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第5講二次函數(shù)與冪函數(shù)1冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)(1)所有冪函數(shù)在(0,)上都有定義,并且圖象都通過(guò)點(diǎn)(1,1)(2)如果0,則冪函數(shù)圖象過(guò)原點(diǎn),并且在區(qū)間(0,)上為增函數(shù)(3)如果0,則冪函數(shù)圖象在區(qū)間(0,)上為減函數(shù)在第一象限內(nèi),當(dāng)x從右邊趨向于原點(diǎn)時(shí),圖象在y軸右方無(wú)限地逼近y軸當(dāng)x趨向于時(shí),圖象在x軸上方無(wú)限地逼近x軸(4)當(dāng)為奇數(shù)時(shí),冪函數(shù)為奇函數(shù),當(dāng)為偶數(shù)時(shí),冪函數(shù)為偶函數(shù)只要求掌握冪函數(shù)yx,yx2,yx3,yx,y的圖象與性質(zhì)做一做1已知函數(shù)f(x)(2mm2)xm2m,當(dāng)m為何值時(shí),f(x)是二次函數(shù)?這時(shí)是冪函數(shù)嗎?解:若f(x)為二次函數(shù),則m2m2,解得m1或m2.當(dāng)m1時(shí),f(x)x2;當(dāng)m2時(shí),f(x)8x2.因此當(dāng)m1時(shí),f(x)既是二次函數(shù)又是冪函數(shù)2二次函數(shù)的解析式的三種形式(1)一般式f(x)ax2bxc(a0);(2)頂點(diǎn)式f(x)a(xh)2k(a0);(3)零點(diǎn)式f(x)a(xx1)(xx2)(a0)做一做2已知二次函數(shù)f(x)ax2bxc對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f(x)f8,且f(2)1,求二次函數(shù)f(x)的解析式解:因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù)x都有f(x)f8,所以二次函數(shù)f(x)ax2bxc,當(dāng)x時(shí),f(x)max8,即二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向下,且頂點(diǎn)的坐標(biāo)為.所以令f(x)a28,又f(2)1,所以a281,解之得a4,所以f(x)4(x)284x24x7.3閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值 二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)在閉區(qū)間p,q上的最值只能在x處及區(qū)間的兩端點(diǎn)處取得,具體如下:當(dāng)a0時(shí),若xp,q,則f(x)minf,f(x)maxmaxf(p),f(q);若xp,q,f(x)maxmaxf(p),f(q),f(x)minminf(p),f(q)當(dāng)a0時(shí),若xp,q,則f(x)maxf,f(x)minminf(p),f(q);若xp,q,則f(x)maxmaxf(p),f(q),f(x)minminf(p),f(q)做一做3已知函數(shù)f(x)4x24axa22a2在區(qū)間0,2上有最小值3,求a的值解:f(x)4(x)22a2,當(dāng)0,即a0時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間0,2上是增函數(shù),f(x)minf(0)a22a2.由a22a23,得a1,又a0,所以a1.當(dāng)02,即0a4時(shí),f(x)minf2a2,由2a23,得a(0,4),故舍去當(dāng)2,即a4時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間0,2上是減函數(shù),所以f(x)minf(2)a210a18,由a210a183,解得a5,因?yàn)閍4,所以a5.綜上所述,a1或a5.1必明辨的1個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)對(duì)于二次函數(shù)單調(diào)性、最值等研究沒(méi)有注意自變量的限制條件練一練1已知函數(shù)f(x)x22ax1a在x0,1時(shí)有最大值2,則a的值為_(kāi)解析:f(x)(xa)2a2a1,當(dāng)a1時(shí),ymaxa;當(dāng)0a1時(shí),ymaxa2a1;當(dāng)a0時(shí),ymax1a.根據(jù)已知條件或或解得a2或a1.答案:2或12必會(huì)的2種方法(1)結(jié)合二次函數(shù)圖象,利用數(shù)形結(jié)合思想解題(2)與二次方程緊密結(jié)合,利用函數(shù)與方程思想解題練一練2設(shè)二次函數(shù)f(x)ax22axc在區(qū)間0,1上單調(diào)遞減,且f(m)f(0),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_解析:二次函數(shù)f(x)ax22axc在區(qū)間0,1上單調(diào)遞減,則a0,f(x)2a(x1)0,x0,1,所以a0,即函數(shù)圖象的開(kāi)口向上,對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x1.所以f(0)f(2),則當(dāng)f(m)f(0)時(shí),有0m2.答案:0,23已知二次函數(shù)f(x)滿(mǎn)足條件f(0)0,f(x5)f(x3),且方程f(x)x有等根(1)求f(x)的解析式;(2)是否存在實(shí)數(shù)m,n,使f(x)的定義域和值域分別為m,n和3m,3n?如果存在,求出m,n的值,如果不存在,說(shuō)明理由解:(1)因?yàn)閒(x)是二次函數(shù),故可設(shè)f(x)ax2bxc(a0),又f(0)0,所以c0,即f(x)ax2bx.又f(x5)f(x3),所以函數(shù)f(x)的對(duì)稱(chēng)軸方程為x1,即1.又方程f(x)x有等根,所以在方程ax2bxx中,(b1)20,即b1;所以a,即f(x)x2x.(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)m,n,使f(x)的定義域和值域分別為m,n和3m,3n,因?yàn)閒(x)(x1)2,所以3nn,故f(x)在m,n上為增函數(shù),所以又mg(x);f(x)g(x);f(x)g(x);當(dāng)x1時(shí),f(x)g(x);當(dāng)x(0,1)時(shí),f(x)f(a1)的實(shí)數(shù)a的取值范圍解:(1)m2mm(m1),mN*,而m與m1中必有一個(gè)為偶數(shù),所以m(m1)為偶數(shù)所以函數(shù)f(x)x(m2m)1(mN*)的定義域?yàn)?,),并且在定義域上為增函數(shù)(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,),所以2(m2m)1,即22.所以m2m2.解得m1或m2.又mN*,所以m1.由f(2a)f(a1)得解得1a,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為1,)考點(diǎn)二二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(高頻考點(diǎn))已知函數(shù)f(x)x22ax1,求f(x)在區(qū)間0,2上的最值解函數(shù)f(x)x22ax1(xa)21a2的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)xa,(1)若a0,f(x)在區(qū)間0,2上單調(diào)遞增,當(dāng)x0時(shí),f(x)minf(0)1;當(dāng)x2時(shí),f(x)maxf(2)54a;(2)若0a1,則當(dāng)xa時(shí),f(x)minf(a)1a2;當(dāng)x2時(shí),f(x)maxf(2)54a;(3)若1a2,則當(dāng)xa時(shí),f(x)minf(a)1a2;當(dāng)x0時(shí),f(x)maxf(0)1;(4)若a2,則f(x)在區(qū)間0,2上單調(diào)遞減,當(dāng)x0時(shí),f(x)maxf(0)1;當(dāng)x2時(shí),f(x)minf(2)54a.綜上,當(dāng)a0時(shí),f(x)min1,f(x)max54a;當(dāng)0a1時(shí),f(x)min1a2,f(x)max54a;當(dāng)1a2時(shí),f(x)min1a2,f(x)max1;當(dāng)a2時(shí),f(x)min54a,f(x)max1.方法歸納解決二次函數(shù)求最值問(wèn)題,首先采用配方法,將二次函數(shù)化為ya(xm)2n(a0)的形式,得頂點(diǎn)(m,n)或?qū)ΨQ(chēng)軸方程xm,分三個(gè)類(lèi)型:頂點(diǎn)固定,區(qū)間固定;頂點(diǎn)含參數(shù),區(qū)間固定;頂點(diǎn)固定,區(qū)間變動(dòng)已知二次函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)0和2,且它有最小值1.(1)求f(x)的解析式;(2)若g(x)與f(x)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),求g(x)的解析式解(1)由于f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)0和2,所以可設(shè)f(x)ax(x2)(a0),這時(shí)f(x)ax(x2)a(x1)2a,由于f(x)有最小值1,所以必有解得a1.因此f(x)的解析式是f(x)x(x2)x22x.(2)設(shè)點(diǎn)P(x,y)是函數(shù)g(x)圖象上任一點(diǎn),它關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)P(x,y)必在f(x)圖象上,所以y(x)22(x),即yx22x,yx22x,故g(x)x22x.方法歸納求二次函數(shù)的解析式常用待定系數(shù)法合理選擇解析式的形式,并根據(jù)已知條件正確地列出含有待定系數(shù)的等式,把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程(組)求解是解決此類(lèi)問(wèn)題的基本方法2.設(shè)函數(shù)f(x)x22x2,xt,t1,tR的最小值為g(t)(1)求g(t)的解析式;(2)求g(t)的最小值解:(1)f(x)x22x2(x1)21,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)當(dāng)t11,即t0時(shí),函數(shù)在t,t1上為減函數(shù),g(t)f(t1)t21;當(dāng)t11且t1,即0t2xm恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍解(1)由f(0)1,得c1.所以f(x)ax2bx1.又f(x1)f(x)2x,所以a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2x,即2axab2x,所以所以因此,f(x)x2x1.(2)f(x)2xm等價(jià)于x2x12xm,即x23x1m0,要使此不等式在1,1上恒成立,只需使函數(shù)g(x)x23x1m在1,1上的最小值大于0即可因?yàn)間(x)x23x1m在1,1上單調(diào)遞減,所以g(x)ming(1)m1,由m10得,m2x的解集為(1,3),且方程f(x)6a0有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根,求f(x)的解析式解:設(shè)f(x)ax2bxc(a0)因?yàn)閒(x)2x,所以ax2(b2)xc0的解集為(1,3)所以13,13.又ax2bxc6a0有兩個(gè)相等實(shí)根,所以b24a(c6a)0.易知a0,由組成方程組,解得所以f(x)x2x.5已知函數(shù)f(x)x2mxn的圖象過(guò)點(diǎn)(1,3),且f(1x)f(1x)對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立,函數(shù)yg(x)與yf(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)(1)求f(x)與g(x)的解析式;(2)若F(x)g(x)f(x)在(1,1上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍解: (1)因?yàn)閒(x)x2mxn,所以f(1x)(1x)2m(1x)nx22x1mxnmx2(m2)xnm1,f(1x)(1x)2m(1x)nx22x1mxmnx2(2m)xnm1.又f(1x)f(1x),所以m22m,即m2.又f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(1,3),所以312mn,即mn2,所以n0,所以f(x)x22x.又yg(x)與yf(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),所以g(x)(x)2 2(x),所以g(x)x22x.(2)F(x)g(x)f(x)(1)x2(22)x.當(dāng)10時(shí),F(xiàn)(x)的對(duì)稱(chēng)軸為x,又因?yàn)镕(x)在(1,1上是增函數(shù),所以或所以1或10.當(dāng)10,即1時(shí),F(xiàn)(x)4x顯然在(1,1上是增函數(shù)綜上所述,的取值范圍為(,0方法思想二次函數(shù)區(qū)間最值問(wèn)題已知函數(shù)f(x)ax2|x|2a1(a為實(shí)常數(shù))(1)若a1,作出函數(shù)f(x)的圖象;(2)設(shè)f(x)在區(qū)間1,2上的最小值為g(a),求g(a)的表達(dá)式解(1)當(dāng)a1時(shí),f(x)x2|x|1作圖(如圖所示) (2)當(dāng)x1,2時(shí),f(x)ax2x2a1.若a0,則f(x)x1在區(qū)間1,2上是減函數(shù),g(a)f(2)3.若a0,則f(x)a(x)22a1,f(x)圖象的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x.當(dāng)a0時(shí),f(x)在區(qū)間1,2上是減函數(shù),g(a)f(2)6a3.當(dāng)01,即a時(shí),f(x)在區(qū)間1,2上是增函數(shù),g(a)f(1)3a2.當(dāng)12,即a時(shí),g(a)f()2a1,當(dāng)2,即0a時(shí),f(x)在區(qū)間1,2上是減函數(shù),g(a)f(2)6a3.綜上可得g(a)感悟提高在研究有關(guān)二次函數(shù)區(qū)間最值時(shí)一般用到分類(lèi)討論思想:一是對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)a進(jìn)行討論;二是要對(duì)對(duì)稱(chēng)軸進(jìn)行討論在分類(lèi)討論時(shí)要遵循分類(lèi)的原則:一是分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)要一致;二是分類(lèi)時(shí)要做到不重不漏;三是能不分類(lèi)的要盡量避免分類(lèi),絕不無(wú)原則的分類(lèi)討論具體運(yùn)用時(shí)一要考慮是否可行和是否有利;二要選擇好突破口,恰當(dāng)設(shè)參、用參、建立關(guān)系、做好轉(zhuǎn)化;三要挖掘隱含條件,準(zhǔn)確界定參變量的取值范圍,特別是運(yùn)用函數(shù)圖象時(shí)應(yīng)設(shè)法選擇動(dòng)直線(xiàn)與定二次曲線(xiàn)6.設(shè)函數(shù)yx22x,x2,a,則函數(shù)的最小值g(a)_.解析:因?yàn)楹瘮?shù)yx22x(x1)21,所以對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x1,而x1不一定在區(qū)間2,a內(nèi),應(yīng)進(jìn)行討論當(dāng)2a1時(shí),函數(shù)在2,a上單調(diào)遞減,則當(dāng)xa時(shí),ymina22a;當(dāng)a1時(shí),函數(shù)在2,1上單調(diào)遞減,在1,a上單調(diào)遞增,則當(dāng)x1時(shí),ymin1.綜上,g(a)答案:7已知函數(shù)f(x)4x24ax4aa2(a0)在區(qū)間0,1內(nèi)有一個(gè)最大值5,則a的值為_(kāi)解析:f(x)424a,對(duì)稱(chēng)軸為x,頂點(diǎn)為.當(dāng)1,即a2時(shí),f(x)在區(qū)間0,1上遞增所以ymaxf(1)4a2.令4a25,所以a12(舍去)當(dāng)01,即0a2時(shí),ymaxf4a,令4a5,所以a(0,2)答案:1已知點(diǎn)M在冪函數(shù)f(x)的圖象上,則f(x)的表達(dá)式為_(kāi)解析:設(shè)冪函數(shù)的解析式為f(x)x,則3,得2.故f(x)x2.答案:f(x)x22對(duì)于函數(shù)yx2,yx有下列說(shuō)法:兩個(gè)函數(shù)都是冪函數(shù);兩個(gè)函數(shù)在第一象限內(nèi)都單調(diào)遞增;它們的圖象關(guān)于直線(xiàn)yx對(duì)稱(chēng);兩個(gè)函數(shù)都是偶函數(shù);兩個(gè)函數(shù)都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,0)、(1,1);其中正確的有_解析:從兩個(gè)函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性等性質(zhì)進(jìn)行比較答案:3比較0.20.5,0.40.3的大小,結(jié)果為_(kāi)解析:先比較0.20.5與0.20.3,再比較0.20.3與0.40.3,y0.2x是減函數(shù),故0.20.50.20.3;yx0.3在(0,)上是增函數(shù),故0.20.30.40.3.則0.20.50.40.3.答案:0.20.5.答案:(,)8已知二次函數(shù)yf(x)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為,且方程f(x)0的兩個(gè)實(shí)根之差等于7,則此二次函數(shù)的解析式是_解析:設(shè)二次函數(shù)的解析式為f(x)a249(a0時(shí),f(x)ax22x圖象的開(kāi)口方向向上,且對(duì)稱(chēng)軸為x.當(dāng)1,即a1時(shí),f(x)ax22x圖象的對(duì)稱(chēng)軸在0,1內(nèi),所以f(x)在上遞減,在上遞增所以f(x)minf.當(dāng)1,即0a1時(shí),f(x)ax22x圖象的對(duì)稱(chēng)軸在0,1的右側(cè),所以f(x)在0,1上遞減所以f(x)minf(1)a2.(3)當(dāng)a0時(shí),f(x)ax22x的圖象的開(kāi)口方向向下,且對(duì)稱(chēng)軸x0,在y軸的左側(cè),所以f(x)ax22x在0,1上遞減所以f(x)minf(1)a2.綜上所述f(x)min1已知函數(shù)g(x)ax22ax1b(a0,b0時(shí),g(x)在2,3上為增函數(shù),故當(dāng)a0時(shí),g(x)在2,3上為減函數(shù),故因?yàn)閎0時(shí),f(x)(x1)2,若當(dāng)x時(shí),nf(x)m恒成立,則mn的最小值為_(kāi)解析:當(dāng)x0,f(x)f(x)(x1)2,因?yàn)閤,所以f(x)minf(1)0,f(x)maxf(2)1,所以m1,n0,mn1.答案:13若函數(shù)f(x)x2ax在(,)上是增函數(shù),則a的取值范圍是_解析:由題意知f(x)0對(duì)任意的x(,)恒成立,又f(x)2xa,所以2xa0對(duì)任意的x(,)恒成立,分離參數(shù)得a2x,若滿(mǎn)足題意,需a(2x)max.令h(x)2x,x(,)因?yàn)閔(x)2,所以當(dāng)x(,)時(shí),h(x)0,即h(x)在(,)上單調(diào)遞減,所以h(x)0,bR,cR)(1)若函

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