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教學資料參考中考數(shù)學專題復習第5章四邊形第16講特殊的平行四邊形(2)- 1 -歸納一矩形 1. 定義:有一個角是直角 的平行四邊形叫做矩形2. 性質(zhì)矩形的四個角都是直角 矩形的對角線互相平分并且相等 矩形是一個 軸對稱 圖形,它有 2 條對稱軸,矩形是一個 中心對稱 圖形,它的對稱中心是 兩條對角線的交點 3. 判定有 1 個角是直角的平行四邊形是矩形對角線相等 的平行四邊形是矩形歸納二菱形1. 定義:有一組鄰邊相等 的平行四邊形是菱形2. 性質(zhì)菱形的四條邊相等 菱形的對角線互相垂直平分 每條對角線平分 一組對角 菱形是 軸對稱 圖形,它有 2 條對稱軸,菱形是 中心對稱 圖形,它的對稱中心是 兩條對角線的交點 3. 判定四條邊相等 的四邊形是菱形對角線互相垂直平分 的平行四邊形是菱形歸納三正方形1. 定義:有一組鄰邊相等,且有一個角是直角的平行四邊形 叫做正方形2. 性質(zhì)正方形對邊 平行 正方形四邊相等 正方形四個角都是直角 正方形對角線 相等 ,互相 垂直平分 ,每條對角線平分 一組對角 正方形既是 軸對稱 圖形也是中心對稱 圖形,對稱軸有 4 條,對稱中心是 對角線的交點 3. 判定有一組鄰邊相等的 矩形 是正方形有一個角是直角的 菱形 是正方形【常考題型剖析】 題型一、矩形的應用【例1】(20_營口)如圖,矩形ABCD的對角線交于點O,若ACB=30,AB=2,則OC的長為()A. 2B. 3C. D. 4【答案】A【分析】根據(jù)直角三角形30角所對的直角邊等于斜邊的一半可得AC=2AB=4,再根據(jù)矩形的對角線互相平分解答【解答】解:在矩形ABCD中,ABC=90,ACB=30,AB=2,AC=2AB=2_2=4,四邊形ABCD是矩形,OC=OA=AC=2【舉一反三】1. (20_無錫) 如圖1,矩形ABCD的面積是15,邊AB的長比AD的長大2,則AD的長是 圖1 圖2 【答案】3【分析】根據(jù)矩形的面積公式,可得關于AD的方程,根據(jù)解方程,可得答案【解答】解:由邊AB的長比AD的長大2,得AB=AD+2由矩形的面積,得AD(AD+2)=15解得AD=3,AD=-5(舍去)2. (20_成都) 如圖2,在矩形ABCD中,AB=3,對角線AC,BD相交于點O,AE垂直平分OB于點E,則AD的長為 【答案】【分析】因為AE垂直平分OB,所以,ABAO3,BDAC2AO6,AD3. (20_岳陽) 如圖,在矩形ABCD中,點E在邊AB上,點F在邊BC上,且BE=CF,EFDF,求證:BF=CD【分析】由四邊形ABCD為矩形,得到四個角為直角,再由EF與FD垂直,利用平角定義得到一對角互余,利用同角的余角相等得到一對角相等,利用ASA得到三角形BEF與三角形CFD全等,利用全等三角形對應邊相等即可得證【解答】證明:四邊形ABCD是矩形,B=C=90,EFDF,EFD=90,EFB+CFD=90,EFB+BEF=90,BEF=CFD,在BEF和CFD中,BEFCFD(ASA),BF=CD 題型二、菱形的應用【例2】(20_莆田)菱形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是()A. 對邊相等 B. 對角相等 C. 對角線互相平分 D. 對角線互相垂直【答案】D【解答】解菱形具有的性質(zhì):對邊相等,對角相等,對角線互相平分,對角線互相垂直;平行四邊形具有的性質(zhì):對邊相等,對角相等,對角線互相平分;菱形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是:對角線互相垂直【例3】(20_遵義)如圖,在ABCD中,對角線AC與BD交于點O,若增加一個條件,使ABCD成為菱形,下列給出的條件不正確的是()A. AB=AD B. ACBD C. AC=BDD. BAC=DAC【答案】C【解答】解:A、根據(jù)菱形的定義可得,當AB=AD時ABCD是菱形;B、根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形即可判斷,ABCD是菱形;C、對角線相等的平行四邊形是矩形,不一定是菱形,命題錯誤;D、BAC=DAC時,ABCD中,ADBC,ACB=DAC,BAC=ACB,AB=BC,ABCD是菱形BAC=DAC故命題正確【舉一反三】4. (20_無錫) 下列性質(zhì)中,菱形具有而矩形不一定具有的是()A. 對角線相等 B. 對角線互相平分C. 對角線互相垂直D. 鄰邊互相垂直【答案】C【解答】解:(A)對角線相等是矩形具有的性質(zhì),菱形不一定具有;(B)對角線互相平分是菱形和矩形共有的性質(zhì);(C)對角線互相垂直是菱形具有的性質(zhì),矩形不一定具有;(D)鄰邊互相垂直是矩形具有的性質(zhì),菱形不一定具有5. (20_湘西州) 如圖4,已知菱形ABCD的兩條對角線長分別為AC=8和BD=6,那么,菱形ABCD的面積為 圖5 圖6 【答案】24【分析】直接根據(jù)菱形面積等于兩條對角線的長度的乘積的一半進行計算即可【解答】解:菱形的面積=6. (20_南充) 如圖5,菱形ABCD的周長是8cm,AB的長是 cm【答案】2【分析】根據(jù)菱形的四邊相等即可解決問題【解答】解:四邊形ABCD是菱形,AB=BC=CD=DA,AB+BC+CD+DA=8cm,AB=2cm,AB的長為2cm 題型三、正方形的應用【例4】(20_市)ABCD的對角線AC與BD相交于點O,且ACBD,請?zhí)砑右粋€條件:_,使得ABCD為正方形【答案】BAD=90【分析】根據(jù)正方形的判定定理添加條件即可【解答】解:ABCD的對角線AC與BD相交于點O,且ACBD,ABCD是菱形,當BAD=90時,ABCD為正方形【舉一反三】6. (20_河北) 關于ABCD的敘述,正確的是( )A. 若ABBC,則ABCD是菱形 B. 若ACBD,則ABCD是正方形C. 若AC=BD,則 ABCD是矩形 D. 若AB=AD,則ABCD是正方形【答案】C【分析】由菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法得出選項A、B、D錯誤,C正確;即可得出結(jié)論【解答】解:ABCD中,ABBC,四邊形ABCD是矩形,不一定是菱形,選項A錯誤;ABCD中,ACBD,四邊形ABCD是菱形,不一定是正方形,選項B錯誤;ABCD中,AC=BD,四邊形ABCD是矩形,選項C正確;ABCD中,AB=AD,四邊形ABCD是菱形,不一定是正方形,選項D錯誤;7.(20_崇左)下列命題是假命題的是( )A. 對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形B. 對角線互相垂直的矩形是正方形C. 對角線相等的菱形是正方形D. 對角線互相垂直平分的四邊形是正方形【答案】D8.(2016無錫)如圖,正方形ABCD中,E為BC邊上一點,F(xiàn)為BA延長線上一點,且CE=AF連接DE、DF求證:DE=DF【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AD=CD,C=DAF=90,然后利用“邊角邊”證明DCE和DAF全等,再根據(jù)全等三角形對應邊相等證明即可【解答】證明:四邊形ABCD是正方形,AD=CD,DAB=C=90,F(xiàn)AD=180DAB=90在DCE和DAF中,DCEDAF(SAS),DE=DF【鞏固提升自我】1.(20_大慶)下列說法正確的是()A. 對角線互相垂直的四邊形是菱形 B. 矩形的對角線互相垂直C. 一組對邊平行的四邊形是平行四邊形 D. 四邊相等的四邊形是菱形【答案】D.【解析】選項A:對角線互相垂直的四邊形不一定是菱形,錯誤;選項B:矩形的對角線不會互相垂直,錯誤;選項C:一組對邊平行的四邊形也可能是梯形,錯誤;選項D:四邊相等的四邊形是菱形,正確.2.(20_廣東)如圖2,菱形ABCD的邊長為6,ABC=60,則對角線AC的長是 . 圖2 圖3 圖4【答案】6【分析】由菱形ABCD中,ABC=60,易證得ABC是等邊三角形,繼而求得對角線AC的長【解答】解:四邊形ABCD是菱形,AB=BC,ABC=60,ABC是等邊三角形,AC=AB=63.(20_廣東)如圖3,正方形ABCD的面積為1,則以相鄰兩邊中點連接EF為邊的正方形EFGH的周長為( )A. B. C. D. 【答案】B【分析】由正方形的性質(zhì)和已知條件得出BC=CD=1,BCD=90,CE=CF=,得出CEF是等腰直角三角形,由等腰直角三角形的性質(zhì)得出EF的長,即可得出正方形EFGH的周長【解答】解:正方形ABCD的面積為1,BC=CD=1,BCD=90,E、F分別是BC、CD的中點,CE=BC=,CF=CD=,CE=CF,CEF是等腰直角三角形,EF=CE=,正方形EFGH的周長=4EF=4_=2;4.(20_廣東)如圖4,矩形ABCD中,對角線AC=,E為BC邊上一點,BC=3BE,將矩形ABCD沿AE所在的直線折疊,B點恰好落在對角線AC上的B處,則AB= 【答案】【分析】先根據(jù)折疊得出BE=BE,且ABE=B=90,可知EBC是直角三角形,由已知的BC=3BE得EC=2BE,得出ACB=30,從而得出AC與AB的關系,求出AB的長【解答】解:由折疊得:BE=BE,ABE=B=90,EBC=90,BC=3BE,EC=2BE=2BE,ACB=30,在RtABC中,AC=2AB,AB=AC=_2=,5.(20_廣州)如圖,矩形ABCD的對角線AC, BD相交于點O,若AB=AO, 求ABD的度數(shù).【解析】根據(jù)矩形的對角線相等且互相平分可得:AO=BO,則AOB為等邊三角形,進而得到ABD=60.解: 四邊形ABCD為矩形AO=BO又AB=AOAB=AO=BOABD為等邊三角形ABD=606.(20_廣東)如圖,在邊長為6的正方形ABCD中,E是邊CD的中點,將ADE沿AE對折至AFE,延長交BC于點G,連接AG.(1)求證:ABGAFG;(2)求BG的長. 【分析】(1)利用翻折變換對應邊關系得出AB=AF,B=AFG=90,利用HL定理得出ABGAFG即可;(2)利用勾股定理得出GE2=CG2+CE2,進而求出BG即可;【解答】解:(
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