考研數(shù)學中的等價無窮小替換.pdf

第 7卷第 1 期 2 0 1 2年 3月 北京教育學院學報 自然科學 版 J O U RN A L O F B E I J I N G I N S T r 兀IT E O F E D UC AT 1 0 N N A T U R AL S C I E N C E E DI T I ON Vo 1 7 No 1 Ma r 2 0l 2 考研數(shù)學中的等價無窮小替換 陳玉發(fā) 鄭州職業(yè)技術(shù)學院 河南 鄭州4 5 0 1 2 1 摘要 不定式 待定型 極F g算是歷年來考研數(shù)學必考的題 目 羅比達法則是解決這類極限 運算的有效工具 但羅比達法則也有它的局限性 如果把等價無窮小替換和羅比達法則結(jié)合 起來用 不僅可以達到事半功倍的效果 而且有時還可以解決羅比達法則不適用的情形 關(guān)鍵詞 考研數(shù) 學 極限 羅比達法則 等價無 窮小替換 中圖分類號 01 7 1 文獻標識碼 A 文章編號 1 6 7 3 6 9 2 3 2 0 1 2 0 1 0 0 0 1 0 4 1 等價無窮小替換法則 1 1等 價 尢 夯 小 l i m f x 0 o 且 1 則稱 與 是 擴 時的等價無窮小 記做 g 例如 l i ra 魚 1 所 以 s i n x x x 0 同 理 在 o a r c s in x x ta 似 1 一 c 一 手 1n 1 x x 1 等 1 2等價無窮小替換法則 如 1 1 一i r a 髂 或 2 l i m f x h x A 或 1 髂 l ira 鋸 或 2 li m Jx h x 或 證 日月 貉 錯 l im 錯 碰A x 2 l i m J x h x l i r a l i ra A 也就是說 若 時 g 那么在極 限運算中 可以用 1 替換 1 2 歷年考研數(shù)學中的不定式極限的無窮小替換 例 1 2 0 1 0年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學三第 1 題 收稿 日期 2 0 1 1 1 2 2 0 作者簡介 陳玉發(fā) 1 9 6 9 一 男 河南滎陽市人 鄭卅 I 職業(yè)技術(shù)學院副教授 萬方數(shù)據(jù) 北京教育學院學報 自然科學版 若l im f 一 一 e 1 貝 4 0 等于 A 0 B 1 C 2 D 3 解l im 1 一 一 e 1 一 e l i m 一 1 一 e l i a e l i 一 x a 一l a l 所 以 a 2 這里 利用 了 時 e x l 例 2 2 0 0 5年全 國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學三第 1 題 求極限1 i m x s i n 1 解l i x m n暑 麗 2 x 暑 2 這 里 利 用 了 m H sin 暑 例 3 2 0 0 5年全 國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學三第 1 5 題 求 等 一 解l im I X 一 1 l im 言 l i m x x 2 1 e x 1 2 e 3 丁 這里利 用 了 0時 e x l x 所 以 1 e x 例 4 2 0 0 4年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學三第 1 題 若l i m 一 c o s 一 6 1 5 貝 U c 6 U p 一 n 解 因為l i m s i n x 0 而l im c o 一 6 5 所以 必有1 i e 5 0 所以 a 1 r P a a J 于是 s m x 口 c 一 6 s l nx l c o s x 一 6 c 一 6 1 一 b 5 所 以 6 一 4 例 5 2 0 0 2年全 國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學三填空題第 1 題 設(shè)常數(shù) n 1 則 l n 器 解l i m 1 n 2 n a l r l i m f 1 J n 一 l Z 2 na 1 n 2 n a l ira n 1 1 im 1 這 里 利 用 了 n 時 ln 1 例 6 2 0 0 2年全 國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學三第三題 求 極 限l i m r 2 t n 1 d d M x 1 一 c o s 1 萬方數(shù)據(jù) 陳玉發(fā) 考研數(shù)學 中的等價無窮小替換 解 掣 一 手 型 這里利用 了 0時 1 一 c 0 1 以上各例利用等價無窮小替換達到了簡化運算的 目的 有興趣的讀者 可以利用羅 比達法則算一 下 比較一下兩者的優(yōu)劣 極限運算中 利用等價無窮小替換不僅可以達到簡化運算的 目的 而且還可以避免羅比達法則不 適 用 的地方 3 羅比達法則不適 用的情形 在利用羅比達法則進行極限運算時 如果 函數(shù) 的導函數(shù)在該點不連續(xù) 則不能用羅 比達法則計 算 這時可 以利用等價無窮小替換避免極限無法運算的情形 例 7 武忠祥等編著的 2 O l 1 考研數(shù)學基礎(chǔ)題集 數(shù)一 中的一元 函數(shù)微分學練習題第 1 7題 P2 3 蜘脅 婀 導 測 一 解直接利用羅 比達法則 i m f 葉 1 m l lira e 似 一 J 一 一 I q a 1 q a 因為 l i m e 似 刪 l i m e l i m 毒1 lim f a xl 若 在 口處連續(xù) 則 原式 若廠 在 x a處不連續(xù) 則結(jié)果不能確定 例如 zsin 1 0 滿 足 上 題 的 條 件 但 I 1 O 廠 s in 一 c s 在 0 不 連 續(xù) 因 此 不 能 直 接 用 羅 比 達 法 則 運 算 為 了 計 算 這 個 極 限 就 要 避開廠 在 x a處不連續(xù)的情況 利用等價無窮小替換來解決 解根據(jù)微分的定義有 萬方數(shù)據(jù) 北京教育學院學報 自然科學版 葉 1 其 中 是 比 較 高 階 的 無 窮 小 于是 業(yè) 十 甯 1 1 鐠 而 1 l i m e 措 鐠 e e 這 里 利 用 了 r 時 ln 這樣 就避免 了羅 比達法則不能用 的情形 彌補了羅比達法則 的不足 參考文獻 l 武忠祥 張永懷 張卓奎 2 0 1 1 考研數(shù)學基礎(chǔ)題集 數(shù)一 M1 北京 中國書籍 出版社 2 0 1 0 2 3 2 劉玉璉 傅沛仁 數(shù)學分析講義 上 第 2版 M 北京 高等教育 出版社 1 9 8 1 Eq u i v a l e n t I n fin i t e s i ma l Re p l a c e me n t i n M a t h e ma t i c s En t r a n c e Ex a mi n a t i o n t o P o s t g r a d u a t e S t u d y Ch e n Yu f a Z h e n g z h 0 M V 0 c a t i o n a l T e c h n i c a l C o l l e g e H e n a n Z h e n g z h o u 4 5 0 1 2 1 C h i n a Abs t r ac t I n f i ni t i v e l i mi t o p e r a t i o n i s a n i n d i s p e n s a b l e p a r t i n ma t h e ma t i c s e n t r a n c e e x a ml n a t l o n t o p 0 s t g r a d u a t e s t u d y a n d L Ho s p i t al Ru l e i s a n e f f e c t i v e t o o l t o s o l v e t h i s k i n d o f o p e r a t i o n Ho we v e r L Ho s p i al R a 1 s o h a s i t s l i mi t a t i o n s An d t h e c o mb i n a t i o n o f i n fi n i t i v e l i mi t o p e r a t i o n a n d Ho s pi t al Ru l e c a n h e l p y i e l d t wi c e t h e r e s u h w i t h h a l f t h e e f f o rt a n d h e l p s o l v e p r o b l e ms t h a t Ho s pi t al Ru l e c a n t d o Ke v wO r d s ma t h e ma t i c s e x a mi n a t i o n t o p o s t g r a d u a t e l i mi t L Ho s p i t al Ru l e i n fi n i t i v e l i mi t o p e r a t i o n 4 責任編輯張玉平 萬方數(shù)據(jù) 考研數(shù)學中的等價無窮小替換考研數(shù)學中的等價無窮小替換 作者 陳玉發(fā) 作者單位 鄭州職業(yè)技術(shù)學院 河南鄭州 450121 刊名 北京教育學院學報