反三角函數(shù)求導公式證明.doc

2.3 反函數(shù)的導數(shù)，復合函數(shù)的求導法則一、反函數(shù)的導數(shù)設(shè)是直接函數(shù)，是它的反函數(shù)，假定在內(nèi)單調(diào)、可導，而且，則反函數(shù)在間內(nèi)也是單調(diào)、可導的，而且 (1)證明： ，給以增量由 在 上的單調(diào)性可知于是因直接函數(shù)在上單調(diào)、可導，故它是連續(xù)的，且反函數(shù)在上也是連續(xù)的，當時，必有即：【例1】試證明下列基本導數(shù)公式 證1、設(shè)為直接函數(shù)，是它的反函數(shù)函數(shù) 在 上單調(diào)、可導，且 因此，在 上， 有 注意到，當時，因此，證2設(shè)，則， 在 上單調(diào)、可導且 故證3類似地，我們可以證明下列導數(shù)公式：二、復合函數(shù)的求導法則如果在點可導，而在點可導，則復合函數(shù)在點可導，且導數(shù)為證明：因，由極限與無窮小的關(guān)系，有用去除上式兩邊得：由在的可導性有： ， 即上述復合函數(shù)的求導法則可作更一般的敘述：若在開區(qū)間可導，在開區(qū)間可導，且時，對應(yīng)的 ，則復合函數(shù)在內(nèi)可導，且 (2)復合函數(shù)求導法則是一個非常重要的法則，特給出如下注記：弄懂了鎖鏈規(guī)則的實質(zhì)之后，不難給出復合更多層函數(shù)的求導公式?！纠?】，求 引入中間變量， 設(shè) ，于是變量關(guān)系是 ，由鎖鏈規(guī)則有：(2)、用鎖鏈規(guī)則求導的關(guān)鍵引入中間變量，將復合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)。還應(yīng)注意：求導完成后，應(yīng)將引入的中間變量代換成原自變量?！纠?】求的導數(shù)。解：設(shè) ，則，由鎖鏈規(guī)則有：【例4】 設(shè) ，求。由鎖鏈規(guī)則有(基本初等函數(shù)求導)( 消中間變量) 由上例，不難發(fā)現(xiàn)復合函數(shù)求導竅門中間變量在求導過程中，只是起過渡作用，熟練之后，可不必引入，僅需“心中有鏈”。然后，對函數(shù)所有中間變量求導，直至求到自變量為止，最后諸導數(shù)相乘。請