高三數(shù)學(xué) 黃金考點(diǎn)匯編14 解三角形 理（含解析）.doc

考點(diǎn)14 解三角形（理）【考點(diǎn)分類】熱點(diǎn)一、利用正余弦定理在三角形中求三角函數(shù)值、求角、求邊長1.【2014高考廣東卷理第12題】在中，角、所對(duì)應(yīng)的邊分別為、，已知，則 .2.【2014全國2高考理第4題】鈍角三角形abc的面積是，ab=1，bc= ，則ac=( )a. 5 b. c. 2 d. 13.【2014四川高考理第13題】如圖，從氣球a上測得正前方的河流的兩岸b，c的俯角分別為，此時(shí)氣球的高是，則河流的寬度bc約等于 .（用四舍五入法將結(jié)果精確到個(gè)位.參考數(shù)據(jù)：，）4.【2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（北京卷）】在中，則（ ）（a） （b） （c） （d）【答案】b【解析】由正弦定理，得，選b.5.【2013年普通高等學(xué)校統(tǒng)一考試天津卷】在abc中, 則 = ( ) (a) (b) (c) (d) 6.【2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（遼寧卷）】在，內(nèi)角所對(duì)的邊長分別為（ ）a b c d 7.【2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（湖南卷）】在銳角中，角所對(duì)的邊長分別為.若（ ）a b c d 【答案】d【解析】因?yàn)?，所以，所以，所?8.【2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試福建卷】如圖，在中，已知點(diǎn)在邊上，, , 則的長為_ _ . 9.【2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（上海卷）】已知abc的內(nèi)角a、b、c所對(duì)應(yīng)邊分別為a、b、c，若，則角c的大小是_（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）.【答案】【解析】，故10.【2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)浙江】中，,是的中點(diǎn)，若，則_.11.【2013年普通高等學(xué)校統(tǒng)一考試試題大綱全國】設(shè)的內(nèi)角a、b、c的對(duì)邊分別為.（）求b；（）若，求c.12.【2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（北京卷）】在abc中，a=3，b=2，b=2a.(i)求cosa的值，(ii)求c的值. 答案由正弦定理，,因?yàn)閍=3，b=2，b=2a,所以，解得.13.【2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（四川卷）】在中，角的對(duì)邊分別為，且.（）求的值；（）若，求向量在方向上的投影.（）由，得，由正弦定理，有，所以，由題知，則，故根據(jù)余弦定理，有，解得或（舍去）.故向量在方向上的投影為.12分14.【2013年普通高等學(xué)校統(tǒng)一考試江蘇數(shù)學(xué)試題】如圖，旅客從某旅游區(qū)的景點(diǎn)處下山至處有兩種路徑.一種是從沿直線步行到，另一種從沿索道乘纜車到，然后從沿直線步行到.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從處下山，甲沿勻速步行，速度為 m/min，在甲出發(fā)2 min后，乙從乘纜車到，在處停留1 min后，再從勻速步行到. 假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為130 m/min，山路長1260 m ，經(jīng)測量，.（1）求索道的長；（2）問乙出發(fā)后多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？（3）為使兩位游客在處互相等待的時(shí)間不超過3分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？ 15.【2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（山東卷）】設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且，.（）求的值；（）求的值.16.【2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(江西卷)】在abc中，角a，b，c所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知（1）求角的大??；（2）若，求的取值范圍.17.【2013年全國高考新課標(biāo)（i）】如圖，在abc中，abc90，ab=，bc=1，p為abc內(nèi)一點(diǎn)，bpc90.(1)若pb=，求pa；(2)若apb150，求tanpba.abcp【方法規(guī)律】(1)已知兩角一邊可求第三角，解這樣的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可(2)已知兩邊和一邊對(duì)角，解三角形時(shí)，利用正弦定理求另一邊的對(duì)角時(shí)要注意討論該角，這是解題的難點(diǎn)，應(yīng)引起注意（3）已知三邊，解三角形，利用余弦定理；（4）已知兩邊與夾角解三角形，利用余弦定理；【解題技巧】在處理解三角形過程中，要注意“整體思想”的運(yùn)用，可起到事半功倍的效果。如：在abc中，bca，acb，a，b是方程的兩個(gè)根，且。求：(1)角c的度數(shù)； (2)ab的長度?！窘馕觯?） c120 （2）由題設(shè)： 【易錯(cuò)點(diǎn)睛】已知兩邊和一邊對(duì)角，解三角形時(shí)，利用正弦定理求另一邊的對(duì)角時(shí)要注意討論該角，這是解題的難點(diǎn)，應(yīng)引起注意 如：在abc中，a，b，b45，則a等于（）a30 b60 c60或120d 30或150【解析】由正弦定理，可得，解得;，,所以，故選c.熱點(diǎn)二、利用正余弦定理判斷三角形形狀1.【2014全國1高考理第16題】已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且，則面積的最大值為_2.【2014高考安徽卷第16題】（本小題滿分12分）設(shè)的內(nèi)角所對(duì)邊的長分別是，且（1）求的值；（2）求的值. 3.【2014高考北京理第15題】如圖，在中，點(diǎn)在邊上，且，.（1）求；（2）求，的長. 4.【2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（陜西卷）】設(shè)abc的內(nèi)角a, b, c所對(duì)的邊分別為a, b, c, 若, 則abc的形狀為 （ ）【2014高考湖南理第18題】如圖5,在平面四邊形中,.(1)求的值;(2)若,求的長. 【考點(diǎn)定位】三角形正余弦定理 正余弦之間的關(guān)系與和差角公式【方法規(guī)律】依據(jù)已知條件中的邊角關(guān)系判斷三角形的形狀時(shí)，主要有如下兩種方法：1利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系，通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀；2利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系，通過三角函數(shù)恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀，此時(shí)要注意應(yīng)用abc這個(gè)結(jié)論【解題技巧】熟練運(yùn)用余弦定理及其推論，同時(shí)還要注意整體思想、方程思想在解題過程中的運(yùn)用如：在中，已知，則角a為（ ） a. b. c. d.或【解析考慮余弦定理的公式特點(diǎn)，則：，則，又，,故選c.【易錯(cuò)點(diǎn)睛】在利用正弦定理或余弦定理判定三角形的形狀時(shí)，在化簡過程中，要保證等價(jià)變形，一定不要漏解。如：(1)新課標(biāo)a版第10 頁，第 b2 題（例題）在中，如果有性質(zhì)，試問這個(gè)三角形的形狀具有什么特點(diǎn)【解析】法一：利用正弦定理及，得,即;,即,所以三角形是等腰三角形或直角三角形.法二：利用余弦定理及，得，化簡得，則，即三角形是等腰三角形或直角三角形.熱點(diǎn)三、利用正余弦定理求三角形面積 1.【2014高考福建卷第12題】在中，,則的面積等于_.【答案】2.【2014江西高考理第4題】在中，內(nèi)角a,b,c所對(duì)應(yīng)的邊分別為，若則的面積（ ）a.3 b. c. d.3. 【2014重慶高考理第10題】已知的內(nèi)角，面積滿足 所對(duì)的邊，則下列不等式一定成立的是( )a. b. c. d.所以,又因?yàn)?，所?所以恒成立，所以故選a.考點(diǎn)：1、兩角和與差的三角函數(shù)；2、正弦定理；3、三角形的面積公式.4.【2014天津高考理第12題】在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是已知，則的值為_5.【2014高考上海理科第21題】如圖，某公司要在兩地連線上的定點(diǎn)處建造廣告牌，其中為頂端，長35米，長80米，設(shè)在同一水平面上，從和看的仰角分別為.(1)設(shè)計(jì)中是鉛垂方向，若要求，問的長至多為多少（結(jié)果精確到0.01米）？(2)施工完成后.與鉛垂方向有偏差，現(xiàn)在實(shí)測得求的長（結(jié)果精確到0.01米）？ 6.【2014高考浙江理第18題】在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.已知，（i）求角的大?。唬╥i）若，求的面積. 試題解析：（i）由題意得，即，由得，又，得，即，所以；7.【2013年普通高等學(xué)校統(tǒng)一考試試題新課標(biāo)數(shù)學(xué)卷】abc在內(nèi)角a、b、c的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a=bcosc+csinb.（）求b；（）若b=2，求abc面積的最大值.8.【2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷】在中，角，對(duì)應(yīng)的邊分別是，. 已知.（）求角a的大小；（）若的面積，求的值.解：（）由，得, 即，解得 或（舍去）. 因?yàn)?，所? （）由得. 又，知. 由余弦定理得故. 又由正弦定理得. 【方法規(guī)律】常用三角形的面積公式 spr(p是周長的一半，即p ，r為內(nèi)切圓半徑)；s(r為外接圓半徑)【解題技巧】在解三角形問題時(shí)，要注意正弦定理、余弦定理和三角形面積公式的綜合使用.如：【浙江省“六市六校”聯(lián)盟2014屆高考模擬考試】在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且（1）求角的大?。唬?）若，求的面積【易錯(cuò)點(diǎn)睛】在利用面積公式解三角形時(shí)，要注意不要漏解.如： 已知abc的面積為，且，則a等于 （ ）a30b30或150c60d60或120 【解析】由三角形的面積公式,得,解得：;,所以60或120. 【考點(diǎn)剖析】1.最新考試說明：(1)考查余弦定理、三角形面積公式,考查方程思想、運(yùn)算能力,是歷年常考內(nèi)容. (2)考查利用正、余弦定理判斷三角形的形狀 (3)考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法2. 命題方向預(yù)測：(1)利用正、余弦定理求三角形中的邊、角及其面積問題是高考考查的熱點(diǎn)(2)常與三角恒等變換相結(jié)合，綜合考查三角形中的邊與角、三角形形狀的判斷等.3.課本結(jié)論總結(jié)：（1）正弦定理：（2）余弦定理：a2b2c22bccosa，b2a2c22accosb，c2a2b22abcosc 余弦定理可以變形為：cos a，cos b，cos c. （3）sabcabsin cbcsin aacsin b （4）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，解三角形時(shí)，注意解的情況如已知a，b，a，則a為銳角a為鈍角或直角圖形關(guān)系式absin aabsin absin aabababab解的個(gè)數(shù)無解一解兩解一解一解無解（5） 常見題型：在解三角形時(shí)，正弦定理可解決兩類問題：(1)已知兩角及任一邊，求其它邊或角；(2)已知兩邊及一邊的對(duì)角，求其它邊或角情況(2)中結(jié)果可能有一解、兩解、無解，應(yīng)注意區(qū)分余弦定理可解決兩類問題：(1)已知兩邊及夾角求第三邊和其他兩角；(2)已知三邊，求各角4.名師二級(jí)結(jié)論：（1）在三角形中，大角對(duì)大邊，大邊對(duì)大角；大角的正弦值也較大，正弦值較大的角也較大，即在abc中，ababsin asin b.（2）正弦定理的變形：2r，其中r是三角形外接圓的半徑abcsin asin bsin c；a2rsin_a，b2rsin_b，c2rsin_c；sin a， sin b，sin c等形式，以解決不同的三角形問題（4） 三角形的面積公式：sabcabsin cbcsin aacsin b(abc)r(r是三角形外接圓半徑，r是三角形內(nèi)切圓的半徑)，并可由此計(jì)算r，r.（5） 解三角形的常用途徑： 化邊為角；化角為邊，并常用正弦(余弦)定理實(shí)施邊、角轉(zhuǎn)換5.課本經(jīng)典習(xí)題：(1)新課標(biāo)a版第10 頁，第 b2 題（例題）在中，如果有性質(zhì)，試問這個(gè)三角形的形狀具有什么特點(diǎn)【解析】法一：利用正弦定理及，得,即;,即,所以三角形是等腰三角形或直角三角形.法二：利用余弦定理及，得，化簡得，則，即三角形是等腰三角形或直角三角形.【經(jīng)典理由】一題多解，既可利用正弦定理進(jìn)行求解，也可利用余弦定理進(jìn)行求解。新課標(biāo)a版第 25 頁，第 b3題（例題）研究一下，一個(gè)三角形能否同時(shí)具有一下兩個(gè)性質(zhì)：（1） 三邊是連續(xù)的三個(gè)自然數(shù)；（2）最大角是最小角的2倍.【解析】設(shè)三角形的三邊長依次為，對(duì)應(yīng)角依次為;由正弦定理，得，則，又由余弦定理得，化簡得，解得，即存在這樣的三角形，邊長依次為4,5,6.【經(jīng)典理由】綜合考查解三角形與二倍角公式.6. 考點(diǎn)交匯展示：(1)與三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的交匯【浙江省溫州市十校聯(lián)合體2015屆高三上學(xué)期期初聯(lián)考18】（14分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；（2）設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為且，若，求的值（2），則，9分,所以，所以，11分因?yàn)?，所以由正弦定理得?2分由余弦定理得，即11分，由解得：，14分考點(diǎn)：1.三角恒等變形公式;2.三角函數(shù)的圖象和性質(zhì);3.正弦定理和余弦定理.(2) 與平面向量的交匯【育英實(shí)驗(yàn)學(xué)校2014屆高考模擬試題（1）】已知的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為a，b，c，向量，,且.(1)求角的大??；（2)若向量,試求的取值范圍.考點(diǎn)：本題考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用，向量的模的求法，三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用. (3)與實(shí)際問題的交匯【2014南通高三期末測試】如圖，港口a在港口o的正東120海里處，小島b在港口o的北偏東的方向，且在港口a北偏西的方向上一艘科學(xué)考察船從港口o出發(fā)，沿北偏東的od方向以20海里/小時(shí)的速度駛離港口o一艘給養(yǎng)快艇從港口a以60海里/小時(shí)的速度駛向小島b，在b島轉(zhuǎn)運(yùn)補(bǔ)給物資后以相同的航速送往科考船已知兩船同時(shí)出發(fā)，補(bǔ)給裝船時(shí)間為1小時(shí)（1）求給養(yǎng)快艇從港口a到小島b的航行時(shí)間；（2）給養(yǎng)快艇駛離港口a后，最少經(jīng)過多少時(shí)間能和科考船相遇？試題解析：（1）由題意知，在oab中， oa=120，于是，而快艇的速度為60海里/小時(shí)，所以快艇從港口a到小島b的航行時(shí)間為1小時(shí) 5分（2）由（1）知，給養(yǎng)快艇從港口a駛離2小時(shí)后，從小島b出發(fā)與科考船匯合 為使航行的時(shí)間最少，快艇從小島b駛離后必須按直線方向航行，設(shè)t小時(shí)后恰與科考船在c處相遇7分 在oab中，可計(jì)算得，而在ocb中，9分由余弦定理，得，即，亦即，解得或（舍去）12分，故即給養(yǎng)快艇駛離港口a后，最少經(jīng)過3小時(shí)能和科考船相遇14分考點(diǎn)：1.解三角形;2.一元二次方程;3.三角的應(yīng)用 【考點(diǎn)特訓(xùn)】1.【東北三省2014年高三第二次模擬考試】已知的內(nèi)角a,b,c的對(duì)邊分別為a，b，c且,則b=（）a.b. c. d. 2.【山東省濟(jì)南市2014屆高三3月考模擬考試】在abc中，若，則cosb的值為 (a) (b) (c) (d) 3.【江蘇省揚(yáng)州中學(xué)2015屆高三8月開學(xué)考試10】在中，角a,b,c的對(duì)邊分別為a,b,c，已知若，則 【答案】.4.【北京市重點(diǎn)中學(xué)2015屆高三8月開學(xué)測試12】在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是. 已知，則的值為 .5.【湖北省武漢市2015屆高三9月調(diào)研測試14】在abc中，則bc邊上的高等于 6.【河北省唐山市20142015學(xué)年度高三年級(jí)摸底考試16】在abc中，點(diǎn)d在邊bc上，則acbc_.7.【廣東省惠州一中等六校2015屆高三8月聯(lián)考11】已知中，角.的對(duì)邊分別為.，且，則 8.【廣州市海珠區(qū)2014學(xué)年高三綜合測試（一）試題12】在中，角所對(duì)邊分別為，且，面積，則= 9. 【湖北省部分重點(diǎn)中學(xué)2014-2015學(xué)年度上學(xué)期高三起點(diǎn)考試18】在abc中，角a,b,c所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知() 求角c的大小;() 若c=2，求使abc面積最大時(shí)，a, b的值.試題解析：(1) 由題意及正弦定理 即 從而 又 (2) 由余弦定理 即 (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立) abc面積最大為，此時(shí) 故當(dāng)時(shí)，abc的面積最大為.考點(diǎn)：正弦定理，余弦定理，兩角和的正弦公式，重要不等式（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)），三角形面積為.10.【河南省安陽一中2015屆高三第一次月考18】（本小題滿分12分）中，分別為角的對(duì)邊，滿足.（）求角的值； （）若，設(shè)角的大小為的周長為，求的最大值.試題解析：（）在中，由及余弦定理得 而，則； （）由及正弦定理得， 同理 ，即時(shí)，考點(diǎn)：1.正弦定理與余弦定理;2.正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì). 11.【河北省“五個(gè)一