一元二次方程知識(shí).doc

解一元二次方程重點(diǎn)一：一元二次方程定義 1.定義:只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程滿足的條件:是整式方程只含有一個(gè)未知數(shù)未知數(shù)的最高次數(shù)是2.重點(diǎn)二：一元二次方程的一般形式1. 關(guān)于x的一元二次方程,整理后都可以化為ax2+bx+c=0（a0）的形式.我們把它叫做一元二次方程的一般形式,其中ax2是二次項(xiàng), a是二次項(xiàng)系數(shù), bx是一次項(xiàng), b是一次項(xiàng)系數(shù)c是常數(shù)項(xiàng). 滿足的條件: a0是一元二次方程的一般形式的一個(gè)重要組成部分,因?yàn)榉匠蘟x2+bx+c=0只有a0時(shí)才是一元二次方程,反之,如果明確指出是一元二次方程就隱含了a0這個(gè)條件。任何一個(gè)一元二次方程，經(jīng)過(guò)整理，都可化為一般形式。二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)都是方程在一般形式下定義的，所以求一元一次方程各項(xiàng)系數(shù)時(shí)，必須將方程化為一般形式（可以用去分母、去括號(hào)、合并同類項(xiàng)、移項(xiàng)等變形）。二次項(xiàng)與二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)與一次項(xiàng)系數(shù)要分清。重點(diǎn)三：一元二次方程的根能使一元二次方程等號(hào)左右倆邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，又叫做一元二次方程的根。一元二次方程的解類似于一元一次方程的解，將已知方程的解代入方程即可使等式成立一元二次方程可以無(wú)解。一元二次方程的解法重點(diǎn)一：直接開平方法利用平方根的定義直接開方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法，一般的，對(duì)于形如x2=a（）的方程，根據(jù)平方根的定義，可以解得x1=，x2=-。直接開平方的理論依據(jù)是平方根的定義。直接開平方適用于解形如x=a(m0)形式的方程，如果，就可以利用直接開平方法來(lái)解。用直接開平方法求一元一次方程的根，一定要正確運(yùn)用平方根的性質(zhì)，即正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負(fù)數(shù)沒有平方根。重點(diǎn)二：因式分解法1、因式分解的意義：因式分解法就是利用因式分解求出方程解的方法，如對(duì)于方程x2 -4=0，左邊因式分解可得（x+2）（x-2）=0，所以，x1=-2， x2=2,這種解法叫做因式分解法，即利用因式分解的方法解方程稱為因式分解法。2、因式分解一元二次方程的一般步驟：將方程右邊化為零；將方程的左邊分解為兩個(gè)一次因式的乘積令每一個(gè)因式分別為零就得到倆個(gè)一元一次方程；解這兩個(gè)一元一次方程，他們的解就是原方程的解。3 因式分解法的理論依據(jù)：如果倆個(gè)因式的積等于零，那么這兩個(gè)因式中至少有一個(gè)等于零；反過(guò)來(lái)，如果兩個(gè)因式中有一個(gè)等于零，那么它們的積就等于零。因式分解法是解一元一次方程時(shí)經(jīng)常選用的一種方法。因式分解的基本思想和方法：一個(gè)一元二次方程一邊是零而另一邊易于分解成倆個(gè)一次因式的積，可以使每一個(gè)因式等于零，從而轉(zhuǎn)化成一元一次方程，分別解這兩個(gè)一元一次方程，得到的倆個(gè)解就是原方程的解。重點(diǎn)三：配方法通過(guò)配方，把方程的一邊化為完全平方式，另一邊化為非負(fù)數(shù)，然后利用開平方的方法求出一元二次方程的根，這種方法叫做解一元二次方程的配方法。步驟：把方程化為一個(gè)般形式。把常數(shù)項(xiàng)n移到方程的右邊：在方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，= +；方程的左邊化成完全平方式：（ ） =當(dāng)方程的右邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)時(shí)，我們可以用直接開平方法解方程。注意：1配方法的理論依據(jù)是完全平方公式.2運(yùn)用配方法的關(guān)鍵是必須把一元二次方程轉(zhuǎn)化為二次項(xiàng)系數(shù)是1的一元二次方程的前提條件下，然后在方程的兩邊同時(shí)添加常數(shù)項(xiàng)，該常數(shù)項(xiàng)等于一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方。重點(diǎn)四：公式法1.對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）如果b2-4ac0，那么方程的倆個(gè)根為x=這個(gè)公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我們可以由一元二次方程的系數(shù)、b、c的值，直接求方程的解，這種解一元二次方程的方法叫做求根公式法2.推導(dǎo)過(guò)程：已知ax2+bx+c=0（a0） 解：移項(xiàng)，得：ax2+bx=-c 二次項(xiàng)系數(shù)化為1，移項(xiàng)得x2+x=- 配方，得：x2+x+（）2=-+（）2 即（x+）2=a0 4a20 當(dāng)b2-4ac0時(shí)- 直接開平方，得：x+= 即x= x1=，x2= 由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根由方程的系數(shù)a、b、c而定，因此： （1）解一元二次方程時(shí)，可以先將方程化為一般形式ax2+bx+c=0，當(dāng)b-4ac0時(shí)，將a、b、c代入式子x=就得到方程的根 （2）這個(gè)式子叫做一元二次方程的求根公式 （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法 （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有兩個(gè)實(shí)數(shù)根3.總結(jié)用配方法解一元二次方程的步驟 （1）移項(xiàng)； （2）化二次項(xiàng)系數(shù)為1； （3）方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方； （4）原方程變形為（x+m）2=n的形式； （5）如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以直接開平方求出方程的解，如果右邊是負(fù)數(shù)，則一元二次方程無(wú)解 例1用配方法解下列方程 （1）6x2-7x+1=0 （2）4x2-3x=52 用公式法解下列方程 （1）2x2-4x-1=0 （2）5x+2=3x2 （3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x2-3x+1=0 分析：用公式法解一元二次方程，首先應(yīng)把它化為一般形式，然后代入公式即可 解：（1）a=2，b=-4，c=-1 b2-4ac=（-4）2-42（-1）=240 x= x1=，x2= （2）將方程化為一般形式 3x2-5x-2=0 a=3，b=-5，c=-2 b2-4ac=（-5）2-43（-2）=490 x= x1=2，x2=- （3）將方程化為一般形式 3x2-1