高考數(shù)學一輪復習 第2章 函數(shù)、導數(shù)及其應用 第11節(jié) 導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性學案 文 北師大版.doc

第十一節(jié)導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性考綱傳真了解函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系；能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項式函數(shù)不超過三次)(對應學生用書第32頁) 基礎知識填充函數(shù)的導數(shù)與單調(diào)性的關系函數(shù)yf(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導，則(1)若f(x)0，則f(x)在這個區(qū)間內(nèi)是增加的；(2)若f(x)0，則f(x)在這個區(qū)間內(nèi)是減少的；(3)若f(x)0，則f(x)在這個區(qū)間內(nèi)是常數(shù)函數(shù)知識拓展1在某區(qū)間內(nèi)f(x)0(f(x)0.()(2)如果函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)恒有f(x)0，則函數(shù)f(x)在此區(qū)間上沒有單調(diào)性()(3)f(x)0是f(x)為增函數(shù)的充要條件()答案(1)(2)(3)2f(x)x36x2的單調(diào)遞減區(qū)間為()a(0,4)b(0,2)c(4，)d(，0)af(x)3x212x3x(x4)，由f(x)0，得0x0，故選項d正確故選d(對應學生用書第32頁)判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性已知函數(shù)f(x)ln xax2(2a)x.討論f(x)的單調(diào)性解f(x)的定義域為(0，)f(x)2ax2a.若a0，則f(x)0.所以f(x)在(0，)上單調(diào)遞增若a0，則由f(x)0，得x，且當x時，f(x)0，當x時，f(x)0.所以f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減綜上所述，當a0時，函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞增；當a0時，函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減規(guī)律方法用導數(shù)證明函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)的單調(diào)性的步驟一求：求f(x)；二定：確認f(x)在(a，b)內(nèi)的符號；三結論：作出結論：f(x)0時為增函數(shù)；f(x)0時為減函數(shù)易錯警示：研究含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時，需注意依據(jù)參數(shù)取值對不等式解集的影響進行分類討論變式訓練1(2016四川高考節(jié)選)設函數(shù)f(x)ax2aln x，g(x)，其中ar，e2.718為自然對數(shù)的底數(shù)(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)證明：當x1時，g(x)0. 【導學號：00090064】解(1)由題意得f(x)2ax(x0).2分當a0時，f(x)0時，由f(x)0有x，當x時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增.7分(2)證明：令s(x)ex1x，則s(x)ex11.9分當x1時，s(x)0，所以ex1x，從而g(x)0.12分求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(2016天津高考節(jié)選)設函數(shù)f(x)x3axb，xr，其中a，br.求f(x)的單調(diào)區(qū)間解由f(x)x3axb，可得f(x)3x2a下面分兩種情況討論：當a0時，有f(x)3x2a0恒成立，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，).5分當a0時，令f(x)0，解得x或x.當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：xf(x)00f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，.12分規(guī)律方法求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)求f(x)；(3)在定義域內(nèi)解不等式f(x)0，得單調(diào)遞增區(qū)間；(4)在定義域內(nèi)解不等式f(x)0，得單調(diào)遞減區(qū)間變式訓練2已知函數(shù)f(x)(x22x)ex，xr，e為自然對數(shù)的底數(shù)，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為_(，)因為f(x)(x22x)ex，所以f(x)(2x2)ex(x22x)ex(x22)ex.令f(x)0，即(x22)ex0，因為ex0，所以x220，解得x，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，)已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)已知函數(shù)f(x)x3ax1.若f(x)在r上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍解因為f(x)在(，)上是增函數(shù)，所以f(x)3x2a0在(，)上恒成立，即a3x2對xr恒成立因為3x20，所以只需a0.又因為a0時，f(x)3x20，f(x)x31在r上是增函數(shù)，所以a0，即實數(shù)a的取值范圍為(，0母題探究1(變換條件)函數(shù)f(x)不變，若f(x)在區(qū)間(1，)上為增函數(shù)，求a的取值范圍解因為f(x)3x2a，且f(x)在區(qū)間(1，)上為增函數(shù)，所以f(x)0在(1，)上恒成立，即3x2a0在(1，)上恒成立，所以a3x2在(1，)上恒成立，所以a3，即a的取值范圍為(，3母題探究2(變換條件)函數(shù)f(x)不變，若f(x)在區(qū)間(1,1)上為減函數(shù)，試求a的取值范圍解由f(x)3x2a0在(1,1)上恒成立，得a3x2在(1,1)上恒成立因為1x1，所以3x23，所以a3.即當a的取值范圍為3，)時，f(x)在(1,1)上為減函數(shù)母題探究3(變換條件)函數(shù)f(x)不變，若f(x)在區(qū)間(1,1)上不單調(diào)，求a的取值范圍解f(x)x3ax1，f(x)3x2a由f(x)0，得x(a0)f(x)在區(qū)間(1,1)上不單調(diào)，01，得0a3，即a的取值范圍為(0,3)規(guī)律方法根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的一般方法(1)利用集合間的包含關系處理：yf(x)在(a，b)上單調(diào)，則區(qū)間(a，b)是相應單調(diào)區(qū)間的子集(2)轉化為不等式的恒成立問題，即“若函數(shù)單調(diào)遞增，則f(x)0；若函數(shù)單調(diào)遞減，則f(x)0”來求解易錯警示：(1)f(x)為增函數(shù)的充要條件是對任意的x(a，b)都有f (x)0，且在(a，b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上f(x)不恒為0.應注意此時式子中的等號不能省略，否則漏解(2)函數(shù)在其區(qū)間上不具有單調(diào)性，但可在子區(qū)間上具有單調(diào)性，如遷移3中利用了(0,1)來求解變式訓練3已知函數(shù)f(x)ln x，g(x)ax22x(a0)(1)若函數(shù)h(x)f(x)g(x)在1,4上是減少的，求a的取值范圍；(2)若函數(shù)h(x)f(x)g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍. 【導學號：00090065】解(1)h(x)ln xax22x，x(0，)，所以h(x)ax2，由h(x)在1,4上是減少的得，當x1,4時，h(x)ax20恒成立，即a恒成立令g(x)，所以ag(x)max，而g(x)21，因為x1,4，所以，