常州數(shù)學小一模.doc

2015屆高三模擬考試試卷(九)數(shù)學(滿分160分，考試時間120分鐘)20152一、 填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分1. 設集合A1，0，1，B0，1，2，3，則AB_.2. 函數(shù)f(x)log2(x26)的定義域為_3. 設復數(shù)z(m0，i為虛數(shù)單位)，若zz，則m的值為_4. 已知雙曲線ax24y21的離心率為，則實數(shù)a的值為_(第6題)5. 函數(shù)f(x)cos的最小正周期為_6. 右圖是一個算法流程圖，則輸出的a的值是_7. 現(xiàn)有5道試題，其中甲類試題2道，乙類試題3道，現(xiàn)從中隨機取2道試題，則至少有1道試題是乙類試題的概率為_8. 若實數(shù)x，y滿足約束條件則目標函數(shù)z2xy的最小值為_9. 曲線yxcosx在點處的切線方程為_10. 已知函數(shù)f(x)|2x2|(x(1，2)，則函數(shù)yf(x1)的值域為_11. 已知向量a(1，1)，b(1，1)，設向量c滿足(2ac)(3bc)0，則|c|的最大值為_12. 設等比數(shù)列an的公比為q(0q1)，前n項和為Sn，若a14a3a4，且a6與a4的等差中項為a5，則S6_.13. 若不等式x22y2cx(yx)對任意滿足xy0的實數(shù)x，y恒成立，則實數(shù)c的最大值為_14. 在平面直角坐標系xOy中，已知圓O1，圓O2均與x軸相切且圓心O1，O2與原點O共線，O1，O2兩點的橫坐標之積為6，設圓O1與圓O2相交于P，Q兩點，直線l：2xy80，則點P與直線l上任意一點M之間的距離的最小值為_二、 解答題：本大題共6小題，共90分. 解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟15. (本小題滿分14分)在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知，A3C.(1) 求cosC的值；(2) 求sinB的值；(3) 若b3，求ABC的面積(本小題滿分14分)如圖，四棱錐PABCD的底面ABCD是平行四邊形，平面PBD平面ABCD，PBPD，PAPC，CDPC，O，M分別是BD，PC的中點，連結(jié)OM.求證：(1) OM平面PAD；(2) OM平面PCD.17. (本小題滿分14分)某學校為了支持生物課程基地研究植物生長，計劃利用學校空地建造一間室內(nèi)面積為900 m2的矩形溫室，在溫室內(nèi)劃出三塊全等的矩形區(qū)域，分別種植三種植物，相鄰矩形區(qū)域之間間隔1 m，三塊矩形區(qū)域的前、后與內(nèi)墻各保留1 m寬的通道，左、右兩塊矩形區(qū)域分別與相鄰的左右內(nèi)墻保留3 m寬的通道，如圖設矩形溫室的室內(nèi)長為x(m)，三塊種植植物的矩形區(qū)域的總面積為S(m2)(1) 求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2) 求S的最大值18. (本小題滿分16分)在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：1(ab0)的離心率e，直線l：xmy10(mR)過橢圓C的右焦點F，且交橢圓C于A，B兩點(1) 求橢圓C的標準方程；(2) 已知點D，連結(jié)BD，過點A作垂直于y軸的直線l1，設直線l1與直線BD交于點P，試探索當m變化時，是否存在一條定直線l2，使得點P恒在直線l2上？若存在，請求出直線l2的方程；若不存在，請說明理由19. (本小題滿分16分)已知數(shù)列an(nN*，1n46)滿足a1a，an1an其中d0，nN*.(1) 當a1時，求a46關(guān)于d的表達式，并求a46的取值范圍；(2) 設集合Mb|baiajak，i，j，kN*，1ijk16 若a，d，求證：2M； 是否存在實數(shù)a，d，使，1，都屬于M？若存在，請求出實數(shù)a，d；若不存在，請說明理由20. (本小題滿分16分)已知a，b為實數(shù)，函數(shù)f(x)b，函數(shù)g(x)lnx.(1) 當ab0時，令F(x)f(x)g(x)，求函數(shù)F(x)的極值；(2) 當a1時，令G(x)f(x)g(x)，是否存在實數(shù)b，使得對于函數(shù)yG(x)定義域中的任意實數(shù)x1，均存在實數(shù)x21，)，有G(x1)x20成立？若存在，求出實數(shù)b的取值集合；若不存在，請說明理由.2015屆高三模擬考試試卷(九)數(shù)學附加題(滿分40分，考試時間30分鐘)21. 【選做題】 在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共20分若多做，則按作答的前兩題計分解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟A. (選修41：幾何證明選講)如圖，已知AB是圓O的直徑，P是上半圓上除直徑AB端點A，B外的任意一點，PC是APB的平分線，E是下半圓的中點求證：直線PC經(jīng)過點E.B. (選修42：矩陣與變換)已知矩陣M滿足：Miii，其中i(i1，2)是互不相等的實常數(shù)，ai(i1，2)是非零的平面列向量，11，2，求矩陣M.C. (選修44：坐標系與參數(shù)方程)已知兩個動點P，Q分別在兩條直線l1：yx和l2：yx上運動，且它們的橫坐標分別為角的正弦，余弦，0，記，求動點M的軌跡的普通方程D. (選修45：不等式選講)已知a0，b0，證明：(a2b2ab)(ab2a2b1)9a2b2.【必做題】 第22、23題，每小題10分，共20分解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟22. 一位網(wǎng)民在網(wǎng)上光顧某淘寶小店，經(jīng)過一番瀏覽后，對該店鋪中的A，B，C，D，E五種商品有購買意向已知該網(wǎng)民購買A，B兩種商品的概率均為，購買C，D兩種商品的概率均為，購買E種商品的概率為.假設該網(wǎng)民是否購買這五種商品中的任一種不受其他商品的影響(1) 求該網(wǎng)民至少購買4種商品的概率；(2) 用隨機變量表示該網(wǎng)民購買商品的種數(shù)，求的概率分布和數(shù)學期望23. 設n個正數(shù)a1，a2，an滿足a1a2an(nN*且n3)(1) 當n3時，證明：a1a2a3；(2) 當n4時，不等式a1a2a3a4也成立，請你將其推廣到n(nN*且n3)個正數(shù)a1，a2，an的情形，歸納出一般性的結(jié)論并用數(shù)學歸納法證明2015屆高三模擬考試試卷(一)(常州)數(shù)學參考答案及評分標準1. 0，12. (，)(，)3. 4. 85. 26. 1277. 8. 19. 2xy010. 0，2)11. 12. 13. 2414. 15. 解：(1) 因為ABC，A3C，所以B2C.(2分)又由正弦定理，得，化簡，得cosC.(5分)(2) 因為C(0，)，所以sinC.所以sinBsin2C2sinCcosC2.(8分)(3) 因為B2C，所以cosBcos2C2cos2C121.(10分)因為ABC，所以sinAsin(BC)sinBcosCcosBsinC.(12分)因為，b3，所以c.所以ABC的面積SbcsinA3.(14分)16. 證明：(1) 連結(jié)AC，因為ABCD是平行四邊形，所以O為AC的中點(2分)在PAC中，因為O，M分別是AC，PC的中點，所以OMPA.(4分)因為OM平面PAD，PA平面PAD，所以OM平面PAD.(6分)(2) 連結(jié)PO.因為O是BD的中點，PBPD，所以POBD.因為平面PBD平面ABCD，平面PBD平面ABCDBD，PO平面PBD，所以PO平面ABCD.從而POCD.(8分)因為CDPC，PCPOP，PC平面PAC，PO平面PAC，所以CD平面PAC.因為OM平面PAC，所以CDOM.(10分)因為PAPC，OMPA，所以OMPC.(12分)因為CD平面PCD，PC平面PCD，CDPCC，所以OM平面PCD.(14分)17. 解：(1) 由題設，得S(x8)2x916，x(8，450)(6分)(2) 因為8x0， y1y2，y1y2.(10分) kDBkDP，(13分) 式代入上式，得kDBkDP0， kDBkDP.(15分) 點P(4，y1)恒在直線BD上，從而直線l1、直線BD與直線l2：x4三線過同一點P， 存在一條定直線l2：x4使得點P恒在直線l2上(16分)19. (1) 解：當a1時，a16115d，a311615d，a461615.(2分)因為d0，d2，或d2，所以a46(，1446，)(4分)(2) 證明：由題意an，1n16，b1.(6分)令12，得ijk7.因為i，j，kN*，1ijk16，所以令i1，j2，k4，則2M.(8分) 不存在實數(shù)a，d，使，1，同時屬于M.(9分)假設存在實數(shù)a，d，使，1，同時屬于M.因為ana(n1)d，所以b3a(ijk3)d，從而Mb|b3amd，3m42，mZ(11分)因為，1，同時屬于M，所以存在三個不同的整數(shù)x，y，z(x，y，z3，42)，使得從而則.(13分)因為35與48互質(zhì)，且yx與zx為整數(shù)，所以|yx|35，|zx|48，但|zx|39，矛盾所以不存在實數(shù)a，d，使，1，都屬于M.(16分)20. 解：(1) F(x)lnx，F(xiàn)(x)，令F(x)0，得x1.(1分)列表：x(0，1)1(1，)F(x)0F(x)極小值所以F(x)的極小值為F(1)1，無極大值(4分)(2) 當a1時，假設存在實數(shù)b滿足條件，則G(x)lnx1在x(0，1)(1，)上恒成立(5分)1) 當x(0，1)時，G(x)lnx1可化為(bx1b)lnxx10，令H(x)(bx1b)lnxx1，x(0，1)，問題轉(zhuǎn)化為：H(x)0對任意x(0，1)恒成立(*)；則H(1)0，H(x)blnxb1，H(1)0.令Q(x)blnxb1，則Q(x). b時，因為b(x1)1(x1)1210，故Q(x)Q(1)0，即H(x)0，從而函數(shù)yH(x)在x(0，1)時單調(diào)遞增，故H(x)，所以10，故Q(x)0，所以函數(shù)yQ(x)在xI時單調(diào)遞增，Q(x)Q(1)0，即H(x)H(1)0，此時(*)不成立；所以當x(0，1)，G(x)lnx1恒成立時，b；(9分)2) 當x(1，)時，G(x)lnx1可化為(bx1b)lnxx10，令H(x)(bx1b)lnxx1，x(1，)，問題轉(zhuǎn)化為：H(x)0對任意的x(1，)恒成立(*)；則H(1)0，H(x)blnxb1，H(1)0.令Q(x)blnxb1，則Q(x). b時，b(x1)12b1210，故 Q(x)0，所以函數(shù)yQ(x)在x(1，)時單調(diào)遞增，Q(x)Q(1)0，即H(x)0，從而函數(shù)yH(x)在x(1，)時單調(diào)遞增，所以H(x)H(1)0，此時(*)成立；(11分) 當b時，) 若 b0，必有Q(x)0，故函數(shù)yQ(x)在x(1，)上單調(diào)遞減，所以Q(x)Q(1)0，即H(x)0，從而函數(shù)yH(x)在x(1，)時單調(diào)遞減，所以H(x)H(1)0，此時(*)不成立；(13分) 若0b1，所以當x時，Q(x)0，故函數(shù)yQ(x)在x上單調(diào)遞減，Q(x)Q(1)0，即H(x)0，所以函數(shù)yH(x)在x時單調(diào)遞減，所以H(x)0，b0，所以a2b2ab33ab0，(4分)ab2a2b133ab0，(8分)所以(a2b2ab)(ab2a2b1)9a2b2.(10分)22. 解：(1) 記“該網(wǎng)民購買i種商品”為事件Ai，i4，5，則P(A5)，P(A4)CC，(2分)所以該網(wǎng)民至少購買4種商品的概率為P(A5)P(A4).答：該網(wǎng)民至少購買4種商品的概率為.(3分)(2) 隨機變量的可能取值為0，1，2，3，4，5，P(0)，P(1)CC，P(2)CCCC，P(3)1P(0，1，2，4，5)1，P(4)P(A4)，P(5)P(A5).(8分)所以，隨機變量的概率分布為012345P故E012345.(10分)23. (1) 證明：因為an(nN*且n3)均為正實數(shù)，左右0，所