M08J22生活中的數(shù)學(xué)——地板磚中的數(shù)學(xué).doc

2008年暑假 M08J22姓 名：生活中的數(shù)學(xué)2 地板磚中的數(shù)學(xué)隨著人們生活水平的提高，很多家庭都裝修房子，其中鋪地板磚就是一項(xiàng)重要的美化工作當(dāng)你看到地板磚展鋪成美麗的圖案時(shí)，你是否想到展鋪這美麗圖案的數(shù)學(xué)原理呢？如果你注意到的話，可能會(huì)對(duì)下面的簡單分析發(fā)生興趣地板磚展鋪的圖形，一般都是用幾種全等的平面圖形展鋪開來的，有時(shí)用由直線構(gòu)成的多邊形組成的圖案，有時(shí)用由曲線組成的圖案，千變?nèi)f化但是作為基礎(chǔ)還是用平面多邊形展鋪平面有時(shí)雖然有曲線，卻常常是由多邊形和圓作適當(dāng)變化而得到的例如，一個(gè)由正方形展鋪的平面圖案(圖177(a)，如果對(duì)正方形用圓弧做一些變化(圖177(b)，那么把以上兩個(gè)圖形結(jié)合起來設(shè)計(jì)，就可由比較單調(diào)的正方形圖案，變化曲線形成花紋圖案了(圖177(c)由于多邊形是構(gòu)成地板磚展鋪復(fù)雜圖形的基礎(chǔ)，因此，下面我們對(duì)利用多邊形展鋪平面圖形做些簡要分析例1 怎樣以三角形為基礎(chǔ)展鋪平面圖案分析與解 三角形是多邊形中最簡單的圖形，如果用三角形為基本圖形來展鋪平面圖案， 那么就要考慮三角形的特點(diǎn)由于三角形的三個(gè)內(nèi)角和為180，所以要把三角形的三個(gè)角集中到一起，就組成了一個(gè)平角如果要在平面上一個(gè)點(diǎn)的周圍集中三角形的角，那么必須使這些角的和為兩個(gè)平角因此，若把圖178中的三角形的三個(gè)內(nèi)角集中在一起，并進(jìn)行軸對(duì)稱變換或中心對(duì)稱變換，就可以得到集中于一點(diǎn)的六個(gè)角，它們的和為360，剛好覆蓋上這一點(diǎn)周圍的平面變換的方法見圖179在中心對(duì)稱的情況下，三角形不翻折，在軸對(duì)稱的情況下，三角形要翻折如果把三角形正、反兩面涂上顏色，那么通過對(duì)稱變換，正、反兩面就會(huì)明顯地反映出來了由上面的分析可知，用三角形為基本圖形展鋪平面圖案，共有以下四種情況，如圖180例2 怎樣以四邊形為基礎(chǔ)展鋪平面圖案？分析與解 由于四邊形內(nèi)角和為360，所以，任何四邊形都可以作為基本圖形來展鋪平面圖案圖181中的(a)，(b)，(C)，(d)分別是以矩形、菱形、梯形、一般四邊形為基本圖形的平面展鋪圖案例3 怎樣以正多邊形為基本圖形展鋪平面圖案？分析與解 用正多邊形為基本圖形展鋪平面圖案，集中于一點(diǎn)的周圍的正多邊形的各個(gè)角的和應(yīng)是360例如，正五邊形一個(gè)內(nèi)角為正十邊形一個(gè)內(nèi)角為 如果把兩個(gè)正五邊形的內(nèi)角與一個(gè)正十邊形的內(nèi)角加起來，則其和為2108+144=360但是它們并不能用來展鋪平面如果用同種的正n邊形來展鋪平面圖案，在一個(gè)頂點(diǎn)周圍集中了m個(gè)正n邊形的角由于這些角的和應(yīng)為360，所以以下等式成立因?yàn)閙，n都是正整數(shù)，并且m2，n2所以m-2，n-2也都必定是正整數(shù)所以當(dāng)n-2=1，m-2=4時(shí)，則n=3，m=6；當(dāng)n-2=2，m-2=2時(shí)，則n=4，m=4；當(dāng)n-2=4，m-2=1時(shí)，則n=6，m=3這就證明了只用一種正多邊形展鋪平面圖案，只存在三種情況：(1)由6個(gè)正三角形拼展，我們用符號(hào)(3，3，3，3，3，3)來表示(見圖182)(2)由4個(gè)正方形拼展，我們用符號(hào)(4，4，4，4)來表示(見圖183)(3)由3個(gè)正六邊形來拼展，我們用符號(hào)(6，6，6)來表示(見圖184)如果用兩種正多邊形來拼展平面圖案，那么就有以下五種情況：(3，3，3，4，4)，(3，3，3，3，6)，(3，3，6，6)，(3，12，12)以及(4，8，8)這五種情況中，(3，3，3，4，4)又可有兩種不同的拼展方法，參看下面六種拼展圖形(圖185)用三種正多邊形展拼平面圖形就比較難設(shè)計(jì)了下面舉出兩例供同學(xué)們思考(圖186)有興趣的同學(xué)請(qǐng)自己構(gòu)想出一兩個(gè)例子練習(xí)二十三1試用三角形和梯形這兩種多邊形拼展平面圖案2試用形如圖187的圖形拼展平面圖案3試用邊長為1的正三角形、邊長為1的正方形和兩腰為1、夾角為120的等腰三角形拼展平面圖案4試用圓弧和多邊形(多邊形可以用圓弧割補(bǔ))設(shè)計(jì)一種平面圖案5試用一個(gè)正方形，仿照?qǐng)D176(a)，(b)，(c)的變化方式，設(shè)計(jì)一種平面圖案河馬難題 a很多年以前，某個(gè)部落的首領(lǐng)十分尊崇神圣的河馬。b每年在首領(lǐng)生日的這天，首領(lǐng)和他的收稅官都要用王室的駁船載著河馬到收稅站去。c當(dāng)?shù)赜幸粋€(gè)習(xí)俗，即要給首領(lǐng)相當(dāng)于神圣河馬重量的金幣。收稅站也有一個(gè)巨大的稱，稱的一邊放河馬，另一邊放金幣。d首領(lǐng)把河馬喂養(yǎng)得特別好，以致于河馬太重，稱桿被折斷了。要修好稱桿只能拖延幾天。e首領(lǐng)非常氣憤，他告訴收稅官。首領(lǐng)：今天我要得到我的金幣，而且必須是準(zhǔn)確的數(shù)量。如果在日落前稱不出金幣，我就把你斬首。f可憐的收稅官被嚇得幾乎不能想問題。g經(jīng)過幾個(gè)小時(shí)的思考后，他突然有了一個(gè)好主意。你能猜出是什么主意嗎?h主意確實(shí)非常簡單。收稅官把河馬放在船上，記下船的吃水線。i然后他把河馬從船上牽走，把金幣往船上放。當(dāng)達(dá)到相同的吃水線時(shí)，船上金幣的重量就相當(dāng)于河馬的重量。發(fā)生在飲水噴泉旁的欺騙手段a約翰住進(jìn)一座旅館。在他正看報(bào)時(shí)，一位漂亮姑娘沖進(jìn)旅館大廳。b然后她跑到飲水噴泉旁，喝了一大口水，走了。c三分鐘后，那女孩又跑回來喝了一大口水，這次在她后面跟著