材料力學第04章(扭轉)-06 (2)

41 扭轉的概念和實例 42 外力偶矩的計算 扭矩和扭矩圖 43 純剪切 44 圓軸扭轉時的應力 45 圓軸扭轉時的變形 47 非圓截面桿扭轉的概念 第四章 扭 轉 工 程 實 例 41 扭轉的概念和實例 電動機 減速箱 抱剎 鋼絲繩 卷揚機 減速箱 變形特點： 桿件 各截面 繞軸線發(fā)生相對轉動。 Me 軸： 工程中以扭轉為主要變形的構件稱為軸。 如：機器中的傳動軸、石油鉆機中的鉆桿等。 受力特點： 在 垂直于桿件軸線的平面內 作用有力偶。 Me Me Me 42 外力偶矩的計算 扭矩和扭矩圖 已知：軸的傳遞功率 P（ kW） 轉速 n（ r/min）， 求： 外力偶矩 Me（ Nm） 一、傳動軸的外力偶矩 m)(N 601 0 0 0 PWm)(N 9 5 4 9 e nPM解：計算 AB軸一分鐘做的功 m)(N 2 e nMWm)(N 601000 P 2 e nM其中： P 功率，千瓦（ kW） n 轉速，轉 /分（ r/min） 二、扭轉時的內力 扭矩 Me Me Me x T Me T 構件受扭時，橫截面上的內力為力偶 ， 稱為扭矩，記作“ T ” 。 , 0 xM取左段： 0 e MT e MT 扭矩的正負規(guī)定： Me x T Me T 以右手螺旋法則，沿截面外法線方向為正，反之為負。 三、扭矩 圖 已知：一傳動軸， n =300r/min，主動輪 C輸入 P1=500kW，從動輪 A、 B、 D輸出 P2=P3=150kW， P4=200kW，試作扭矩圖。 解 :(1)計算外力偶矩 nPM 11 9 5 4 9m)( k N 78.432 MMm)( k N 37.64 M例 1 m)1 5 . 9 ( k N 3005009549 m)(N101 5 . 9 3 A B C D M2 M3 M1 M4 1 1 2 2 3 3 (2)求扭矩 , 0 xM1-1截面： 21 MT ， 0 21 MT mkN78.4 （扭矩按正方向假設） A M2 T1 , 0 322 MMT2-2截面： )( 322 MMT )78.478.4( mkN56.9 , 0 xMA B C D M2 M3 M1 M4 1 1 2 2 3 3 A M2 B M2 T2 , 034 TM3-3截面： 43 MT , 0 xMT3 D M4 mkN37.6 (3)繪制扭矩圖 x T/ kNm 4.78 9.56 6.37 mkN37.6 3 TmkN56.92 TmkN78.4 1 TmkN 569ma x .TBC段為危險截面 A B C D M2 M3 M1 M4 1 1 2 2 3 3 （ r平均半徑） 觀察變形： 1.加載前： 縱向線為直線，周向線為圓； 43 純剪切 2.加載后： 縱向線傾斜了一微小角度， 變成斜直線； 一、薄壁圓管扭轉應力分析 Me Me 周向線仍是圓，圓周線的形狀、大小和間距均未改 變，只是繞軸線作了相對轉動。 薄壁圓筒： 壁厚 rt 101 Me 應力分布規(guī)律： 橫截面上無正應力，只存在切應力 ； 切應力的方向與圓周相切，與內力 T一致； 切應力沿壁厚方向的數(shù)值不變； 沿圓周切應力的大小也不變。 T T Me Me T Ad A Ar T d trT 2 2 trr 2 dA dA 計算切應力 的大?。?rA T 二、切應力互等定理 Me Me dx dx dx dy t z x y ,0 zM yxt dd 0dd xyt,0 xF 0 dxtdxt 切應力互等定理： 在兩個相互垂直的面上，切應力必然成對出現(xiàn)，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平面的交線，其方向為共同指向或共同背離該交線。 z x y F F A A Me Me 三、剪切胡克定律 三、剪切胡克定律 切應變 (量綱為 1) Me Me p 當 時 p G 剪切胡克定律 剪切彈性模量 G、彈性模量 E和泊松比 是表明材料彈性性質的三個常數(shù)。對各向同性材料，這三個彈性常數(shù)之間存在下列關系（推導詳見后面章節(jié)）： 可見，在三個彈性常數(shù)中，只要知道任意兩個，第三個量就可以推算出來。 )1(2 EGG是材料的一個彈性常數(shù)，稱為剪切彈性模量，因 的量綱為 1，故 G的量綱與 相同，不同材料的 G值可通過實驗確定，鋼材的 G值約為 80GPa。 GMe Me l lR 一、橫截面上的應力 44 圓軸扭轉時的應力 找出各薄壁圓管之間的變形關系 Me Me R Me Me 一、橫截面上的應力 44 圓軸扭轉時的應力 觀察變形 R dx 縱向線傾斜了一微小角度， 變成斜直線；周向線仍是圓，圓周線的形狀、大小和間距均未改 變，只是繞軸線作了相對轉動。 dx d 平面假設 橫截面變形后仍為平面 dx R B A D C O d1. 變形幾何關系 dx B A D C O dA B C C D R dx O O dD ACCC xRdd ta n xRdd 1. 變形幾何關系 A B C C D R dx O O dD ACCC xRdd ta n E F G H 1. 變形幾何關系 A B C C D R dx O O dD xdd ta n dx d xdd xdd 扭轉角 沿長度方向變化率。 G2. 物理關系 剪切虎克定律： GxGdd E F G H A B C C D R dx O O dD xGdd 切應力在橫截面上的分布規(guī)律 3. 靜力學關系 TAI A d2p 記 xGI Tdd pp dd GITx 即：代入物理關系式 xG dd O T AxGA ddd 2 AxG A ddd 2 pIT 得： Ip 橫截面的極慣性矩 xGdd 代入 AdAd A4、 應力分布 （實心截面） （空心截面） pIT dx B A D C O Me Me 最大切應力： , 時當 Rpm a x IRT tm a x WTWt 稱為抗扭截面系數(shù)，幾何量，單位： mm3 或 m3。 RIW pt 記：RITpm a x 或： m axAI A d2p （ 1）實心圓截面 C d x y d dA A dd220203 ddd2032dd 324pdI ddd A二、極慣性矩和抗扭截面系數(shù)的計算： 02442d(2)空心圓截面 )( DdD x y C d 20223ddDd223d2Dd323244 dD )1(3244p DIAI A d2p 22442dD)1(32 444DdD A dd216 3tdW)1(1643t DW實心圓截面 空心圓截面 RIW pt 2324 dd2)1(3244tDDW 抗扭截面系數(shù) Wt C d x y d x y C D 三、扭轉破壞試驗 低碳鋼試件： 沿橫截面斷開。 鑄鐵試件： 沿與軸線約成 45的螺旋線斷開。 強度條件： max tm axm ax WT( 稱為許用切應力。 ) 四、圓軸扭轉時的強度計算 nb ns 塑性材料 脆性材料 d1=120mm， d2=100mm， MA=22kNm， MB=36kNm，MC=14kNm， 許用切應力 =80M Pa, 試校核強度。 解 :(1)畫扭矩圖 此軸滿足強度要求。 1t11 m ax WT例 2 MA MB MC d1 d2 A B C M P a65 （ 2） AB段的強度 161 2 0102236（ 3） BC段的強度 2t22 m ax WT M P a71 161 0 0101436T圖 22 14 (kNm) + 有一根軸， T=1.5kNm， =50M Pa, 按兩種方案確定軸截面尺寸，并比較重量： （ 1）實心軸；（ 2） =0.9的空心軸。 解： （ 1）實心軸 tm a x WT例 3 163dTd )mm(5.53（ 2）空心軸 tm a x WT)1(16431 DT 316T 1D)mm(7611 9.0 Dd )mm(7.68 34 ) ( 116 T（ 3）比較重量 實空AA4422121ddD）（ 22121ddD 385.0實 心軸的 重量是 空 心軸的 3倍。 d )mm(5.53 1D )mm(761d )mm(7.68實心軸 空心軸 53.5 68.7 76.3 d )mm(5.53實心軸 1D )mm(761d )mm(7.68空心軸 一、扭轉時的變形 pGITx dd d 45 圓軸扭轉時的變形 GIp反映了截面抵抗扭轉變形的能力， 稱為截面的 抗扭剛度 。 xGIT pd d lpxGIT0 d pIGlT即： （ rad） lpxGIT0 d pGIlT l Me Me dx piiiIGlT即 ： 當軸上作用有多個力偶時，進行分段計算，代數(shù)相加： MB MA MC l1 l2 A B C M2 M1 M3 lAB lAC A