二階電路的零輸入響應.doc

第五章 動態(tài)電路的時域分析5.6 二階電路的零輸入響應5.6.1 二階電路的初始條件初始條件在二階電路的分析進程中起著決定性作用，確定初始條件時，必須注意以下幾個方面。第一，在分析電路時，要始終仔細考慮電容兩端電壓的極性和流過電感電流的方向；第二，電容上的電壓總是連續(xù)的，即 （5-31）流過電感的電流也總是連續(xù)的，即 （5-32）確定初始條件時，首先要用（5-31）和（5-32）式確定沒有突變的電路電流，電容電壓和電感電流的初始值。5.6.2 R L C串聯(lián)電路的零輸入響應如圖5-37所示為RLC串聯(lián)電路。開關S閉合前，電容已經充電，且電容的電壓，電感中儲存有電場能，且初始電流為當時，開關S閉合，電容將通過放電，其中一部分被電阻消耗，另一部分被電感以磁場能的形式儲存，之后磁場能有通過R轉換成電場能，如此反復；同樣，也有可能先是由電感儲存的磁場能轉換成電場能，并如此反復，當然也可能不存在能量的反復轉換。圖5-37 RLC串聯(lián)電路的零輸入響應由圖5-37所示參考方向，據KVL可得 且有，。將其代入上式得 式（5-33）是RLC串聯(lián)電路放電過程以為變量的微分方程，為一 個線性常系數二階微分方程。如果以電流作為變量，則RLC串聯(lián)電路的微分方程為 （5-34）在此，僅以為變量進行分析，令，并代入（5-33），得到其對應的特征方程 求解上式，得到特征根為 （5-35） 因此，電容電壓用兩特征根表示如下： （5-36）從式（5-35）可以看出，特征根、僅與電路的參數和結構有關，而與激勵和初始儲能無關。、又稱為固有頻率，單位為奈培 奈培是一個無量綱單位，以奈培（John Napier,英格蘭數學家）的名字命名。每秒，它與電路的自然響應函數有關。根據換路定則，可以確定方程（5-33）的初始條件為，又因為，所以有。將初始條件和式（5-36）聯(lián)立可得 （5-37）首先討論有已經充電的電容向電阻電感放電的性質，即且。有 （5-38）將、的表達式代入（5-36）式即可得到RLC串聯(lián)電路的零輸入響應，但特征根、與電路的參數R、L、C有關，根據二次方程根的判別式可知、只有三種可能情況，下面對這三種情況分別討論1.，過阻尼情況在此情況下，、為兩個不相等的實數，電容電壓可表示為 （5-39）根據電壓電流的關系，可以求出電路的其他響應為 （5-40） （5-41）其中利用了的關系。由于，因此時，且。所以時一直為正。從（5-40）可以看出，當時，也一直為正，但是進一步分析可知，當時，當時，這表明將出現極值，可以求一階導數得到，即 故 其中為電流達到最大的時刻。、的波形如圖5-38所示。圖5-38 過阻尼放電過程中、的波形從圖5-38可以看出，電容在整個過程中一直在釋放儲的電能，稱之為非振蕩放電，有叫做過阻尼放電。當時電感吸收能量，建立磁場；時，電感釋放能量，磁場衰減，趨向消失。當時，電感電壓過零點。2. ，欠阻尼情況 當時，特征根、是一對共軛復數，即 （5-42）其中：稱之為振蕩電路的衰減系數；稱之為振蕩電路的衰減角頻率。稱之為無阻尼自由振蕩角頻率，或浮振角頻率。顯然有，令，則有，如圖5-39所示。圖5-39 之間的關系根據歐拉公式 （5-43）可得 ， 所以有 = = = （544）根據式（5-40），（5-41）可知 （5-45） （5-46）從上述情況分析可以看出，、的波形呈振蕩衰減狀態(tài)。在衰減過程中，兩種儲能元件相互交換能量，如表5-2所示。、的波形如圖5-40所示。圖5-40 欠阻尼情況下、的波形表5-2電容釋放釋放吸收電感吸收釋放釋放電阻消耗消耗消耗從欠阻尼情況下 、的表達式還能得到以下結論：（1） ， 為電流的過零點，即的極值點。（2） ，為電感電壓的過零點，即電流的極值點。（3） ，為電容電壓的過零點。在上述阻尼的情況中，有一種特殊情況，,此時、為一對共軛虛數， 代入到（5-44），（5-45），（5-46）式可得 （5-47） （5-48） （5-49）由此可見，、各量都是正弦函數，隨時推移其振幅并不衰減。其波形如圖5-41所示圖5-41 LC零輸入電路無阻尼時、波形3. ，臨界阻尼情況在此條件下，特征方程具有重根，即 全微分方程（5-33）的通解為 根據初始條件可得 所以，很容易得到 （5-50） （5-51） （5-52）顯然，、不作振蕩變化，隨著時間的推移逐漸衰減，其衰減過程的波形與圖5-38類似。此種狀態(tài)是振蕩過程與非振蕩過程的分界線，所以將的過程稱為臨界非振蕩過程，其電阻也被稱之為臨界電阻。5.7 二階電路的零狀態(tài)響應如果二階電路中動態(tài)元件的儲能（電容儲存電場能與電感儲存的磁場能）均為零時，其響應僅由外施激勵產生，稱為二階電路的零輸入響應。5.7.1 R L C串聯(lián)電路的零狀態(tài)響應電路如圖5-47所示，開關S閉合前，電容和電感電流均為零。時，開關S閉合。圖5-47 RLC串聯(lián)電路的零狀態(tài)響應以為電路的變量，根據VCR和KVL，有 （5-63）方程（5-64）為二階常系數非齊次微分方程，其解由兩部分組成，一部分為非齊次方程的特解，另一部分為對應齊次方程的通解，即。方程（5-63）對應的齊次微分方程 （5-64）方程（5-64）與方程（5-33）完全相同，其對應的特征方程的根也有三種情況。將結論分別表示如下 1.，非振蕩充電過程 電路響應表示為 其中、為特征根，表達式與（5-35）式相同。、和的波形如圖5-48所示，圖5-48 、和的波形圖其中 ，是電感電壓過零點，也是電流達到最大值的時刻。2.，振蕩充電過程 電路響應表示為 其中，此情況下的充電過程也為非振蕩充電。5.7.2 RLC并聯(lián)電路的零狀態(tài)響應二階RLC并聯(lián)電路如圖5-49所示， ，。時，開關S斷開。根據KCL有 圖5-49 RLC并聯(lián)電路的零狀態(tài)響應如果以為待求變量，則有 （5-65）方程以（5-65）是二階線性非齊次常微分方程，與（5-63）式的求解過程相同，其通解由特解和對應齊次微分方程通解兩部分組成。如果為直流激勵或正弦激勵，則取穩(wěn)態(tài)解為特解而通解與零輸入響應形式相同，其積分常數有初始條件來確定。 5.8 二階電路的全響應在前兩節(jié)中所討論的二階電路中，要么只有初始儲能，要么只有外施激勵。分別得到二階微分方程求解的方法非常相似。如果二階電路既有初始儲能又接入了外施激勵，則電路的響應稱為二階電路的全響應。分析一階電路的全響應的方法在二階電路中同樣適用，一般用零輸入響應與零狀態(tài)響應疊加來計算全響應。例 電路如圖5-51所示，已知，時開關S閉合，求開關閉合后電感中的電流。圖5-51 例5-12圖解：開關S閉合前，電感中的電流，具有初始儲能；開關S閉合后，直流激勵源作用于電路，故為二階電路的全響應。（1）列出開關閉合后的電路微