【備戰(zhàn)】高考數(shù)學專題講座 第24講 高頻考點分析之排列組合、二項式定理探討.doc

【備戰(zhàn)2013高考數(shù)學專題講座】第24講：高頻考點分析之排列組合、二項式定理探討12講，我們對客觀性試題解法進行了探討，38講，對數(shù)學思想方法進行了探討，912講對數(shù)學解題方法進行了探討，第13講第30講我們對高頻考點進行探討。排列組合是組合學最基本的概念。所謂排列，就是指從給定個數(shù)的元素中取出指定個數(shù)的元素進行排序。組合則是指從給定個數(shù)的元素中僅僅取出指定個數(shù)的元素，不考慮排序。排列組合的中心問題是研究給定要求的排列和組合可能出現(xiàn)的情況總數(shù)。二項式定理是：，它在組合理論、開高次方、高階等差數(shù)列求和，以及差分法中有廣泛的應用。應用排列組合解題要分清是使用“分類計數(shù)原理”還是“分步計數(shù)原理”，要根據(jù)我們完成某事件時采取的方式而定，分類來完成這件事時用“分類計數(shù)原理”，分步來完成這件事時就用“分步計數(shù)原理”，怎樣確定分類，還是分步驟？“分類”表現(xiàn)為其中任何一類均可獨立完成所給的事件，而“分步驟”必須把各步驟均完成才能完成所給事件，所以準確理解兩個原理強調(diào)完成一件事情的幾類辦法互不干擾，彼此間交集為空集，并集為全集，不論哪類辦法都能將事情單獨完成，分步計數(shù)原理強調(diào)各步驟缺一不可，需要依次完成所有步驟才能完成這件事，步與步之間互不影響，即前步用什么方法不影響后面的步驟采用的方法。排列與組合定義相近，它們的區(qū)別是在于是否與順序有關。解決排列組合問題的基本規(guī)律是：分類相加，分步相乘，有序排列，無序組合。解決排列組合問題的具體方法有：1.特殊元素的“優(yōu)先排列法”：對于特殊元素的排列組合問題，一般先考慮特殊元素，再考其他的元素。 2.總體淘汰法：對于含否定的問題，還可以從總體中把不合要求的除去。3.合理分類與準確分步：含有約束條件的排列組合問題，按元素的性質進行分類，按事情發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到分類標準明確，分步層次清楚，不重不漏。4.相鄰問題用捆綁法：對于某些元素要求相鄰的排列問題，先將相鄰接的元素“捆綁”起來，看作一“大”元素與其余元素排列，然后再對相鄰元素內(nèi)部進行排列。5.不相鄰問題用“插空法”：對某幾個元素不相鄰的排列問題，可將其他元素排列好，然后再將不相鄰接元素在已排好的元素之間及兩端的空隙之間插入。6.順序固定用“除法”：對于某幾個元素按一定的順序排列問題，可先把這幾個元素與其他元素一同進行全排列，然后用總的排列數(shù)除于這幾個元素的全排列數(shù)。7. 定序問題縮倍法：在排列問題中限制某幾個元素必須保持一定的順序，可用縮小倍數(shù)的方法。8.分排問題用直接法：把幾個元素排成若干排的問題，可采用統(tǒng)一排成一排的排方法來處理。9.住店法：解決“允許重復排列問題”要區(qū)分兩類元素，一類元素可以重復，另一類不能重復，把不能重復的元素看作店，再利用分步計數(shù)原理直接求解稱“住店法”。等等。結合2012年全國各地高考的實例，我們從以下三方面探討排列組合、二項式定理問題的求解：1. 分類計數(shù)原理的應用：2. 分步計數(shù)原理的應用；3. 二項式定理的應用。一、分類計數(shù)原理的應用：典型例題：例1. （2012年北京市理5分）從0，2中選一個數(shù)字，從1，3，5中選兩個數(shù)字，組成無重復數(shù)字的三位數(shù).其中奇數(shù)的個數(shù)為【 】a. 24 b. 18 c. 12 d. 6【答案】b?！究键c】排列組合問題。【解析】由于題目要求是奇數(shù)，那么對于此三位數(shù)可以分成兩種情況：奇偶奇；偶奇奇。如果是第一種奇偶奇的情況，可以從個位開始分析（3 種情況），之后十位（2 種情況），最后百位（2 種情況），共12 種；如果是第二種情況偶奇奇：個位（3 種情況），十位（2 種情況），百位（不能是o ，一種倩況），共6 種。因此總共有12 + 6 = 18 種情況。故選b。例2. （2012年安徽省理5分）6位同學在畢業(yè)聚會活動中進行紀念品的交換，任意兩位同學之間最多交換一次，進行交換的兩位同學互贈一份紀念品，已知6位同學之間共進行了13次交換，則收到份紀念品的同學人數(shù)為【 】 或 或 或 或【答案】?！究键c】排列組合。【解析】，在6位同學的兩兩交換中少2種情況。不妨設甲、乙、丙、丁、戍、己6人設僅有甲與乙，丙沒交換紀念品，則甲收到3份紀念品，乙、丙收到4份紀念品，丁、戍、己收到5份紀念品，此時收到4份紀念品的同學人數(shù)為人；設僅有甲與乙，丙與丁沒交換紀念品，則甲、乙、丙、丁收到4份紀念品，戍、己收到5份紀念品，此時收到4份紀念品的同學人數(shù)為4人。故選。例3. （2012年山東省理5分）現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各4張，從中任取3張，要求這些卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為【 】a 232 b 252 c 472 d 484【答案】c。【考點】排列組合的應用。【解析】。故選c。例4. （2012年浙江省理5分）若從1，2，3，9這9個整數(shù)中同時取4個不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有【 】 a60種 b63種 c65種 d66種【答案】d。【考點】分類討論，計數(shù)原理的應用?！窘馕觥?，2，2，9這9個整數(shù)中有5個奇數(shù)，4個偶數(shù)要想同時取4個不同的數(shù)其和為偶數(shù)，則取法有： 4個都是偶數(shù)：1種；2個偶數(shù)，2個奇數(shù)：種；4個都是奇數(shù)：種。不同的取法共有66種。故選d。例5. （2012年陜西省理5分） 兩人進行乒乓球比賽，先贏三局著獲勝，決出勝負為止，則所有可能出現(xiàn)的情形（各人輸贏局次的不同視為不同情形）共有【 】a. 10種 b.15種 c. 20種 d. 30種【答案】d?！究键c】排列、組合及簡單計數(shù)問題，分類計數(shù)原理?！窘馕觥扛鶕?jù)分類計數(shù)原理，所有可能情形可分為3:0，3:1，3:2三類，在每一類中可利用組合數(shù)公式計數(shù)，最后三類求和即可得結果：當比分為3:0時，共有2種情形；當比分為3:1時，共有種情形；當比分為3:2時，共有種情形?？偣灿蟹N。故選d。二、分步計數(shù)原理的應用：典型例題：例1. （2012年全國大綱卷理5分）將字母排成三行兩列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，則不同的排列方法共有【 】a12種 b18種 c24種 d36種【答案】a?！究键c】排列組合的應用，分步計數(shù)原理?！窘馕觥坷梅植接嫈?shù)原理，先填寫最左上角的數(shù)，有3種，再填寫右上角的數(shù)為2種，再填寫第二行第一列的數(shù)有2種，一共有322=12種。故選a。例2. （2012年全國大綱卷文5分）6位選手依次演講，其中選手甲不在第一個也不在最后一個演講，則不同的演講次序共有【 】a. 240種 b.360種 c.480種 d.720種【答案】c。【考點】排列組合的應用。【解析】根據(jù)特殊元素優(yōu)先的原則，選手甲不在第一個也不在最后一個演講，在其余4個次序演講有種組合，則其余5 位選手進行全排列。因此，不同的演講次序共有種。故選c。例3. （2012年全國課標卷理5分）將名教師，名學生分成個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，每個小組由名教師和名學生組成，不同的安排方案共有【 】種 種 種 種【答案】。【考點】排列組合?！窘馕觥棵總€小組由名教師和名學生組成，不同的安排方案共有種。故選。例4. （2012年遼寧省理5分）一排9個座位坐了3個三口之家，若每家人坐在一起，則不同的坐法種數(shù)為【 】(a)33！ (b) 3(3！)3 (c)(3！)4 (d) 9！【答案】c。【考點】分步計數(shù)原理?！窘馕觥看伺帕锌煞謨刹竭M行，先把三個家庭分別排列，每個家庭有種排法，三個家庭共有種排法；再把三個家庭進行全排列有種排法。因此不同的坐法種數(shù)為。故選c。例5. （2012年湖北省理5分）回文數(shù)是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù)。如22，,11,3443,94249等。顯然2位回文數(shù)有9個：11,22,33，99.3位回文數(shù)有90個：101,111,121，191,202，999。則（）4位回文數(shù)有 個；（）2n1（nn+）位回文數(shù)有 個?！敬鸢浮浚ǎ?0；（）?！究键c】計數(shù)原理的應用。【解析】（i）4位回文數(shù)的特點為中間兩位相同，千位和個位數(shù)字相同但不能為零，第一步，選千位和個位數(shù)字，共有9種選法；第二步，選中間兩位數(shù)字，有10種選法，故4位回文數(shù)有910=90個。（ii）第一步，選左邊第一個數(shù)字，有9種選法；第二步，分別選左邊第2、3、4、n、n+1個數(shù)字，共有10101010=10n種選法，故2n+1（nn+）位回文數(shù)有個。三、二項式定理的應用：典型例題：例1. （2012年四川省理5分）的展開式中的系數(shù)是【 】a、 b、 c、 d、【答案】d?！究键c】二項式的通項公式。【解析】二項式展開式的通項公式為，令=2，則。的系數(shù)是。故選d。例2. （2012年天津市理5分）在的二項展開式中，的系數(shù)為【 】（a）10 （）-10（）40（）-40【答案】d?！究键c】二項式定理?！痉治觥?，令，得，的系數(shù)為。故選d。例3. （2012年安徽省理5分）的展開式的常數(shù)項是【 】 【答案】?！究键c】二項式定理?！窘馕觥康谝粋€因式取，第二個因式取 得： ，第一個因式取，第二個因式取得：， 展開式的常數(shù)項是。故選。例4. （2012年重慶市文5分） 的展開式中的系數(shù)為【 】（a）-270 （b）-90 （c）90 （d）270【答案】a?！究键c】二項式系數(shù)的性質?！痉治觥吭O的展開式的通項公式為，則，令r=3，得的系數(shù)為：。故選a。例5. （2012年湖北省理5分）設，且，若能被13整除，則【 】a.0 b.1 c.11 d.12【答案】d。【考點】二項式定理的應用?！窘馕觥?2能被13整除， 。顯然上式除了外，其余各個因式都能被13整除。能被13整除，只需。故選d。例6. （2012年重慶市理5分）的展開式中常數(shù)項為【 】a. b. c. d.105【答案】b。【考點】二項式定理的應用【分析】求二項展開式中特定項一般利用通項公式解決： 的展開式的通項為，令得， 常數(shù)項為。故選b。例7. （2012年全國大綱卷理5分）若的展開式中第3項與第7項的二項式系數(shù)相等，則該展開式中的系數(shù)為 。【答案】56。【考點】二項式定理中通項公式的運用。【解析】利用二項式系數(shù)相等，確定的值，然后進一步借助于通項公式，分析項的系數(shù)。根據(jù)已知條件可知。的展開式的通項為，令，。系數(shù)為。例8. （2012年全國大綱卷文5分）的展開式中的系數(shù)為 .【答案】7?！究键c】二項式定理中通項公式的運用。【解析】利用二項式系數(shù)展開，分析項的系數(shù)。的展開式的通項為，令，。的系數(shù)為。例9. （2012年上海市理4分）在的二項展開式中，常數(shù)項等于 .【答案】160?！究键c】二項式定理?！窘馕觥空归_式通項，令，得.常數(shù)項為。例10.（2012年廣東省理5分）的展開式中的系數(shù)為。（用數(shù)字作答）【答案】20。【考點】二項式定理的應用?！窘馕觥康恼归_式的通項為， 令 得。的展開式中的系數(shù)為。例11. （2012年上海市文4分）在的二項式展開式中，常數(shù)項等于 【答案】。【考點】二項式定理?！窘馕觥空归_式通項，令，得.常數(shù)項為。例12. （2012年湖南省理5分）的二項展開式中的常數(shù)項為