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2015年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(重慶卷)理數(shù)本卷滿分150分,考試時間120分鐘.特別提醒:14、15、16三題為選做題,請從中任選兩題作答,若三題全做,則按前兩題給分.第卷(選擇題,共50分)一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個備選項中,只有一項是符合題目要求的.1.已知集合A=1,2,3,B=2,3,則() A.A=BB.AB=C.ABD.BA2.在等差數(shù)列an中,若a2=4,a4=2,則a6=()A.-1B.0C.1D.63.重慶市2013年各月的平均氣溫()數(shù)據(jù)的莖葉圖如下:0891258200338312則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是()A.19B.20C.21.5D.234.“x1”是“l(fā)og12(x+2)0,b0)的右焦點為F,右頂點為A,過F作AF的垂線與雙曲線交于B,C兩點,過B,C分別作AC,AB的垂線,兩垂線交于點D.若D到直線BC的距離小于a+a2+b2,則該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是()A.(-1,0)(0,1)B.(-,-1)(1,+)C.(-2,0)(0,2)D.(-,-2)(2,+)第卷(非選擇題,共100分)二、填空題:本大題共6小題,考生作答5小題,每小題5分,共25分.11.設復數(shù)a+bi(a,bR)的模為3,則(a+bi)(a-bi)=.12.x3+12x5的展開式中x8的系數(shù)是(用數(shù)字作答).13.在ABC中,B=120,AB=2,A的角平分線AD=3,則AC=.考生注意:14、15、16三題為選做題,請從中任選兩題作答,若三題全做,則按前兩題給分.14.如圖,圓O的弦AB,CD相交于點E,過點A作圓O的切線與DC的延長線交于點P,若PA=6,AE=9,PC=3,CEED=21,則BE=.15.已知直線l的參數(shù)方程為x=-1+t,y=1+t(t為參數(shù)),以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為2cos 2=40,34b0)的左、右焦點分別為F1,F2,過F2的直線交橢圓于P,Q兩點,且PQPF1.()若|PF1|=2+2,|PF2|=2-2,求橢圓的標準方程;()若|PF1|=|PQ|,求橢圓的離心率e.22.(本小題滿分12分,()小問4分,()小問8分)在數(shù)列an中,a1=3,an+1an+an+1+an2=0(nN+).()若=0,=-2,求數(shù)列an的通項公式;()若=1k0(k0N+,k02),=-1,證明:2+13k0+1ak0+11時,x+231,又y=log12x是減函數(shù),log12(x+2)1log12(x+2)0;當log12(x+2)1,x-1,則log12(x+2)1.故“x1”是“l(fā)og12(x+2)0”的充分而不必要條件.選B.5.A由三視圖知,該幾何體是一個三棱錐與半個圓柱的組合體.V=V三棱錐+12V圓柱=1312211+12122=13+.選A.評析本題考查三視圖、棱錐與圓柱的體積公式,屬容易題.6.A(a-b)(3a+2b),(a-b)(3a+2b)=03|a|2-ab-2|b|2=03|a|2-|a|b|cos -2|b|2=0.又|a|=223|b|,83|b|2-223|b|2cos -2|b|2=0.cos =22.0,=4.選A.7.Ck=2,s=12;k=4,s=12+14=34;k=6,s=12+14+16=1112;k=8,s=12+14+16+18=2524.此時循環(huán)結束,所以判斷框中可填入的條件是s1112,選C.8.C圓C的標準方程為(x-2)2+(y-1)2=22,圓心為C(2,1),半徑r=2,由直線l是圓C的對稱軸,知直線l過點C,所以2+a1-1=0,a=-1,所以A(-4,-1),于是|AC|2=40,所以|AB|=|AC|2-22=40-4=6.故選C.9.Ccos-310sin-5=sin2+-310sin-5=sin+5sin-5=sincos 5+cossin 5sincos 5-cossin 5=tan+tan 5tan-tan5 ,tan =2tan 5,cos-310sin-5=3tan 5tan 5=3.故選C.10.A由題知F(c,0),A(a,0),不妨令B點在第一象限,則Bc,b2a,Cc,-b2a,kAB=b2a(c-a),CDAB,kCD=a(a-c)b2,直線CD的方程為y+b2a=a(a-c)b2(x-c).由雙曲線的對稱性,知點D在x軸上,得xD=b4a2(a-c)+c,點D到直線BC的距離為c-xD,b4a2(c-a)a+a2+b2=a+c,b4a2(c-a)(c+a)=a2b2,b2a2,ba21,又該雙曲線的漸近線的斜率為ba或-ba,雙曲線漸近線斜率的取值范圍是(-1,0)(0,1).選A.二、填空題11.答案3解析復數(shù)a+bi(a,bR)的模為a2+b2=3,則a2+b2=3,則(a+bi)(a-bi)=a2-(bi)2=a2-b2i2=a2+b2=3.12.答案52解析二項展開式的通項為Tr+1=C5r(x3)5-r12xr=12rC5rx15-3r-r2,令15-3r-r2=8,得r=2,于是展開式中x8的系數(shù)為122C52=1410=52.13.答案6解析依題意知BDA=C+12BAC,由正弦定理得2sinBDA=3sinB,sin C+12BAC=22,C+BAC=180-B=60,C+12BAC=45,BAC=30,C=30.從而AC=2ABcos 30=6.14.答案2解析由切割線定理得PA2=PCPD,得PD=PA2PC=623=12,CD=PD-PC=12-3=9,即CE+ED=9,CEED=21,CE=6,ED=3.由相交弦定理得AEEB=CEED,即9EB=63,得EB=2.15.答案(2,)解析直線l的普通方程為y=x+2,曲線C的直角坐標方程為x2-y2=4(x-2),故直線l與曲線C的交點為(-2,0),對應極坐標為(2,).16.答案-6或4解析當a-1時,f(x)=-3x+2a-1(xa),x-2a-1(a-1),f(x)min=-a-1,-a-1=5,a=-6.當a-1時,f(x)=-3x+2a-1(x-1),-x+2a+1(-1a),f(x)min=a+1,a+1=5,a=4.綜上,a=-6或a=4.三、解答題17.解析()令A表示事件“三種粽子各取到1個”,則由古典概型的概率計算公式有P(A)=C21C31C51C103=14.()X的所有可能值為0,1,2,且P(X=0)=C83C103=715,P(X=1)=C21C82C103=715,P(X=2)=C22C81C103=115.綜上知,X的分布列為X012P715715115故E(X)=0715+1715+2115=35(個).18.解析()f(x)=sin2-xsin x-3cos2x=cos xsin x-32(1+cos 2x)=12sin 2x-32cos 2x-32=sin2x-3-32,因此f(x)的最小正周期為,最大值為2-32.()當x6,23時,02x-3,從而當02x-32,即6x512時,f(x)單調(diào)遞增,當22x-3,即512x23時,f(x)單調(diào)遞減.綜上可知,f(x)在6,512上單調(diào)遞增;在512,23上單調(diào)遞減.評析本題考查二倍角公式,輔助角公式asinx+bcosx=a2+b2sin(x+),其中,tan=ba等三角變形公式,以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),屬常規(guī)基礎題.19.解析()證明:由PC平面ABC,DE平面ABC,得PCDE.由CE=2,CD=DE=2得CDE為等腰直角三角形,故CDDE.由PCCD=C,DE垂直于平面PCD內(nèi)兩條相交直線,故DE平面PCD.()由()知,CDE為等腰直角三角形,DCE=4.如圖,過D作DF垂直CE于F,易知DF=FC=FE=1,又已知EB=1,故FB=2.由ACB=2得DFAC,DFAC=FBBC=23,故AC=32DF=32.以C為坐標原點,分別以CA,CB,CP的方向為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標系,則C(0,0,0),P(0,0,3),A32,0,0,E(0,2,0),D(1,1,0),ED=(1,-1,0),DP=(-1,-1,3),DA=12,-1,0.設平面PAD的法向量為n1=(x1,y1,z1),由n1DP=0,n1DA=0,得-x1-y1+3z1=0,12x1-y1=0,故可取n1=(2,1,1).由()可知DE平面PCD,故平面PCD的法向量n2可取為ED,即n2=(1,-1,0).從而法向量n1,n2的夾角的余弦值為cos=n1n2|n1|n2|=36,故所求二面角A-PD-C的余弦值為36.20.解析()對f(x)求導得f (x)=(6x+a)ex-(3x2+ax)ex(ex)2=-3x2+(6-a)x+aex,因為f(x)在x=0處取得極值,所以f (0)=0,即a=0.當a=0時,f(x)=3x2ex,f (x)=-3x2+6xex,故f(1)=3e,f (1)=3e,從而f(x)在點(1,f(1)處的切線方程為y-3e=3e(x-1),化簡得3x-ey=0.()由()知f (x)=-3x2+(6-a)x+aex.令g(x)=-3x2+(6-a)x+a,由g(x)=0解得x1=6-a-a2+366,x2=6-a+a2+366.當xx1時,g(x)0,即f (x)0,故f(x)為減函數(shù);當x1x0,即f (x)0,故f(x)為增函數(shù);當xx2時,g(x)0,即f (x)|PF2|得x00,從而|PF1|2=aa2-2b2c+c2+b4c2=2(a2-b2)+2aa2-2b2=(a+a2-2b2)2.由橢圓的定義,有|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a.從而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|,有|QF1|=4a-2|PF1|.又由PF1PF2,|PF1|=|PQ|,知|QF1|=2|PF1|.因此(2+2)|PF1|=4a,即(2+2)(a+a2-2b2)=4a,于是(2+2)(1+2e2-1)=4,解得e=121+42+2-12=6-3.解法二:如圖,由橢圓的定義,有|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a.從而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|,有|QF1|=4a-2|PF1|.又由PF1PQ,|PF1|=|PQ|,知|QF1|=2|PF1|,因此,4a-2|PF1|=2|PF1|,得|PF1|=2(2-2)a,從而|PF2|=2a-|PF1|=2a-2(2-2)a=2(2-1)a.由PF1PF2,知|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2,因此e=ca=|PF1|2+|PF2|22a=(2-2)2+(2-1)2=9-62=6-3.22.解析()由=0,=-2,有an+1an=2an2(nN+).若存在某個n0N+,使得an0=0,則由上述遞推公式易得an0-1=0.重復上述過程可得a1=0,此與a1=3矛盾,所以對任意nN+,an0.從而an+1=2an(nN+),即an是一個公比q=2的等比數(shù)列.故an=a1qn-1=32n-1.()由=1k0,=-1,數(shù)列an的遞推關系式變?yōu)閍n+1an+1k0an+1-an2=0,變形為an+1an+1k0=an2(nN+).由上式及a1=30,歸納可得3=a1a2anan+10.因為an+1=an2an+1k0=an2-1k02+1k02an+1k0=an-1k0+1k01k0an+

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