河北省張家口一中高中數(shù)學(xué) 隨機(jī)變量及其分布 學(xué)案 選修23.docVIP

河北省張家口一中高二數(shù)學(xué)選修2-3 隨機(jī)變量及其分布 學(xué)案【考綱知識(shí)梳理】一、隨機(jī)變量及其分布列1離散型隨機(jī)變量所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量。2離散型隨機(jī)變量的分布列及性質(zhì)（1）一般地，若離散型隨機(jī)變量x可能取的不同值為x取每一個(gè)值的概率，則表xp稱為x的分布列， 為x的分布列。（2）離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)0（）；。3常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量的分布列（1）兩點(diǎn)分布若隨機(jī)變量x服從兩點(diǎn)分布，即其分布列為（2）超幾何分布其中m=minm,n,且nn,mn,n,m,n,稱分布列x01mp為超幾何分布列。二、二項(xiàng)分布及其應(yīng)用1條件概率及其性質(zhì)（1）條件概率的定義a、b為兩個(gè)事件，且p（a）0，p（b|a）=p（ab）/p（a）若a，b相互獨(dú)立，則p（b|a）=p（b）。（2）條件概率的性質(zhì)0p（b|a）1；如果b、c是兩個(gè)互斥事件，則p（bc|a）=p（b|a）+p（c|a）。2事件的相互獨(dú)立性如果p（ab）=p（a）p（b），則稱事件a與事件b相互獨(dú)立。3 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件a恰好發(fā)生k次的概率為p（x=k）=，此時(shí)稱隨機(jī)變量x服從二項(xiàng)分布，記作xb（n,p）三、離散型隨機(jī)變量的均值與方差1離散型隨機(jī)變量的均值與方差若離散型隨機(jī)變量x的分布列為xpex=+為隨機(jī)變量x的均值或數(shù)學(xué)期望dx=為隨機(jī)變量x的方差，其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量x的標(biāo)準(zhǔn)差，記作。2均值與方差的性質(zhì)（1）e(ax+b)=aex+b(2)d(ax+b)=a2dx.(a,b為常數(shù))3兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差（1）若x服從兩點(diǎn)分布，則ex=p，dx=p(1-p).（2）若xb（n,p），則ex=np.dx=np(1-p).四、正態(tài)分布1.正態(tài)曲線及性質(zhì)（1）正態(tài)曲線的定義（2）正態(tài)曲線的性質(zhì)：曲線位于x軸上方，與x軸不相交；曲線是單峰的，它關(guān)于直線x=對(duì)稱；曲線在x=處達(dá)到峰值曲線與x軸之間的面積為1；當(dāng)一定時(shí)，曲線隨著的變化而沿x軸平移當(dāng)一定時(shí)，曲線的形狀由確定。越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散2 正態(tài)分布（1）正態(tài)分布的定義及表示p（axb）=,則稱x為正態(tài)分布，記作。（2）正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間取值的概率值p（-x+）=0.6826;p(-2x+2)=0.9544;p(-3x+3)=0.9974.（3）3原則五、回歸分析以及獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想（見(jiàn)教材）【熱點(diǎn)難點(diǎn)精析】1、 離散型隨機(jī)變量及其分布列例一袋裝有6個(gè)同樣大小的黑球，編號(hào)為1，2，3，4，5，6，現(xiàn)從中隨機(jī)取出3個(gè)球，以x表示取出球的最大號(hào)碼，求x的分布列。（二）離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)例設(shè)離散型隨機(jī)變量x的分布列為x01234p02010103m求：（1）2x+1的分布列；（2）|x-1|的分布列。（三）利用隨機(jī)變量分布解決概率分布問(wèn)題例某車間甲組有10名工人，其中有4名女工人；乙組有5名工人，其中有3名女工人，現(xiàn)采用分層抽樣方法（層內(nèi)采用不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣）從甲、乙兩組中共抽取3名工人進(jìn)行技術(shù)考核。（1）求從甲、乙兩組各抽取的人數(shù)； （2）求從甲組抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（3）記表示抽取的3名工人中男工人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望。 二、二項(xiàng)分布及其應(yīng)用（一）條件概率例1號(hào)箱中有2個(gè)白球和4個(gè)紅球,2號(hào)箱中有5個(gè)白球和3個(gè)紅球,現(xiàn)隨機(jī)地從1號(hào)箱中取出一球放入2號(hào)箱,然后從2號(hào)箱隨機(jī)取出一球,問(wèn)從2號(hào)箱取出紅球的概率是多少?(二)事件的相互獨(dú)立性例甲、乙、丙三人按下面的規(guī)則進(jìn)行乒乓球比賽：第一局由甲、乙參加而丙輪空，以后每一局由前一局的獲勝者與輪空者進(jìn)行比賽，而前一局的失敗者輪空.比賽按這種規(guī)則一直進(jìn)行到其中一人連勝兩局或打滿6局時(shí)停止.設(shè)在每局中參賽者勝負(fù)的概率均為，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立.求：（） 打滿3局比賽還未停止的概率；（）比賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)的分別列與期望.(三)二項(xiàng)分布例某地區(qū)為下崗人員免費(fèi)提供財(cái)會(huì)和計(jì)算機(jī)培訓(xùn),以提高下崗人員的再就業(yè)能力.每名下崗人員可以選擇參加一項(xiàng)培訓(xùn)、參加兩項(xiàng)培訓(xùn)或不參加培訓(xùn).已知參加過(guò)財(cái)會(huì)培訓(xùn)的有60%,參加過(guò)計(jì)算機(jī)培訓(xùn)的有75%,假設(shè)每個(gè)人對(duì)培訓(xùn)項(xiàng)目的選擇是相互獨(dú)立的,且各人的選擇相互之間沒(méi)有影響.(1)任選1名下崗人員,求該人參加過(guò)培訓(xùn)的概率;(2)任選3名下崗人員,記為3人中參加過(guò)培訓(xùn)的人數(shù),求的分布列.(四)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)例甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標(biāo)的概率分布是和。假設(shè)兩人射擊是否擊中目標(biāo)相互之間沒(méi)有影響，每人各次射擊是否擊中目標(biāo)，相互之間也沒(méi)有影響。(1)求甲射擊4次,至少有1次未擊中目標(biāo)的概率;(2)求兩人各射擊4次,甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)3次的概率;(3)假設(shè)某人連續(xù)2次未擊中目標(biāo),則終止其射擊.問(wèn):乙恰好射擊5次后,被終止射擊的概率是多少?三、離散型隨機(jī)變量的均值與方差的計(jì)算例甲乙兩隊(duì)參加奧運(yùn)知識(shí)競(jìng)賽，每隊(duì)3人，每人回答一個(gè)問(wèn)題，答對(duì)者為本隊(duì)贏得一分，答錯(cuò)得零分。假設(shè)甲隊(duì)中每人答對(duì)的概率均為，乙隊(duì)中3人答對(duì)的概率分別為且各人正確與否相互之間沒(méi)有影響.用表示甲隊(duì)的總得分.（）求隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望；()用a表示“甲、乙兩個(gè)隊(duì)總得分之和等于3”這一事件，用b表示“甲隊(duì)總得分大于乙隊(duì)總得分”這一事件，求p(ab).（二）均值與方差的實(shí)際應(yīng)用例現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，對(duì)甲項(xiàng)目每投資十萬(wàn)元，一年后利潤(rùn)是1.2萬(wàn)元、1.18萬(wàn)元、1.17萬(wàn)元的概率分別為、；已知乙項(xiàng)目的利潤(rùn)與產(chǎn)品價(jià)格的調(diào)整有關(guān)，在每次調(diào)整中，價(jià)格下降的概率都是p(0p1)，設(shè)乙項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格在一年內(nèi)進(jìn)行兩次獨(dú)立的調(diào)整。記乙項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格在一年內(nèi)的下降次數(shù)為x，對(duì)乙項(xiàng)目每投資十萬(wàn)元，x取0、1、2時(shí)。隨機(jī)變量，分別表示對(duì)甲、乙兩項(xiàng)目各投資十萬(wàn)元一年后的利潤(rùn)。（1）求，的概率分布列和均值，；（2）當(dāng)時(shí)，求p的取值范圍。(三)均值與方差性質(zhì)的應(yīng)用例設(shè)隨機(jī)變量具有分布p(=k)=,k=1,2,3,4,5,求e(+2)2,d(2-1),(-1).四、正態(tài)分布（一）正態(tài)分布下的概率計(jì)算例設(shè)xn（5，1），求p（6x7）。（二）正態(tài)曲線的性質(zhì)例如圖是一個(gè)正態(tài)曲線。試根據(jù)該圖象寫出其正態(tài)曲線函數(shù)解析式，求出總體隨機(jī)變量的期望和方差。（三）正態(tài)分布的應(yīng)用例設(shè)在一次數(shù)學(xué)考試中，某班學(xué)生的分?jǐn)?shù)服從，且知滿分150分，這個(gè)班的學(xué)生共54人。求這個(gè)班在這次數(shù)學(xué)考試中及格（不小于90分）的人數(shù)和130分以上的人數(shù)。五、回歸分析以及獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想例：關(guān)于與有如下數(shù)據(jù)：245683040605070為了對(duì)、兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，現(xiàn)有以下兩種線性模型：，試比較哪一個(gè)模型擬合的效果更好.例題2一臺(tái)機(jī)器使用時(shí)間較長(zhǎng)，但還可以使用.它按不同的轉(zhuǎn)速生產(chǎn)出來(lái)的某機(jī)械零件有一些會(huì)有缺點(diǎn)，每小時(shí)生產(chǎn)有缺點(diǎn)零件的多少，隨機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)的速度而變化，