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第四章量子力學(xué)中的力學(xué)量 第四章 目 錄4.1表示力學(xué)量算符的性質(zhì)3(1) 一般運算規(guī)則3(2) 算符的對易性5(3) 算符的厄密性（Hermiticity）74.2 厄密算符的本征值和本征函數(shù)11(1) 厄密算符的本征值和本征函數(shù)11(2) 厄密算符的本征值的本征函數(shù)性質(zhì)134.3 連續(xù)譜本征函數(shù)“歸一化”16（1） 連續(xù)譜本征函數(shù)“歸一化”16（2） 函數(shù)19（3） 本征函數(shù)的封閉性234.4 算符的共同本征函數(shù)25(1) 算符“漲落”之間的關(guān)系25(2) 算符的共同本征函數(shù)組28(3) 角動量的共同本征函數(shù)組球諧函數(shù)29(4) 力學(xué)量的完全集354.5 力學(xué)量平均值隨時間的變化，運動常數(shù)（守恒量）,恩費斯脫定理（Ehrenfest Theorem）37(1) 力學(xué)量的平均值，隨時間變化；運動常數(shù)37(2) Vivial Theorem維里定理38(3) 能量時間測不準關(guān)系39(4) 恩費斯脫定理（Ehrenfest Theorem）39第四章 量子力學(xué)中的力學(xué)量4.1表示力學(xué)量算符的性質(zhì)(1) 一般運算規(guī)則一個力學(xué)量如以算符表示。它代表一運算，它作用于一個波函數(shù)時，將其變?yōu)榱硪徊ê瘮?shù) 。它代表一個變換，是將空間分布的幾率振幅從 例：，于是 即將體系的幾率分布沿x方向移動距離a . A. 力學(xué)量算符至少是線性算符；量子力學(xué)方程是線性齊次方程。由于態(tài)疊加原理，所以在量子力學(xué)中的算符應(yīng)是線性算符。所謂線性算符，即 例如1： 若是方程解，也是方程解，則是體系的可能解。事實上 有 ；例如2：對不顯含時間的薛定諤方程，若 ，則 也是解 有 量子力學(xué)不僅要求力學(xué)量算符是線性算符，而且方程是線性齊次，方程就不行。因，。但 。而 。所以，方程形式只能為，且必須是線性算符。當然，可觀察的力學(xué)量算符不僅應(yīng)是線性的，而且應(yīng)是線性厄密算符。B. 算符之和：表示，對任意波函數(shù)進行變換所得的新波函數(shù)完全相等，即 ，；C. 算符之積: 表示，對任意波函數(shù)，有，則 ；D. 逆算符：算符將任一波函數(shù), 即。若有另一算符使，則稱為的逆算符，并表為，顯然，；E. 算符的函數(shù)： 設(shè)：在x=0處，有各級導(dǎo)數(shù) ，則定義算符的函數(shù) 。例如: 它有各級導(dǎo)數(shù)，。于是 。如果函數(shù)不能以冪級數(shù)表示，則還有算符函數(shù)的自然展開。我們將在后面給出。（2）算符的對易性一般而言，兩算符的乘積和次序有關(guān)，不能彼此對易。若 , ，則 。我們熟悉 ，。所以 由于是任意波函數(shù)。所以算符。引入對易子：為算符的對易子，。由于算符的不可對易性，導(dǎo)致其對易子并不定為0。對易子有如下性質(zhì) ，并有 ，證： 成立 設(shè)： 成立，即 ，而 例： 求 。由于算符之間存在不對易的情況，因此在算符的運算時，要特別小心，不要與常規(guī)運算混淆。例： 都和 對易，可證明 。所以， 。這種差異，是因為。而僅當時， 才成立。下面是一些有用的對易關(guān)系其中 i,j,k可取1，2，3，稱為Levi-Civita符號。取值（為從123ijk的對換數(shù)。如 ，。顯然，當ijk中有兩個相同，則=0 ）。用上述關(guān)系可證： 這表明，。但，所以，應(yīng)該強調(diào)指出：對易關(guān)系是與坐標選擇無關(guān)。因此，求對易關(guān)系，可找計算起來最簡單的坐標系來做。其結(jié)果，當然對任何坐標系都成立。例： =0 。而 =0 。另外，對易關(guān)系與表象選擇無關(guān)。 如 （3）算符的厄密性（Hermiticity）A. 算符復(fù)共軛：若對波函數(shù)（任意）有 , 則稱為的復(fù)共軛算符，以表示。例 , ,所以，。事實上，算符的復(fù)共軛就是將算符所有復(fù)數(shù)量取復(fù)共軛。顯然， ， 。B. 算符的轉(zhuǎn)置1. 標積定義：若體系有兩個波函數(shù)，其標積為 。 顯然，對于標積，顯然 。所以對，標積是性運算；而對，標積是反線性運算。當標積為零， 則稱這兩波函數(shù)正交。2轉(zhuǎn)置定義：算符稱為算符的轉(zhuǎn)置算符，即 ，或 。通常以算符表示算符的轉(zhuǎn)置算符。即 ，或 例：，所以， ，顯然，?？梢宰C明 , C. 算符的厄密共軛定義：算符的厄密共軛是該算符取復(fù)共軛，再轉(zhuǎn)置，（以表示），即 ，也就是， ；由明顯的標積形式 例： 可證：； 而 ，即的厄密共軛等于它自己。這是一類特殊的算符。（，）D. 厄密算符: 若算符的厄密共軛就是它自身，則稱該算符為厄密算符，即, 若，則稱為厄密算符，也就是 。任一算符有 顯然， ， ， 。當然實數(shù)也是一厄密算符E. 厄密算符的性質(zhì)1. 厄密算符相加、減，仍是厄密算符；但厄密算符之積并不一定為厄密算符2. 任何狀態(tài)下，厄密算符的平均值必為實數(shù) 3. 在任何狀態(tài)下，平均值為實的線性算符必為厄密算符。證：根據(jù)假設(shè)，對任一波函數(shù)，平均值為實的線性算符有 令 , (), 于是 線性 （1）實數(shù) （2） 兩式相減得 由于入取任意值，上式都成立，因此上式成立僅當，即 為實數(shù)，則 的虛部為零；為虛數(shù)，則 的實部為零； 由于是任意的，所以是厄密算符。易證：若是厄密算符，則。因 4.2 厄密算符的本征值和本征函數(shù)(1) 厄密算符的本征值和本征函數(shù)對有一定幾率分布（圍繞最大幾率測量值）的狀態(tài)，進行一次測量，其偏差大小可由一“漲落”來定義，即由方均根來定義 。若是一厄密算符，那是一實數(shù)。所以 也是一厄密算符。 ，因此，要使“漲落”為零，即測量值只取確定值（即僅測得一個值，其幾率為1）即 這一方程表明，當體系處于滿足上述方程所確定的狀態(tài)中，這時測量力學(xué)量，發(fā)現(xiàn)沒有“漲落”，即測量值為一確定值。當然也就是平均值。如令這一特殊狀態(tài)為，而在這一狀態(tài)中的平均值，也就是這一態(tài)中測量僅得一個值，則有方程 一般而言，這是一微分方程，它的解只有在一定邊條件下才能唯一確定（可以是在為零；可以是周期性邊條件；更一般是保持厄密性）。而在一定邊條件下，不是取任何值都有非零解。我們稱，有非零解的值為方程的本征值，相應(yīng)的非零解為本征函數(shù)，而上述方程為算符的本征方程。由于是厄密算符，所以必為實數(shù)。這樣給出量子力學(xué)中又一基本假設(shè)：在量子力學(xué)中，一個直接可觀測的力學(xué)量，對應(yīng)于一個線性厄密算符；當對體系進行該力學(xué)量的測量時，一切可能測得的值，只能是算符的本征方程的本征值。顯然，僅當體系處于本征函數(shù)所描述的狀態(tài)時，測量值才是唯一的，即為相應(yīng)的本征值（這時“漲落“為0）。而不含時間的薛定諤方程，即為體系的能量本征方程。 例1：求軌道角動量在z方向分量的本征值和本征函數(shù)。于是有 ，所以 。由于是軌道角動量，因此空間轉(zhuǎn)回到原處，所以具有周期性邊條件， ， 所以 。同時，周期性邊條件也保證了是厄密算符。事實上，要求是厄密算符（保證本征值為實數(shù)）。那對任意二個波函數(shù) 有所以， 。如 是本征解，則有 ，于是有 ，即 這表明，兩本征值之差最小絕對值為。所以， 。也就是說，要求是厄密算符，得不出必需取整數(shù)的結(jié)論。例2 求繞固定軸轉(zhuǎn)子的能量本征值和本征函數(shù)。繞固定軸轉(zhuǎn)子的能量本征方程 。所以 在坐標空間轉(zhuǎn)，波函數(shù)應(yīng)相等（周期性邊條件），所以 ， 。固定轉(zhuǎn)子的能量本征值為 ，相應(yīng)本征函數(shù)為 。因此，除基態(tài)外，每條能級是兩重簡并（這雖是一維問題，且是束縛態(tài)分立能級，但簡并。這是因為在變量之間，波函數(shù)無零點。所以， 。(2) 厄密算符的本征值的本征函數(shù)性質(zhì)A. 力學(xué)量的每一可取值都是實數(shù)（即本征值）因厄密算符平均值為實數(shù)，所以本征值必為實。這正是我們?yōu)槭裁匆罂捎^測力學(xué)量算符是線性厄密算符的緣由。B. 相應(yīng)不同本征值的本征函數(shù)是正交的證： 取復(fù)共軛，則有 。由于是厄密算符，所以 ，即正交。 屬于不同本征值的本征函數(shù)是正交的（因此，它們是線性無關(guān)的），所以它們不能互相代替，這就使波函數(shù)在某力學(xué)量的本征函數(shù)展開時是唯一的，即 在中，是唯一的。當然，如果一個本征值A(chǔ)n對應(yīng)S個線性無關(guān)的本征函數(shù)，這組本征函數(shù)并不一定正交，我們可以通過Schmit正交法（Schmit orthogonalization method）來實現(xiàn)正交歸一化。取 使 ； 取 ，顯然， ，且 。同樣有 這必然有 ，且 。依此類推。當然，利用此方法可得多組正交歸一化波函數(shù)，（如是一組正交歸一化的波函數(shù)，而也是一組正交歸一化的波函數(shù)）。C. 任何一個算符總可表示為兩個厄密算符之和。 其中 ，。 D. 測量結(jié)果的幾率現(xiàn)來計算測量力學(xué)量取值的幾率。當要測量力學(xué)量的值時，根據(jù)態(tài)疊加原理，如能測得，則體系處的態(tài)為其中 ,所以 從平均值的觀點來看（或態(tài)疊加原理來看，若都是歸一化的），表達式表明，在中取值的幾率為，也就是說，在中測量力學(xué)量，測得值為的幾率為。所以，為幾率振幅。而由 得 。 所以，要求在一體系中（以描述）測量力學(xué)量，取值的幾率振幅，就是要將以展開，展開項的系數(shù)即為幾率振幅，具體表示為 ， 為測得的幾率。而在狀態(tài)中，的可能測得值是那些的。還需指出，的意義還不僅這一點。事實上，當我們得知全體后，則 完全被確定。因此，集合也表示了體系的波函數(shù)，即完全可代替波函數(shù)。E. 直接可觀測的力學(xué)量的本征函數(shù)構(gòu)成一完備組。如是力學(xué)量的本征函數(shù)組，則任一波函數(shù)可以以表示。 事實上，根據(jù)態(tài)疊加原理，體系處于態(tài)中，那進行力學(xué)量的測量，如測量值為，則體系只可能處于這些本征值所相應(yīng)的本征函數(shù)的線性疊加態(tài)上。即 。所以，從物理上考慮，可以得出結(jié)論：任一波函數(shù)能夠根據(jù)可觀測的力學(xué)量的本征函數(shù)展開。反之，某一力學(xué)量的本征函數(shù)組并不形成完備組，則這一力學(xué)量不是可觀測的。 4.3 連續(xù)譜本征函數(shù)“歸一化”前面討論的是局限于分立譜的情況，也就是波函數(shù)是平方可積的，能歸一化的。顯然，并不是所有本征函數(shù)都能歸一化。（1）連續(xù)譜本征函數(shù)“歸一化”與上一節(jié)比較A. 本征函數(shù)，本征譜 （取分立值） （取連續(xù)值）B. 任一波函數(shù)可按其展開 () ()C. 所以， 是一“奇異函數(shù)”。因左邊僅與有關(guān)，所以右邊應(yīng)無貢獻，這時應(yīng)為零；而當時，。所以， 。為實現(xiàn)這一要求，我們引入一個奇異函數(shù)，即，其定義 ，以及 。因此，如 ，則 這就保證獲得我們所需結(jié)果。所以，連續(xù)譜本征函數(shù)應(yīng)使其有，這時連續(xù)譜本征函數(shù)“正交歸一”了。它是分立譜本征函數(shù)的正交歸一的自然推廣。D. 表示態(tài)中測量 而由 力學(xué)量取的幾率 （如已歸一化）。 由這可見（如已歸一化），為測量取值在區(qū)域中的幾率，而是表示在態(tài)中測得值為的幾率密度。例1：求“正交歸一”的動量本征函數(shù)設(shè)：是平方可積，即可進行Fourier展開，而 于是應(yīng)有 。所以，?！罢粴w一”的動量本征函數(shù)為 例2，求“正交歸一”的坐標本征函數(shù)由本征方程 僅當 時，上面的要求才能滿足。所以，“正交歸一”的坐標本征函數(shù)為。* 事實上，由于物理波函數(shù)在無窮遠為0， 。 于是有， 顯然, 是完備的。因任何一波函數(shù)可按它展開 為在中，觀測到粒子在范圍中的幾率。(2) 函數(shù) A. 函數(shù)的定義和表示函數(shù)不是一般意義下的函數(shù)，而是一分布，因?qū)σ粋€處處為0，而僅一點不為零的函數(shù)其積分為0。但習(xí)慣上仍將它看作一函數(shù)。其重要性和意義在積分中體現(xiàn)出來，它可用一函數(shù)的極限來定義。前面我們已經(jīng)論述過 ，且 ， 現(xiàn)看不定積分 。這是一階梯函數(shù)，設(shè) 由上述積分知 寫得更為明確一些 所以，當，（）。但總面積恒為1，即 （對任意a）可以證明： ，所以 下面給出另一些表示式（作為函數(shù)參量極限） =B. 函數(shù)的性質(zhì)下面給出函數(shù)的性質(zhì)，是表示當它們在積分中出現(xiàn)時，左邊表示可被右邊表示代替。推論：如有方程AB，則。 例 所以，。由于 。對于 a, b都大于零或都小于零，兩式相等；但a0, b0或a0,則兩式不等，而可定出，即 。 。 （若，但，即不是重根）。例 于是有推論 （有條件 ）。但是由 由這給出 。這一矛盾或錯誤的來源是因 是有條件的（），而在時，是不成立的。為清楚看到這一點，取 。所以，。這表明，無條件地由推論得是不對的。僅當才成立。C. 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)具有任何級的導(dǎo)數(shù)，可以證明 （注意：微商是對宗量進行的）。 例：求 之解因 , 所以特解是，而相應(yīng)齊次方程是 ，有解 。 從而得通解 。事實上 ，于是得 。應(yīng)特別注意，但 。（3）本征函數(shù)的封閉性已經(jīng)討論過厄密算符的正交，歸一和完備性，即 （正交，歸一） （完備） 對于連續(xù)譜 。 下面我們來討論本征函數(shù)的封閉性 ，而 已歸一化。所以 。由此可見， 。上述表示式稱為本征函數(shù)的封閉性，它表明本征函數(shù)組可構(gòu)成一函數(shù)。例1 的本征函數(shù) 有 ，即 ， 人們熟習(xí)的形式：例2 的本征函數(shù) 有 本征函數(shù)的封閉性在表象變換理論運算中及一些矩陣元求和中是很有用的。A. 封閉性是正交、歸一的本征函數(shù)完備性的充分必要條件。 若是完備的封閉性（必要條件）有封閉性完備的（充分條件）1必要條件已證過2充分條件：有封閉性: 則 ，即任一波函數(shù)可按展開，是完備的。B本征函數(shù)的封閉性也可看作函數(shù)按本征函數(shù)展開，而展開系數(shù)恰為本征函數(shù)的復(fù)共軛。 。所以 4.4 算符的共同本征函數(shù)我們已介紹了算符的意義，性質(zhì)，力學(xué)量的可取值及測量值的幾率。并介紹了本征函數(shù)的封閉性及連續(xù)譜的正交，“歸一性”?，F(xiàn)在我們討論算符間的關(guān)系，在4.2中已提出，當體系處于狀態(tài)中，測量算符時，可能取不同值。而大量全同的測量結(jié)果，發(fā)現(xiàn)取這些可能值的幾率就有一定分布，所以一次測量有一“漲落”（即偏離平均值）。 當然，如果是的本征函數(shù)，則，即沒有漲落。兩算符，在一個態(tài)中，一般都有漲落，。現(xiàn)在要問，能否找到一組態(tài)，而有呢？換句話說，如有一組態(tài)是的本征函數(shù)組，即這時；如果該組態(tài)也是的本征函數(shù)組。因此，問題就歸結(jié)在什么條件下，有共同本征函數(shù)組。(1) 算符“漲落”之間的關(guān)系A(chǔ). Schwartz不等式如果，是任意兩個平方可積的波函數(shù)，則 ， 即 證：令 , ，取 ，則，即 從而得：這與矢量是類似 ，即 （即的長度大于等于在任一方向的投影）B. 算符“漲落”之間的關(guān)系測不準關(guān)系：如令 ,則根據(jù)Schwarty不等式 因是厄密算符，實常數(shù)也是，所以也是厄密算符，于是有 。同理 ，所以 。但我們知，復(fù)數(shù)模的平方大于等于其虛部模的平方即 。所以， 。（如果某一個態(tài)是，共同本征函數(shù)，即 ，都為零，則，但這僅對一特定態(tài)，而不是任何態(tài)。）上式表明，對的態(tài)，則在該態(tài)中，的漲落不可能同時為零，當一為零則另一個應(yīng)為）。在原則上，當，則例1 ， 由于是一常數(shù)，所以在任何態(tài)下平均都不可能為0。所以， 。 這即為海森堡（Heisenberg）的測不準關(guān)系的嚴格證明。應(yīng)該指出，當時，并不是說，在任何態(tài)下，“漲落”總不可能同時為0。事實上，可能在某特殊態(tài)下，這時，從而可能，即時，仍可能有個別態(tài)，使，即可同時測準。例2 ，但在態(tài), (是 的本征態(tài)，本征值為0)。但這僅是某一特殊態(tài)，在這態(tài)下，的測量值都可以同時測準， 測得值為0。例3 在態(tài)下（是 的本征態(tài)，本征值為，），。這時，。所以，在某特定態(tài)下，盡管兩算符不對易，但一個算符的測不準度可為0，另一個可為有限（當然，這僅對某特殊態(tài)）。但是，當對易子為常數(shù)（純虛數(shù)）時，則不可能存在某一態(tài)，在那一個態(tài)中，的漲落都為零；或一為0，一為有限。（2） 算符的共同本征函數(shù)組定理1. 如果兩個力學(xué)量相應(yīng)的算符有一組正交，歸一，完備的共同本征函數(shù)組，則，算符必對易，。設(shè) 是共同的正交，歸一和完備的本征函數(shù)組。， （當n,m給定，還可能有簡并）。于是 。對于任一波函數(shù) ，我們有 由于是任意的波函數(shù)。所以，定理2：如果兩力學(xué)量所相應(yīng)算符對易，則它們有共同的正交，歸一和完備的本征函數(shù)組。證：設(shè) 是的一個本征函數(shù)組。（它們當然是完備的） 如S1，即不簡并，于是 。所以，若是的本征態(tài)，本征值為，那也是。但由于不簡并，則 （僅與差一常數(shù)）。所以，當?shù)谋菊骱瘮?shù)不簡并，由于，對易，則的本征函數(shù)，也是的本征函數(shù)，這一本征函數(shù)組是它們的共同本征函數(shù)組。當S1，即有簡并，無妨設(shè)的本征函數(shù)組為（這也是一完備組）。將展開 ，所以 顯然，是的本征函數(shù)，本征值為。 。所以，也是的本征函數(shù)，本征值為。而不同本征值的本征函數(shù)是正交的。所以等式兩邊，必逐項相等，于是 。 這表明，是，的共同本征函數(shù)。（本征值為，）。顯然，它們是完備的（對所有s,n,m集合）。因?qū)θ我徊ê瘮?shù) 。這表明任一都可按展開，所以它形成一完備組。如經(jīng)過Schmidt正交歸一法，可由構(gòu)成一正交，歸一，完備的，共同本征函數(shù)組。這樣 所以， （3）角動量的共同本征函數(shù)組球諧函數(shù)因 ，它們有共同本征函數(shù)組。由對易關(guān)系 ，則有， ， 其中， ， A本征值：設(shè)：是它們的共同本征函數(shù)，則， 。所以，。由于，而是厄密算符，所以，的平均值恒為正。因此， 。當l確定，就確定，這時，。即有上、下限。由于，, 所以 這表明，如是的本征態(tài)，相應(yīng)本征值為，則也是的本征態(tài)，本征值為。所以 稱為降算符（對而言）。同理 稱為升算符（對而言）。由于，固定時，有上，下限。若設(shè)為上限，為下限，則 ， ， 由于，為上限，為下限，所以，只能取，而。若設(shè)：，則。于是，。這表明，只能取整數(shù)或半整數(shù)。但只能取整。于是，我們有： 的本征值為；本征值可取 即，取，。而。 現(xiàn)給出歸一化的本征態(tài)。 設(shè) 已歸一化，而 所以， 這表明，角動量的本征值是量子化的。它與能量量子化不同在于它并不需要粒子是束縛的。自由粒子的角動量是量子化的，這在經(jīng)典力學(xué)看來是非常費解的。這在量子力學(xué)看來是非常清楚的，即動量本征態(tài)可由角動量的本征態(tài)疊加而成。因，所以各個角動量本征態(tài)的幾率振幅不隨時間變，是守恒的。B本征函數(shù)我們已求得本征值?，F(xiàn)求本征函數(shù)。由 ，即 于是有解 而 根據(jù) ，所以 而 ，即得 現(xiàn)求歸一化系數(shù)，所以，所以，歸一化的 顯然， 現(xiàn)先討論的歸一化問題，然后給出的具體形式。若是歸一化的，由前知有 下面我們一步步給出歸一化的波函數(shù) 所以， 以此類推 于是得的共同本征函數(shù)組-球諧函數(shù) ，而 ，稱為締合勒讓德函數(shù)（Associated Legendre function）。當l, m 給定，也就是的本征值給定，那就唯一地確定了本征函數(shù)。其性質(zhì)：1. .正交歸一 2封閉性 3 所以， 因此， 4. 宇稱 。 由 ， 所以，的宇稱為5.遞推關(guān)系 , (4) 力學(xué)量的完全集量子力學(xué)描述與經(jīng)典描述大不一樣，經(jīng)典力學(xué)是知某時刻，那以后任一時刻的運動行為被牛頓方程所確定（初值確定）。但在量子力學(xué)中，是狀態(tài)波函數(shù)的描述，是確定體系所處的狀態(tài)。如對體系測量力學(xué)量的可能值及相應(yīng)幾率。如能充分確定，則認為是完全描述了。但是，如何才能將狀態(tài)描述得完全確定呢？設(shè)：是力學(xué)量所對應(yīng)的算符，并且對易。如是的本征函數(shù)。由 ，所以也是的本征函數(shù)，本征值為a。如的本征函數(shù)不簡并，則 。所以，也是的本征函數(shù)。 如測量，取值a，則知體系處于態(tài)，而不可能是別的態(tài)。但是，當?shù)谋菊髦凳莾芍睾啿?。那問題就不一樣了，測量取值a時，并不知處于那一態(tài)，可能為。因是的本征態(tài)，由于與對易，所以也是的本征態(tài)，本征值也為a，但它并不一定為。一般而言， = 于是有 。由這可得 ， 而， 。這時，是的本征函數(shù)，本征值為a，又是的本征函數(shù)，本征值為，（若）。那一起就唯一地決定函數(shù)。當測得值為，那體系只能處于，而不可能處于別的態(tài)。所以，力學(xué)量的本征值給定，則唯一地給定了態(tài)，即的共同本征態(tài)沒有一個是簡并的。因此，我們可以給出一個如下定義：力學(xué)量完全集：設(shè)力學(xué)量彼此對易；它們的共同本征函數(shù) 是不簡并的，也就是說，本征值a,b,c僅對應(yīng)一個獨立的本征函數(shù)，則稱這一組力學(xué)量是為完全集（或僅有一個共同的本征完備組）。我們可用一組完全集的力學(xué)量的共同本征函數(shù)組來描述一個體系可能處的狀態(tài)。如與t無關(guān)，則它是一組特解（對于一個體系，其完全集的力學(xué)量的數(shù)目一般等于它的自由度數(shù)）。所以，以后要描述一個體系所處的態(tài)時，我們首先集中注意力去尋找一組獨立的完全集，以給出特解，然后得通解。有了力學(xué)量完全集（如包含與t無關(guān)的），則可得。而完全集相應(yīng)的本征函數(shù)為。宇稱算符也可以，加上就多余了。描述一個物理體系可以有幾組不同的完全集，如x,y,z（相應(yīng)本征函數(shù)組）；（相應(yīng)本征函數(shù)組）)；（相應(yīng)本征函數(shù)組）。當然，當與t無關(guān)時，選包括的力學(xué)量完全集，有利于寫出與 t相關(guān)的通解。4.5 力學(xué)量平均值隨時間的變化，運動常數(shù)（守恒量）,恩費斯脫定理（Ehrenfest Theorem）現(xiàn)在討論本章一開始提出的最后一個問題，看看力學(xué)量在一體系的平均值是如何隨時間變化的，它們的變化取決于什么？（1） 力學(xué)量的平均值，隨時間變化；運動常數(shù) 它隨時間變化為 。若不顯含t，則 。我們看到，力學(xué)量（不顯含時間）在一體系中的平均值是否隨時間變化，取決于與體系的哈密頓是否對易。當，則（對體系任何態(tài)），也就是說，若力學(xué)量與體系的哈密頓量對易，則力學(xué)量在該體系中的平均值不隨時間改變。這可如此看：由于與對易，所以可找到一完全集包括和，其共同本征函數(shù)