第二章第5講二次函數(shù)與冪函數(shù).DOC

第5講二次函數(shù)與冪函數(shù)1冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)(1)所有冪函數(shù)在(0，)上都有定義，并且圖象都通過(guò)點(diǎn)(1,1)(2)如果0，則冪函數(shù)圖象過(guò)原點(diǎn)，并且在區(qū)間(0，)上為增函數(shù)(3)如果0，則冪函數(shù)圖象在區(qū)間(0，)上為減函數(shù)在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從右邊趨向于原點(diǎn)時(shí)，圖象在y軸右方無(wú)限地逼近y軸當(dāng)x趨向于時(shí)，圖象在x軸上方無(wú)限地逼近x軸(4)當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為偶函數(shù)只要求掌握冪函數(shù)yx，yx2，yx3，yx，y的圖象與性質(zhì)做一做1已知函數(shù)f(x)(2mm2)xm2m，當(dāng)m為何值時(shí)，f(x)是二次函數(shù)？這時(shí)是冪函數(shù)嗎？解：若f(x)為二次函數(shù)，則m2m2，解得m1或m2.當(dāng)m1時(shí)，f(x)x2；當(dāng)m2時(shí)，f(x)8x2.因此當(dāng)m1時(shí)，f(x)既是二次函數(shù)又是冪函數(shù)2二次函數(shù)的解析式的三種形式(1)一般式f(x)ax2bxc(a0)；(2)頂點(diǎn)式f(x)a(xh)2k(a0)；(3)零點(diǎn)式f(x)a(xx1)(xx2)(a0)做一做2已知二次函數(shù)f(x)ax2bxc對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f(x)f8，且f(2)1，求二次函數(shù)f(x)的解析式解：因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù)x都有f(x)f8，所以二次函數(shù)f(x)ax2bxc，當(dāng)x時(shí)，f(x)max8，即二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向下，且頂點(diǎn)的坐標(biāo)為.所以令f(x)a28，又f(2)1，所以a281，解之得a4，所以f(x)4(x)284x24x7.3閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值 二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)在閉區(qū)間p，q上的最值只能在x處及區(qū)間的兩端點(diǎn)處取得，具體如下：當(dāng)a0時(shí)，若xp，q，則f(x)minf，f(x)maxmaxf(p)，f(q)；若xp，q，f(x)maxmaxf(p)，f(q)，f(x)minminf(p)，f(q)當(dāng)a0時(shí)，若xp，q，則f(x)maxf，f(x)minminf(p)，f(q)；若xp，q，則f(x)maxmaxf(p)，f(q)，f(x)minminf(p)，f(q)做一做3已知函數(shù)f(x)4x24axa22a2在區(qū)間0,2上有最小值3，求a的值解：f(x)4(x)22a2，當(dāng)0，即a0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，f(x)minf(0)a22a2.由a22a23，得a1，又a0，所以a1.當(dāng)02，即0a4時(shí)，f(x)minf2a2，由2a23，得a(0,4)，故舍去當(dāng)2，即a4時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間0,2上是減函數(shù)，所以f(x)minf(2)a210a18，由a210a183，解得a5，因?yàn)閍4，所以a5.綜上所述，a1或a5.1必明辨的1個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)對(duì)于二次函數(shù)單調(diào)性、最值等研究沒(méi)有注意自變量的限制條件練一練1已知函數(shù)f(x)x22ax1a在x0,1時(shí)有最大值2，則a的值為_(kāi)解析：f(x)(xa)2a2a1，當(dāng)a1時(shí)，ymaxa；當(dāng)0a1時(shí)，ymaxa2a1；當(dāng)a0時(shí)，ymax1a.根據(jù)已知條件或或解得a2或a1.答案：2或12必會(huì)的2種方法(1)結(jié)合二次函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想解題(2)與二次方程緊密結(jié)合，利用函數(shù)與方程思想解題練一練2設(shè)二次函數(shù)f(x)ax22axc在區(qū)間0,1上單調(diào)遞減，且f(m)f(0)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_解析：二次函數(shù)f(x)ax22axc在區(qū)間0,1上單調(diào)遞減，則a0，f(x)2a(x1)0，x0,1，所以a0，即函數(shù)圖象的開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x1.所以f(0)f(2)，則當(dāng)f(m)f(0)時(shí)，有0m2.答案：0,23已知二次函數(shù)f(x)滿(mǎn)足條件f(0)0，f(x5)f(x3)，且方程f(x)x有等根(1)求f(x)的解析式；(2)是否存在實(shí)數(shù)m，n，使f(x)的定義域和值域分別為m，n和3m,3n？如果存在，求出m，n的值，如果不存在，說(shuō)明理由解：(1)因?yàn)閒(x)是二次函數(shù)，故可設(shè)f(x)ax2bxc(a0)，又f(0)0，所以c0，即f(x)ax2bx.又f(x5)f(x3)，所以函數(shù)f(x)的對(duì)稱(chēng)軸方程為x1，即1.又方程f(x)x有等根，所以在方程ax2bxx中，(b1)20，即b1；所以a，即f(x)x2x.(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)m，n，使f(x)的定義域和值域分別為m，n和3m,3n，因?yàn)閒(x)(x1)2，所以3nn，故f(x)在m，n上為增函數(shù)，所以又mg(x)；f(x)g(x)；f(x)g(x)；當(dāng)x1時(shí)，f(x)g(x)；當(dāng)x(0,1)時(shí)，f(x)f(a1)的實(shí)數(shù)a的取值范圍解：(1)m2mm(m1)，mN*，而m與m1中必有一個(gè)為偶數(shù)，所以m(m1)為偶數(shù)所以函數(shù)f(x)x(m2m)1(mN*)的定義域?yàn)?，)，并且在定義域上為增函數(shù)(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，)，所以2(m2m)1，即22.所以m2m2.解得m1或m2.又mN*，所以m1.由f(2a)f(a1)得解得1a，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為1，)考點(diǎn)二二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(高頻考點(diǎn))已知函數(shù)f(x)x22ax1，求f(x)在區(qū)間0,2上的最值解函數(shù)f(x)x22ax1(xa)21a2的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)xa，(1)若a0，f(x)在區(qū)間0,2上單調(diào)遞增，當(dāng)x0時(shí)，f(x)minf(0)1；當(dāng)x2時(shí)，f(x)maxf(2)54a；(2)若0a1，則當(dāng)xa時(shí)，f(x)minf(a)1a2；當(dāng)x2時(shí)，f(x)maxf(2)54a；(3)若1a2，則當(dāng)xa時(shí)，f(x)minf(a)1a2；當(dāng)x0時(shí)，f(x)maxf(0)1；(4)若a2，則f(x)在區(qū)間0,2上單調(diào)遞減，當(dāng)x0時(shí)，f(x)maxf(0)1；當(dāng)x2時(shí)，f(x)minf(2)54a.綜上，當(dāng)a0時(shí)，f(x)min1，f(x)max54a；當(dāng)0a1時(shí)，f(x)min1a2，f(x)max54a；當(dāng)1a2時(shí)，f(x)min1a2，f(x)max1；當(dāng)a2時(shí)，f(x)min54a，f(x)max1.方法歸納解決二次函數(shù)求最值問(wèn)題，首先采用配方法，將二次函數(shù)化為ya(xm)2n(a0)的形式，得頂點(diǎn)(m，n)或?qū)ΨQ(chēng)軸方程xm，分三個(gè)類(lèi)型：頂點(diǎn)固定，區(qū)間固定；頂點(diǎn)含參數(shù)，區(qū)間固定；頂點(diǎn)固定，區(qū)間變動(dòng)已知二次函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)0和2，且它有最小值1.(1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)與f(x)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，求g(x)的解析式解(1)由于f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)0和2，所以可設(shè)f(x)ax(x2)(a0)，這時(shí)f(x)ax(x2)a(x1)2a，由于f(x)有最小值1，所以必有解得a1.因此f(x)的解析式是f(x)x(x2)x22x.(2)設(shè)點(diǎn)P(x，y)是函數(shù)g(x)圖象上任一點(diǎn)，它關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)P(x，y)必在f(x)圖象上，所以y(x)22(x)，即yx22x，yx22x，故g(x)x22x.方法歸納求二次函數(shù)的解析式常用待定系數(shù)法合理選擇解析式的形式，并根據(jù)已知條件正確地列出含有待定系數(shù)的等式，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程(組)求解是解決此類(lèi)問(wèn)題的基本方法2.設(shè)函數(shù)f(x)x22x2，xt，t1，tR的最小值為g(t)(1)求g(t)的解析式；(2)求g(t)的最小值解：(1)f(x)x22x2(x1)21，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)當(dāng)t11，即t0時(shí)，函數(shù)在t，t1上為減函數(shù)，g(t)f(t1)t21；當(dāng)t11且t1，即0t2xm恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解(1)由f(0)1，得c1.所以f(x)ax2bx1.又f(x1)f(x)2x，所以a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2x，即2axab2x，所以所以因此，f(x)x2x1.(2)f(x)2xm等價(jià)于x2x12xm，即x23x1m0，要使此不等式在1,1上恒成立，只需使函數(shù)g(x)x23x1m在1,1上的最小值大于0即可因?yàn)間(x)x23x1m在1,1上單調(diào)遞減，所以g(x)ming(1)m1，由m10得，m2x的解集為(1,3)，且方程f(x)6a0有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，求f(x)的解析式解：設(shè)f(x)ax2bxc(a0)因?yàn)閒(x)2x，所以ax2(b2)xc0的解集為(1,3)所以13，13.又ax2bxc6a0有兩個(gè)相等實(shí)根，所以b24a(c6a)0.易知a0，由組成方程組，解得所以f(x)x2x.5已知函數(shù)f(x)x2mxn的圖象過(guò)點(diǎn)(1,3)，且f(1x)f(1x)對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，函數(shù)yg(x)與yf(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)(1)求f(x)與g(x)的解析式；(2)若F(x)g(x)f(x)在(1,1上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍解： (1)因?yàn)閒(x)x2mxn，所以f(1x)(1x)2m(1x)nx22x1mxnmx2(m2)xnm1，f(1x)(1x)2m(1x)nx22x1mxmnx2(2m)xnm1.又f(1x)f(1x)，所以m22m，即m2.又f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(1,3)，所以312mn，即mn2，所以n0，所以f(x)x22x.又yg(x)與yf(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以g(x)(x)2 2(x)，所以g(x)x22x.(2)F(x)g(x)f(x)(1)x2(22)x.當(dāng)10時(shí)，F(xiàn)(x)的對(duì)稱(chēng)軸為x，又因?yàn)镕(x)在(1,1上是增函數(shù)，所以或所以1或10.當(dāng)10，即1時(shí)，F(xiàn)(x)4x顯然在(1,1上是增函數(shù)綜上所述，的取值范圍為(，0方法思想二次函數(shù)區(qū)間最值問(wèn)題已知函數(shù)f(x)ax2|x|2a1(a為實(shí)常數(shù))(1)若a1，作出函數(shù)f(x)的圖象；(2)設(shè)f(x)在區(qū)間1,2上的最小值為g(a)，求g(a)的表達(dá)式解(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)x2|x|1作圖(如圖所示) (2)當(dāng)x1,2時(shí)，f(x)ax2x2a1.若a0，則f(x)x1在區(qū)間1,2上是減函數(shù)，g(a)f(2)3.若a0，則f(x)a(x)22a1，f(x)圖象的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x.當(dāng)a0時(shí)，f(x)在區(qū)間1,2上是減函數(shù)，g(a)f(2)6a3.當(dāng)01，即a時(shí)，f(x)在區(qū)間1,2上是增函數(shù)，g(a)f(1)3a2.當(dāng)12，即a時(shí)，g(a)f()2a1，當(dāng)2，即0a時(shí)，f(x)在區(qū)間1,2上是減函數(shù)，g(a)f(2)6a3.綜上可得g(a)感悟提高在研究有關(guān)二次函數(shù)區(qū)間最值時(shí)一般用到分類(lèi)討論思想：一是對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)a進(jìn)行討論；二是要對(duì)對(duì)稱(chēng)軸進(jìn)行討論在分類(lèi)討論時(shí)要遵循分類(lèi)的原則：一是分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)要一致；二是分類(lèi)時(shí)要做到不重不漏；三是能不分類(lèi)的要盡量避免分類(lèi)，絕不無(wú)原則的分類(lèi)討論具體運(yùn)用時(shí)一要考慮是否可行和是否有利；二要選擇好突破口，恰當(dāng)設(shè)參、用參、建立關(guān)系、做好轉(zhuǎn)化；三要挖掘隱含條件，準(zhǔn)確界定參變量的取值范圍，特別是運(yùn)用函數(shù)圖象時(shí)應(yīng)設(shè)法選擇動(dòng)直線(xiàn)與定二次曲線(xiàn)6.設(shè)函數(shù)yx22x，x2，a，則函數(shù)的最小值g(a)_.解析：因?yàn)楹瘮?shù)yx22x(x1)21，所以對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x1，而x1不一定在區(qū)間2，a內(nèi)，應(yīng)進(jìn)行討論當(dāng)2a1時(shí)，函數(shù)在2，a上單調(diào)遞減，則當(dāng)xa時(shí)，ymina22a；當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)在2,1上單調(diào)遞減，在1，a上單調(diào)遞增，則當(dāng)x1時(shí)，ymin1.綜上，g(a)答案：7已知函數(shù)f(x)4x24ax4aa2(a0)在區(qū)間0,1內(nèi)有一個(gè)最大值5，則a的值為_(kāi)解析：f(x)424a，對(duì)稱(chēng)軸為x，頂點(diǎn)為.當(dāng)1，即a2時(shí)，f(x)在區(qū)間0,1上遞增所以ymaxf(1)4a2.令4a25，所以a12(舍去)當(dāng)01，即0a2時(shí)，ymaxf4a，令4a5，所以a(0,2)答案：1已知點(diǎn)M在冪函數(shù)f(x)的圖象上，則f(x)的表達(dá)式為_(kāi)解析：設(shè)冪函數(shù)的解析式為f(x)x，則3，得2.故f(x)x2.答案：f(x)x22對(duì)于函數(shù)yx2，yx有下列說(shuō)法：兩個(gè)函數(shù)都是冪函數(shù)；兩個(gè)函數(shù)在第一象限內(nèi)都單調(diào)遞增；它們的圖象關(guān)于直線(xiàn)yx對(duì)稱(chēng)；兩個(gè)函數(shù)都是偶函數(shù)；兩個(gè)函數(shù)都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,0)、(1,1)；其中正確的有_解析：從兩個(gè)函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性等性質(zhì)進(jìn)行比較答案：3比較0.20.5,0.40.3的大小，結(jié)果為_(kāi)解析：先比較0.20.5與0.20.3，再比較0.20.3與0.40.3，y0.2x是減函數(shù)，故0.20.50.20.3；yx0.3在(0，)上是增函數(shù)，故0.20.30.40.3.則0.20.50.40.3.答案：0.20.5.答案：(，)8已知二次函數(shù)yf(x)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且方程f(x)0的兩個(gè)實(shí)根之差等于7，則此二次函數(shù)的解析式是_解析：設(shè)二次函數(shù)的解析式為f(x)a249(a0時(shí)，f(x)ax22x圖象的開(kāi)口方向向上，且對(duì)稱(chēng)軸為x.當(dāng)1，即a1時(shí)，f(x)ax22x圖象的對(duì)稱(chēng)軸在0,1內(nèi)，所以f(x)在上遞減，在上遞增所以f(x)minf.當(dāng)1，即0a1時(shí)，f(x)ax22x圖象的對(duì)稱(chēng)軸在0,1的右側(cè)，所以f(x)在0,1上遞減所以f(x)minf(1)a2.(3)當(dāng)a0時(shí)，f(x)ax22x的圖象的開(kāi)口方向向下，且對(duì)稱(chēng)軸x0，在y軸的左側(cè)，所以f(x)ax22x在0,1上遞減所以f(x)minf(1)a2.綜上所述f(x)min1已知函數(shù)g(x)ax22ax1b(a0，b0時(shí)，g(x)在2,3上為增函數(shù)，故當(dāng)a0時(shí)，g(x)在2,3上為減函數(shù)，故因?yàn)閎0時(shí)，f(x)(x1)2，若當(dāng)x時(shí)，nf(x)m恒成立，則mn的最小值為_(kāi)解析：當(dāng)x0，f(x)f(x)(x1)2，因?yàn)閤，所以f(x)minf(1)0，f(x)maxf(2)1，所以m1，n0，mn1.答案：13若函數(shù)f(x)x2ax在(，)上是增函數(shù)，則a的取值范圍是_解析：由題意知f(x)0對(duì)任意的x(，)恒成立，又f(x)2xa，所以2xa0對(duì)任意的x(，)恒成立，分離參數(shù)得a2x，若滿(mǎn)足題意，需a(2x)max.令h(x)2x，x(，)因?yàn)閔(x)2，所以當(dāng)x(，)時(shí)，h(x)0，即h(x)在(，)上單調(diào)遞減，所以h(x)0，bR，cR)(1)若函