離散傅里葉變換應(yīng)用與計(jì)算.docx

離散傅里葉變換應(yīng)用與計(jì)算1 離散傅里葉變換基本原理與計(jì)算1822年，法國(guó)工程師傅里葉(Fourier)指出，任意一個(gè)函數(shù)X(t)均可分解為無(wú)窮多個(gè)不同頻率正弦信號(hào)的和，這即是諧波分析的基本概念。在數(shù)字計(jì)算機(jī)時(shí)代，模擬信號(hào)所攜帶的信息均被處理為基于0和1的二值離散數(shù)據(jù)。模擬信號(hào)通過(guò)AD變換為離散的數(shù)字信號(hào)。連續(xù)函數(shù)X(t)因此被抽樣為離散的有限長(zhǎng)序列X(nTs) (n=0，1，2，N-1,Ts為采樣周期)。離散傅里葉變換(DFT)將離散的時(shí)域信號(hào)X(nTs)與離散的頻率點(diǎn)結(jié)合，使譜分析得以在數(shù)字計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)。根據(jù)DFT理論，X(t)的N個(gè)抽樣點(diǎn)的頻譜為：其中：，n=0，1，2，N-1；k=0，1，2，N-1。通常，為應(yīng)用DFT的快速算法(快速傅里葉變換，F(xiàn)FT)，N取值為2的整數(shù)次冪。式(1)的處理結(jié)果為復(fù)數(shù)，在繪制信號(hào)頻譜時(shí)需進(jìn)行相應(yīng)的取模運(yùn)算；另外，為使頻譜圖直觀，通常還會(huì)采用半對(duì)數(shù)圖。2 離散傅里葉級(jí)數(shù)（DFS）的應(yīng)用離散傅里葉變換是信號(hào)系統(tǒng)中頻譜分析最常用的方法，基于離散傅里葉變換插值的方法測(cè)量信號(hào)頻率，在采樣率較低的情況下仍然有較好的精度，在提高采樣率或增加采樣點(diǎn)數(shù)的情況下，頻率分辨精度能進(jìn)一步提高，采用濾波和加窗的方法能更好地避免插值方向錯(cuò)誤，該方法具有計(jì)算簡(jiǎn)單 、速度快 、 精度高等特點(diǎn)1。在電力系統(tǒng)發(fā)展中，一般的感應(yīng)式電能表準(zhǔn)確度只能達(dá)到2.0級(jí)或1.0級(jí)，而且功能單一，已經(jīng)不能適應(yīng)現(xiàn)代電能管理的要求。在現(xiàn)階段的電量測(cè)量?jī)x表中，越來(lái)越多的采用交流采樣技術(shù)。交流采樣技術(shù)是將被測(cè)電流、電壓直接送入數(shù)據(jù)采集裝置，在裝置中使用精密電流、電壓互感器將其變成小電流(或低電壓)，通過(guò)AD轉(zhuǎn)換和CPU計(jì)算得到電流、電壓的有效值、有功功率、無(wú)功功率、有功電度和無(wú)功電度等參數(shù)。其中傅立葉變換法可以計(jì)算出各次諧波的參數(shù)值，總的電參數(shù)由各次諧波分量求出，具有很強(qiáng)的濾波功能2。近年來(lái)，多速率濾波器組廣泛應(yīng)用于子帶編碼、語(yǔ)音信號(hào)處理、圖像壓縮和通信系統(tǒng)等領(lǐng)域中。濾波器組多載頻制系統(tǒng)主要由綜合濾波器組和分析濾波器組構(gòu)成，圖1為一個(gè)M通道的濾波器組多載頻調(diào)制系統(tǒng)。若各子帶濾波器是由原型濾波器均勻調(diào)制到頻率2kM得到的，則所得濾波器組即為離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform，DFT)調(diào)制濾波器組，圖2為一個(gè)M通道最大抽取DFT調(diào)制濾波器組。DFT調(diào)制濾波器組的設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單，并且可以利用快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform，F(xiàn)FT)高效實(shí)現(xiàn)，但其自身不能消除相鄰帶間的干擾 3。圖1 M通道濾波器組多載頻調(diào)制系統(tǒng)圖2 M通道最大抽取DFF調(diào)制濾波器組指紋由凸出的脊線和凹進(jìn)去的谷線組成，從指紋圖形采集儀器可以得到一幅用不同灰度級(jí)別表示脊線和谷線的圖像。如果用X，Y，表示為圖像的寬和高的坐標(biāo)軸，用Z表示代表灰度的軸，取出一小塊指紋區(qū)域的圖像進(jìn)行分析，可以發(fā)現(xiàn)，脊線和谷線交錯(cuò)出現(xiàn)，而且能很好的平行，這與理想的二維正弦曲面是非常接近的。如果對(duì)這塊區(qū)域進(jìn)行二維離散傅里葉變換，從頻譜中可以看到兩個(gè)關(guān)于中心直流分量對(duì)稱的峰值，這代表了指紋紋理的特征。當(dāng)圖像不具備這樣的紋理，或者紋理模糊這兩個(gè)峰值就不會(huì)凸顯出來(lái)。實(shí)際中為了簡(jiǎn)化處理，將除了直流分量以外的主峰值大小作為區(qū)別是否具有紋理性的個(gè)新指標(biāo)4。傅里葉變換在探測(cè)器前放的性能分析中有如下作用：1)可直接給出探測(cè)器所受到的干擾信號(hào)的頻率；2)根據(jù)該頻率點(diǎn)上幅值的大小，可確定所受干擾的大??；3)信號(hào)的頻譜可直接體現(xiàn)信號(hào)的信噪比情況。在冷軋鋼板測(cè)厚儀的探測(cè)器前放設(shè)計(jì)過(guò)程中，通過(guò)運(yùn)用邢桂來(lái)5的方法，對(duì)探測(cè)器零點(diǎn)信號(hào)進(jìn)行DFT頻譜分析，有效地完成了探測(cè)器前放的布線優(yōu)劣及其屏蔽性能的評(píng)估，對(duì)探測(cè)器前放的研制、性能優(yōu)化及定型起到了重要的作用。利用DFT可以得到入射信號(hào)的頻譜以及空間譜，對(duì)于相干及不相干入射信號(hào)都能估計(jì)其個(gè)數(shù)，它比常規(guī)求解方法更為精確且能夠在低信噪比下進(jìn)行估計(jì)。入射信號(hào)方位角的估計(jì)受陣元個(gè)數(shù)影響，陣元數(shù)目越多，估計(jì)越準(zhǔn)確。由于該算法不涉及陣列劃分，它比空間平滑算法有著更高的有效孔徑。林亭等6在分析相干信號(hào)的高分辨測(cè)向的基礎(chǔ)上，利用DFT解決了信號(hào)數(shù)目估計(jì)問(wèn)題，并指出了入射信號(hào)方位角估計(jì)中去相干的實(shí)質(zhì)為去除載頻影響這一原理，最后利用變參考陣元法重建信號(hào)功率矩陣，實(shí)現(xiàn)相干信號(hào)的高分辨率測(cè)向。該算法不但提高了分辨率，還保持陣列的有效口徑。圖3為一兩端無(wú)限的梯形網(wǎng)絡(luò)，為求其a、b間的等效電阻，鄭國(guó)安7提出一種新的求解方法，即應(yīng)用離散傅里葉變換，把電流、電壓滿足的差分方程在頻域上進(jìn)行簡(jiǎn)化，而后進(jìn)一步求解。應(yīng)用這種方法，可以在給定輸入點(diǎn)a、b間電流(或電壓)的情況下，十分方便地求出各支路的電壓、電流，從而突顯出該變換方法在解決無(wú)限網(wǎng)絡(luò)等效電阻問(wèn)題上的優(yōu)勢(shì)。應(yīng)用此方法還可進(jìn)一步推廣到含電容或電感元件的網(wǎng)絡(luò)，對(duì)于求解一些復(fù)雜的周期性無(wú)限網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)有一定意義。圖3 兩端無(wú)限的梯形網(wǎng)絡(luò)近期，基于離散傅里葉變換提出了一種通用的門限密碼學(xué)中恢復(fù)分享秘密的算法。利用該算法，門限密碼體制可以有效地達(dá)到魯棒和自適應(yīng)安全性 8。參考文獻(xiàn)1 黃鶴,彭曉, 基于離散傅里葉變換的頻率測(cè)量方法與應(yīng)用, 湖南工程學(xué)院學(xué)報(bào),22（20 12）.2 胡文霞,方慧琳,羅濤, 基于離散傅里葉變換(DFT)法的三相電子式電能表設(shè)計(jì), 電氣開關(guān), 2 (2012).3 計(jì)翔,莊陵,邵凱,王光宇,基于改進(jìn)離散傅里葉變換調(diào)制濾波器組的多載頻系統(tǒng)設(shè)計(jì), 計(jì)算機(jī)應(yīng)用,33(12)( 2013)：34653468.4 胡寧,孟利民,離散傅里葉變換在指紋圖像分割中的應(yīng)用,計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用, 45(26)(2009).5邢桂來(lái),離散傅里葉變換在電離輻射探測(cè)器性能分析中的應(yīng)用, 原子能科學(xué)技術(shù), Vol.46(2)(2012).6 林亭,曾新吾,孫海洋,離散傅里葉變換及變參考陣元特征法在相干信號(hào)估計(jì)