傅里葉變換分析.doc

第二章 傅立葉變換分析方法1 引言系統(tǒng)(或信號(hào))時(shí)域描述: 線性差分方程, 單位脈沖響應(yīng).頻域描述: 傅立葉變換, Z變換.=時(shí)域特征 頻域特征 濾波器頻域特征 濾波后信號(hào)2 序列的傅立葉變換1. 定義: ;稱為的傅立葉變換, 也稱頻譜函數(shù).簡記 =FTx(n); 注意1當(dāng)定時(shí),是n的序列,注意2 結(jié)果是的連續(xù)函數(shù).2. 的FT存在 ;3. 傅立葉反變換:.簡記 x(n)=IFT.4. 的幅頻, 相頻表示:例1 求的FT.解 , 例2 求的傅立葉變換.解 對(duì)任給一個(gè), 有 當(dāng)N=4時(shí), 有當(dāng)時(shí)的各點(diǎn), 見右圖.其值意義為:原序列在各數(shù)字頻率上的分量.由于當(dāng)時(shí), 序列變化最劇烈,即數(shù)字頻率最高值為.cos(npi)圖: n=-3 -2 -1 0 1 2 3 4; stem(n,cos(n*pi);X(ejw)的程序計(jì)算說明: 對(duì)每個(gè)w有對(duì)各個(gè)有: %X(ejw)的作圖xn=1 1 1 1; n=0:3;k=0:100; w=pi/50*k;xw=xn*(exp(-j*pi/50).(n*k);magx=abs(xw);magx2=magx,magx; w2=w-2*pi,w,; %拼成2piangx=angle(xw); angx2=angx,angx;%X(ejw)的幅頻圖subplot(2,1,1);plot(w2,magx2);%X(ejw)的相頻圖subplot(2,1,2);plot(w2,angx2); %也可直接作出Xw=0:2*pi/100:2*pi;plot(w,abs(sin(2*w)./sin(w/2);Warning: Divide by zero.3 序列的傅立葉變換性質(zhì)1. 周期性 (關(guān)于w)2. 線性性設(shè), ,則.().證 按定義即得.3. 時(shí)移,頻移 設(shè), 則;.證 由定義得(i) .(ii) .例1 求的FT.解 .4. 共軛對(duì)稱(1) 時(shí)域上對(duì)稱(關(guān)于n)(0) 稱是對(duì)稱序列: 若(i) 稱是共軛對(duì)稱序列: 若(ii) 稱是共軛反對(duì)稱序列: 若(2) 頻域上對(duì)稱(關(guān)于w)(i)稱是共軛對(duì)稱函數(shù): 若;(ii)稱是共軛反對(duì)稱函數(shù)若;例2 分析的對(duì)稱性.解 因, 故共軛對(duì)稱.共軛對(duì)稱序列的虛實(shí)分解: 實(shí)部偶+j虛部奇;由,得.共軛反對(duì)稱序列的虛實(shí)分解: 實(shí)部奇+j虛部偶例3 分析對(duì)稱性.解 = 共軛反對(duì)稱, 實(shí)部奇, 虛部偶.(3) 實(shí)的FT為共軛對(duì)稱(主要)設(shè), 則(易得, 對(duì)純的FT為共軛反對(duì)稱) (4) 復(fù)序列的FT性質(zhì)(介紹)設(shè) 作FT得時(shí)域中虛實(shí)分解=頻域中共軛對(duì)稱與反對(duì)稱分解5. 時(shí)域卷積 (=頻域乘積)前有 , 現(xiàn)有 令，得6. (時(shí)域乘積=)頻域卷積設(shè), 則有即 .7. 帕斯維爾(Parseval)(時(shí)頻能量守恒).證 設(shè) 及,則有 .令,得.部分性質(zhì)匯總在表2