的長(zhǎng)8. 【解析】（1）可以用待定系數(shù)法求解；（2）兩個(gè)圓的方程作差可以求出交點(diǎn)弦的方程；（3）借助向量相等列出方程組求解。解：（）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則：，從而：，故,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。 4分（）設(shè)，則圓方程為 6分與圓聯(lián)立消去得的方程為， 過(guò)定點(diǎn)。 9分（）解法一：設(shè)，則, ，即： 代入解得：（舍去正值）， 12分，所以，從而圓心到直線(xiàn)的距離，從而。 15分解法二：過(guò)點(diǎn)分別作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為，設(shè)的傾斜角為，則：，從而， 11分由得：，故，由此直線(xiàn)的方程為，以下同解法一。 15分解法三：將與橢圓方程聯(lián)立成方程組消去得：,設(shè)，則。 11分，所以代入韋達(dá)定理得：， 消去得：，由圖得：， 13分所以，以下同解法一。 15分點(diǎn)評(píng)：本題將直線(xiàn)、圓、橢圓巧妙地結(jié)合在一起，計(jì)算量稍大，屬于中檔題。9.（本題滿(mǎn)分12分）如圖，已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn). 直線(xiàn)交橢圓于兩不同的點(diǎn).ABMOyx 4分