合理構(gòu)造函數(shù)解導(dǎo)數(shù)問題.doc

合理構(gòu)造函數(shù)解導(dǎo)數(shù)問題 構(gòu)造函數(shù)是解導(dǎo)數(shù)問題的基本方法，但是有時簡單的構(gòu)造函數(shù)對問題求解帶來很大麻煩甚至是解決不了問題的，那么怎樣合理的構(gòu)造函數(shù)就是問題的關(guān)鍵，這里我們來一起探討一下這方面問題。 例1：（2009年寧波市高三第三次模擬試卷22題）已知函數(shù).(1) 若為的極值點，求實數(shù)的值；(2) 若在上增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；(3) 若時，方程有實根，求實數(shù)的取值范圍。解：（1）因為是函數(shù)的一個極值點，所以，進而解得：，經(jīng)檢驗是符合的，所以 （2）顯然結(jié)合定義域知道在上恒成立，所以且。同時此函數(shù)是時遞減，時遞增， 故此我們只需要保證，解得：（3）方法一、變量分離直接構(gòu)造函數(shù)解：由于，所以： 當時，所以在上遞增；當時，所以在上遞減； 又 當時，所以在上遞減；當時，所以上遞增；當時，所以在上遞減；又當時，當時，則且的取值范圍為原函數(shù)草圖二階導(dǎo)數(shù)草圖一階導(dǎo)數(shù)草圖，方法二、 構(gòu)造： 從而在上為增函數(shù)；從而在上為減函數(shù) 而 分析點評：第（3）問的兩種解法難易繁雜一目了然，關(guān)鍵在合理構(gòu)造函數(shù)上。那么怎樣合理構(gòu)造函數(shù)呢？（1）抓住問題的實質(zhì)，化簡函數(shù)1、已知是二次函數(shù)，不等式的解集是，且在區(qū)間上的最大值. （1）求的解析式；（2）是否存在自然數(shù)，使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個不等的實數(shù)根？若存在，求出所有的值；若不存在，請說明理由。解：（1） （2）假設(shè)滿足要求的實數(shù)存在，則，即有： ，即有：構(gòu)造函數(shù) 畫圖分析：進而檢驗，知,所以存在實數(shù)使得在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個不等的實數(shù)根。點評：本題關(guān)鍵是構(gòu)造了函數(shù)，舍棄了原函數(shù)中分母問題得到了簡化。變式練習(xí)：設(shè)函數(shù)，求已知當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍。（2）抓住常規(guī)基本函數(shù)，利用函數(shù)草圖分析問題：例： 已知函數(shù)的圖像在點處的切線方程為設(shè)（1） 求證：當時，恒成立；（2） 試討論關(guān)于的方程根的個數(shù)。解證：（1） （2）方程從而 因為所以方程可變?yōu)?令，得： 當時，在上為增函數(shù)；當時，在上為減函數(shù)；當時， 又所以函數(shù)在同一坐標系的大致圖像如圖所示 當即時，方程無解； 當即時，方程一解； 當即時，方程有2個根。分析點評：一次函數(shù)，二次函數(shù)，指對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，簡單的分式根式函數(shù)，絕對值函數(shù)的圖象力求清晰準確，一些綜合性的問題基本上是這些函數(shù)的組合體，如果適當分解和調(diào)配就一定能找到問題解決的突破口，使問題簡單化明確化。（3）復(fù)合函數(shù)問題一定要堅持定義域優(yōu)先的原則，抓住函數(shù)的復(fù)合過程能夠逐層分解。例：已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增。（1） 求實數(shù)的值.（2） 若關(guān)于的方程有3個不同的實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍.（3） 若函數(shù)的圖像與坐標軸無交點，求實數(shù)的取值范圍。解：（1）利用 得： （2）因為 得 列表得因此有極大值極小值作出的示意圖，如圖:因為關(guān)于的方程有3個不同的實數(shù)解，令即關(guān)于的方程在上有3個不同的實數(shù)解，所以的圖像與直線在上有3個不同的交點。而的圖像與的圖像一致。即（3）函數(shù)的圖像與坐標軸無交點，可以分以下2種情況：當函數(shù)的圖像與軸無交點時，則必須有無解，而函數(shù)的值域為所以解得當函數(shù)的圖像與軸無交點時，則必須有不存在，即或，有意義，所以，解得. 由函數(shù)存在，可知有解，解得，故實數(shù)的取值范圍為分析點評：復(fù)合函數(shù)尤其是兩次復(fù)合，一定要好好