特殊三角形復(fù)習(xí)——典型例題分析.doc

特殊三角形復(fù)習(xí)【內(nèi)容綜述】等腰三角形和直角三角形是兩種非常特殊的三角形，本講中通過一系列有關(guān)等腰三角形或直角三角形的問題的解決，既是復(fù)習(xí)有關(guān)三角形全等的知識，同時也是培養(yǎng)同學(xué)們分析、解決問題的能力。同學(xué)們通過學(xué)習(xí)下面問題的分析、解答過程，特別要注意體會如何根據(jù)題目的已知信息和圖形特征作出適當(dāng)?shù)妮o助線。這是學(xué)習(xí)本節(jié)的難點所在?！疽c講解】例1 如圖2-8-1,中，AB=AC，D為AB上一點，E為AC延長線上一點，且BD=CE，DE交BC于G。求證：DG=EG。思路 因為GDB和GEC不全等，所以考慮在GDB內(nèi)作出一個與GEC全等的三角形。證明：過D作DHAE，交BC于HAB=ACDB=DH又DB=CEDH=CE又DG=EG.說明 本題易明顯得出DG和EG所在的DBG和ECG不全等，故要構(gòu)造三角形的全等，本題的另一種證法是過E作EFBD，交BC的延長線于F，證明DBGEFG，讀者不妨試一試。例2 如圖2-8-2，D為等邊ABC的內(nèi)部一點，DB=DA，BE=AB，DBE=DBC，求BED的度數(shù)。思路 從已知中知等邊ABC的每個內(nèi)角為60。所以要想辦法把BED和60這一信息產(chǎn)生聯(lián)系。解：連結(jié)DC由ABC是等邊三角形且BE=AB可得BE=BC又DBE=DBC,BD=BDDBEDBC,BED=BCDDB=DA，DC=DC，CB=CA，CBDCADBCD=ACD=BCA=60=30BED=30說明 證明兩角相等的重要思路之一就是證明這兩角所在的兩個三角形能全等。例3 如圖2-8-3，在ABC中，AB=AC，A=100,作B的平分線與AC邊交于E，求證：BC=AE+BE。 思路 要想辦法把AE+BE替換成一條線段a，然后只需證明BC=a。證明 延長BE到F，使EF=AE，連結(jié)FC，作BEC的平分線交BC于G，由AB=AC，BAC=100，可知ABE=CBE=20因而 AEB=GEB=60于是 AEBGEB則有 EG=EA=EF又由 GEC=FEC=60所以 GECFEC所以 EFC=EGC=180100=80從而 BCF=80故 BC=BF=AE+BE例4 如圖2-8-4, P為等邊ABC內(nèi)任一點，PDAB于D，PEBC于E，PFAC于F。 求證：PD+PE+PF是定值。思路 考慮把PD+PE+PF用等邊ABC的邊長、周長、高、面積等不變量表示出來。證明 連結(jié)PA、PB、PC，過A作AHBC于H。，又AB=BC=CA，PD+PE+PF=AH因為等邊三角形的大小已給定，則它的高也隨之確定。PD+PE+PF是定值。說明 題中的PD、PE、PF這三段都是點到線段的距離，故聯(lián)想到了三角形的面積，利用各個部分的面積之和等于整體的面積建立了等式關(guān)系。例5 如圖2-8-5，在ABC中，BFAC，CGAB，垂足分別是F、G，D是BC的中點，DEFG，垂足是E。求證：GE=EF。 思路 利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)，只需證明DG=DF。證明 連結(jié)DG、DF。DG是RtBCG的斜邊BC上的中線。，同理可證DG=DF又DEFG，GE=EF說明 若題目中作了三角形的高，就應(yīng)注意所形成的直角三角形這一圖形，如本題圖中的RtBGC和RtCFB。 例6 已知一個直角三角形的邊長都是自然數(shù)，且周長和面積的量數(shù)相等，求這個三角形的三邊長。思路 列出三邊長滿足的關(guān)系式，然后通過分析、討論得出三邊的長度。解設(shè)三邊長分別為a，b，c，其中c為斜邊，則 由得,代入得，即ab0,ab4a4b8=0(a、b為自然數(shù))a4=1，2，4，8a=5，6，8，12； b=12，8，6，5； c=13，10，10，13三邊長分別為6、8、10或5、12、13。說明 本題是用代數(shù)方法解幾何題，這種方法今后還大有用處，請讀者注意它。例7 如圖2-8-6，在ABC中，AB=AC=CB，AE=CD，AD、BE相交于P，BQAD于Q。求證：BP=2PQ。思路 在RtBPQ中，本題的結(jié)論等價于證明PBQ=30證明 AB=CA，BAE=ACD=60，AE=CD，BAEACDABE=CADBPQ=ABE+BAP=CAD+BAP=60又BQADPBQ=30BP=2PQ說明 本