對兩道?？荚囶}的分析與感悟.pdf

第3 3 卷第9 期2 0 1 4 年9 月數(shù)學教學研究 2 9 對兩道?？荚囶}的分析與感悟 周德明1 王華民2 1 江蘇省無錫市太湖高級中學2 1 4 1 2 5 2 江蘇省無錫市濱湖區(qū)教研中心2 1 4 1 0 0 經(jīng)過一階段的學習 需要進行考試檢測 以了解 學 與 教 的情況 醫(yī)生治病需先診 斷 再用藥 教師講評前也需先分析錯因 然 后有針對性 按步驟地進行 現(xiàn)已進人大數(shù)據(jù) 時代 數(shù)學學科由于學科特點 其說理 推理 結論都習慣于 用數(shù)據(jù)說話 求真求實 因此 分析的前提是數(shù)據(jù)統(tǒng)計 與學生交流 以查找 問題 診斷分析 為講評的有效性提供依據(jù) 這是提高教學質(zhì)量的重要環(huán)節(jié) 經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn) 無錫市2 0 1 3 年秋學期高三數(shù)學期末試卷有 兩道試題得分率極低 令人大跌眼鏡 以下通 過對其數(shù)據(jù)分析 歸納優(yōu)化復習之策略 1 統(tǒng)計反饋與分析 問題1 試題1 1 雙曲線與一告 1 口 6 0 右支上一點P 到左焦點的距離是到 右準線距離的6 倍 則該雙曲線離心率的范 圍為 數(shù)據(jù)顯示一個四星級學校1 8 個班級 近7 5 0 人 得分率統(tǒng)計 竟然有8 個班得0 分 6 個班級各有1 人答對 3 個班級各有2 人答對 1 個班級有3 人答對 總共1 5 人答 對 人均0 1 分 得分率2 得分率在2 0 以下為難題 可見這屬于超難題 學生反饋通過與學生在課上和課外的 訪談 了解到不少錯誤形式 這些錯誤資源值 得我們研討 錯誤答案1 一 2 U 3 解答過程1用離心率P 表示z 由題 意P F 6 d 及焦半徑公式 得 口 e x o 一6 X O 一譬 按z 整理得 6 e z 一口 6 等 口 6 生 C z o 一 百乏一 因為z 口 所以 1 6 土 i 上 1 即焉 1 e 6 e 6 一P e 2 5 e 6 O 解得P 2 或P 3 解答過程2用離心率已表示d 由 P F l 6 d 2 及P F l P F 2 2 a 得2 口 P F 2 6 d 2 因為P F 2 e d 2 所以 2 口 e d 2 6 d 2 6 e d 2 2 n d 2 一 生 觀察圖像 圖略 得d 2 口一譬 即 旦 口一a A 由口 0 得 二 卜土 即二 塑 1 2 P 6 一P e 1 2 所以礦一5 P 6 0 同上得P 2 或P 3 錯誤答案2 1 2 U 3 6 解答過程觀察 審視 因為P 6 0 且右邊 0 所以P 6 一P 0 由P 1 萬方數(shù)據(jù) 3 0 數(shù)學教學研究第3 3 卷第9 期2 0 1 4 年9 月 故6 一e O 所以e 6 結合P 2 或已 3 得 1 8 2 或3 P 6 錯誤答案3o O 故 o 6 o 聯(lián)系到圖像 故猜想離心率小于厄 而雙曲線離心率e l 故e E 1 摳 正確解答1 由a 6 0 得a 2 6 2 a 2 c z a 2 c 2 2 a 2 e 2 2 e 2 1 8 2 b 觀 察圖像得c 4 5 a 所以P l 故e 1 蠆 診斷分析對于錯解1 解答過程1 是 用離心率e 表示右支上點P 的橫坐標x 解 答過程2 是用e 表示點P 到右準線的距離 d 用z 或d 2 表示離心率e 有困難 再分 別根據(jù)z 和d 的取值范圍 得出e 的范圍 構造了關于e 的不等式 兩種解答都利用了 j 雙曲線的定義 但兩種解答過程都忽略了雙 曲線離心率的隱含條件已 1 解答過程1 還 忽視了不等式兩邊成立的隱含條件 對 式 由P 6 0 且右邊 0 故已 6 一已 0 e o 得6 一B 0 即P 1 和式子成立的 條件 比較錯誤1 已經(jīng)進了一大步 但卻忽視 了題設的條件a b O 屬于審題不細 錯解 3 的學生習慣了橢圓中準線的位置關系 誤 2 以為生 z 產(chǎn)生了思維定勢 未能畫圖 從 形 上觀察確定 錯解4 的學生沒有利用 距離的6 倍 這一條件 顯然有誤 如果 把題設條件口 6 0 改為0 口 厄 結合1 P 2 或3 e 0 其軌跡是上述圓在第一象限的部分 恰好為 半圓 所以點M 的軌跡長度為瓜 診斷分析以上兩種解題思路的差異很 明顯 前一思路轉(zhuǎn)換為普通方程求解 不僅繁 瑣 費時還不能成功 后一種思路從極坐標的 定義出發(fā) 尋求p 與口的關系 則很容易列出 其關系式 獲得極坐標方程 另外 本題也有 部分考生得出整個圓2 厄7 c 是源于未能注 意其范圍而失分 反思本題學生存在的問題 要么缺乏解 題思路 要么機械的化成普通方程 尋求原 因 大致有以下兩點 1 學生習慣于求解一些機械的 有套路 的問題 不少學生對于用回歸定義求解圓錐 曲線的問題重視不夠 意識不強 本題是求軌 跡的長度問題 緣于平常較少涉及 2 高三理科復習時間偏緊 部分學校對 理科附加題的 矩陣 極坐標參數(shù)方程 兩個 模塊 只選擇一些模考試題 講解某些所謂熱 點問題 主要考點 因沒有按序上課 是一種 速成培訓 教師傳授一些秘訣 缺乏系統(tǒng)性 過程性 一旦遇到非熱點試題 自然困難重 重 2 啟示與優(yōu)化 通過這兩道得分率極低試題的統(tǒng)計和與 學生的訪談 用數(shù)據(jù)道出了在教學中存在的 問題 而且具有一定的普遍性 它啟示我們要 側重于以下3 個方面做一些優(yōu)化 2 1 要注意讓學生學會挖掘隱性條件 尋 求解題突破 一個數(shù)學問題給出的條件 有的是顯性 有的則為隱性 解題時 常因未能發(fā)掘其隱性 條件而陷入困境或造成失誤 從試題1 的錯 誤解答過程 我們不難感覺到大多數(shù)學生都 是有思路的 問題出在挖掘隱性條件的能力 較低 本題隱性條件較多 雙曲線就隱含著離 心率e 1 條件口 6 0 又隱含著離心率e o 就 Uef 更難識別 學生這些缺乏思考 分辨能力低 下 是否與我們某些數(shù)學課堂讓給學生觀察 分析 自我反思的機會偏少有關 如何應對 1 需要教師轉(zhuǎn)變教學觀 把思考 操作的 機會讓給學生 把質(zhì)疑 發(fā)現(xiàn)的機會讓給學 生 萬方數(shù)據(jù) 3 2 數(shù)學教學研究 第3 3 卷第9 期2 0 1 4 年9 月 2 需要教師加強審題教學 教學生如何 細心審題 揣摩題意 發(fā)掘其隱性條件 及時 作出判斷 這樣 既容易發(fā)現(xiàn)解題的突破口 還可避免某些不必要的分類 提高解題的正 確性 3 需要教師有意選編一些需要挖掘隱性 條件的習題 選編一些需要進行觀察判斷才 能確定方向的習題 用于課堂教學和作業(yè)布 置 通過練習與講評 提升學生挖掘隱性條件 的意識和能力 2 2 要注意循序漸進 注意 回歸 幫助學 生提升解題實效 從問題2 暴露出在選修系列中缺乏系統(tǒng) 性 過程性 難以尋求解題突破 且容易失誤 我們應好好吸取這一教訓 教學應按教學規(guī) 律辦事 循序漸進 一步一個腳印 不能只想 走捷徑 而要 接地氣 做到 1 要回歸課本 這是近年江蘇高考試卷 的一個主要特點 回歸課本 不僅要研究課本 內(nèi)容 也要研究課本例題 習題 進行適當整 合 變式 使得學生在動態(tài)中建構知識與方 法 2 要回歸定義 要在全面夯實基礎 注重 通性通法的同時 注意回歸定義 理解定義的 作用不僅在于理論上 有時也能直接解決數(shù) 學問題 如平面向量基本定理不僅是坐標運 算的基礎 還能直接解決含參數(shù)的二元方程 問題 圓錐曲線的定義對于過焦點 準線等問 題有特殊的解題功效 2 3 要注意避免思維定勢的負遷移 完善學 生認知 在與學生訪談中了解到 問題1 中有些 學生看到了口 6 0 但沒有在意 因為橢圓 標準方程后都有一個口 6 0 以為是一個 用不著的 虛 的條件 錯誤解答3 中誤以為 2 雙曲線的準線冬在右焦點的右側 這兩處都 L 是因為學生習慣了橢圓的套路 顯然訓練橢 圓的試題較多 產(chǎn)生了思維定勢 思維定勢是 一種思維的定向預備狀態(tài) 既能產(chǎn)生積極影 響的有益方面 同時也會產(chǎn)生一些刻板的習 慣和固定的模式 不容易改變思維方向 遇到 類似的問題時 容易墨守成規(guī) 以固定的模式 去解題 使得思維單調(diào) 窄化 產(chǎn)生負遷移 在教學過程中 要充分發(fā)揮正遷移的作 用 盡量避免思維定勢負遷移作用的發(fā)生 需 要采取一些有效措施 除了要加強審題教學 外 還要著重關注以下幾點 1 增強新刺激 更換舊思路 由于思維定 勢使舊思路暢通 保留在大腦皮層中的舊痕 跡十分深刻 如若沒有強烈的持續(xù)的新刺激 來加以沖擊 新思路就難以形成和發(fā)展 德國 著名學者費希納在研究中指出 刺激量與感 覺是成正比 刺激量增減1 0 倍 感覺量才增 減1 倍 有些就只是無法用習慣性的思路去 思考 這時就必須有強烈的新刺激才能有效 地迫使學生從舊思路舊方法中省悟過來 轉(zhuǎn) 移到新方法的思維中 2 題組教學 變換問題 教材知識的單線 型發(fā)展 也是造成學生思維定勢產(chǎn)生的主要 原因 因此 數(shù)學教學在進行整合設計時 例 題 習題常采用題組教學 選取的題型一般為 基本題加變式題 變換題目的條件或結論 變 換問題的呈現(xiàn)方式 以避免解題方法的固定 及習慣性 使學生不因結構的定型化而產(chǎn)生 思維定勢 這也有利于知識的縱向 橫向聯(lián) 系 3 反思交流 對比強化 思維定勢的消極 影響具有持久性 并不容易在新授后就能完 全克服 因?qū)W生是學習的主體 學生思維定勢 的問題 終究要通過學生自己的努力才能解 決 要讓學生通過自身實踐 反恩 認識到問 題的嚴重性 自己講出來 并與同伴交流 因 為學生更能聽進同伴的講解 具有共振 效 應 這就要求教師注意收集 下轉(zhuǎn)第4 5 頁 萬方數(shù)據(jù) 第3 3 卷第9 期2 0 1 4 年9 月數(shù)學教學研究 4 5 J 一上 咒一1以 1 一二 1 故警 字 字 去c 芻 砉 嘉 麥 考后問及學生失分原因時 答案驚人一 致 最后一問完全沒有解題方向 我們常說 方向大于方式 即在學習的 過程中 確立努力的方向比探討如何努力更 關鍵 解題何嘗不是如此 解題教學中我們教 給學生的一些解題技巧莫過于一招一式 充 其量只是方式 朝著什么樣的方向達成目標 才是關鍵 而這正是我們教學中普遍缺失的 以上兩例中的最后一問是題目的重心所 在 對于求和不等式的證明 當常規(guī)的 數(shù)學 歸納法 數(shù)列單調(diào)性法 比較對應項法 都無法直接證明時 我們常用放縮法 如何放 縮才恰當呢 盲目的放縮無異于 瞎貓碰死 耗子 這時我們應該反思前面問題解決了 我們得到了什么 要證的問題還需要什么 能否在已知與未知之間尋找聯(lián)系想辦法將問 題解決 其實 例1 只要抓住第 問的結論 口一1 時廠 z O 恒成立 就可得到基本不等 關系1 z e r 然后換元 將待證式左邊放縮 為等比數(shù)列后再求和 便可將問題解決 而例 2 則由第 I 問的結論廠 z g z 在 O o 1 l 一一 1 上恒成立時愚 去 得到不等關系半 去 即 厶CZ6 C 1 一一 11 等價于半 去 專 放縮后用裂項相消的 I CZ 方法求和 問題同樣可解決 我們試想 如果割裂了前后問題之間的 聯(lián)系 不就漠視了命題人設置前面這些基礎 問題的良苦用心 解題不就迷失了方向 數(shù)學是思維型學科 數(shù)學教學是一個既 要 結果 更要 過程 的思維教學 講解題 不講怎樣解題 講解法 不講如何想到解 法 最后淪落為 解法若干加技巧若干 的灌 輸式教學模式只會給學生加重學習負擔 禁 錮學生的思維形成與發(fā)展 因此 在解題教學中 我們不但要教給學 生一些解題的方法技巧 更要展示解題的思 維過程 引導他們在解題過程中不斷進行反 思 幫助他們從已得結論中挖掘出有用隱含 條件 架起從未知通向已知的橋梁 收稿日期 2 0 1 4 0 6 0 4 上接第3 2 頁 一些錯例素材 交給學生反思 交流 并整理 只要我們在教學中采取積極的態(tài)度和有 分析 得出注意點 譬如要克服問題1 中思維效的措施 就能使學生消極的思維定勢得到 定勢問題 需要把橢圓 雙曲線的性質(zhì)進行對最大限度的克服 幫助學生掌握正確的學法 比 在關注它們共同點的同時 要讓學生重點有利于學生形成良好的思維品質(zhì) 說出其不同點 大家再補充 交流如