【世紀(jì)金榜】高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 課時提升作業(yè)(五十六) 10.3幾何概型 文 新人教A版.doc

課時提升作業(yè)(五十六)幾 何 概 型一、選擇題(每小題5分,共25分)1.一數(shù)學(xué)興趣小組利用幾何概型的相關(guān)知識做試驗計算圓周率,他們向一個邊長為1米的正方形區(qū)域均勻撒豆,測得正方形區(qū)域有豆5120顆,正方形的內(nèi)切圓區(qū)域有豆4009顆,則他們所測得的圓周率約為(保留三位有效數(shù)字)()a.3.13b.3.14c.3.15d.3.16【解析】選a.根據(jù)幾何概型的定義有=,得3.13.2.一個路口的紅綠燈,紅燈的時間為30秒,黃燈的時間為5秒,綠燈的時間為40秒,當(dāng)某人到達(dá)路口時看見的是紅燈的概率是()a.b.c.d.【解題提示】以時間的長短作為度量,用幾何概型求解.【解析】選b.以時間的長短進(jìn)行度量,故p=.【方法技巧】求與長度(角度)有關(guān)的幾何概型的概率的方法求與長度(角度)有關(guān)的幾何概型的概率的方法是把題中所表示的幾何模型轉(zhuǎn)化為長度(角度),然后求解.確定點的邊界位置是解題的關(guān)鍵.3.分別以正方形abcd的四條邊為直徑畫半圓,重疊部分如圖中陰影區(qū)域所示,若向該正方形內(nèi)隨機投一點,則該點落在陰影區(qū)域的概率為()a.b.c.d.【解析】選b.設(shè)正方形邊長為2,陰影區(qū)域的面積的一半等于半徑為1的圓減去2個boc的面積,即為-2,則陰影區(qū)域的面積為2-4,所以所求概率為p=.4.任意畫一個正方形,再將這個正方形各邊的中點相連得到第二個正方形,依此類推,這樣一共畫了4個正方形,如圖所示,若向圖形中隨機投一點,則所投點落在第四個正方形中的概率是()【解析】選c.依題意可知,第四個正方形的邊長是第一個正方形邊長的倍,所以第四個正方形的面積是第一個正方形面積的倍,由幾何概型可知,所投點落在第四個正方形中的概率為.5.隨著科技的進(jìn)步,微爆技術(shù)正逐步被應(yīng)用到我們?nèi)粘Ｉ钪械母鱾€方面.某醫(yī)院為探究微爆技術(shù)在治療腎結(jié)石方面的應(yīng)用,設(shè)計了一個試驗:在一個棱長為1cm的正方體的中心放置微量手術(shù)專用炸藥,而爆炸的威力范圍是一個半徑為r的球,則爆炸之后形成的碎片全部落在正方體內(nèi)部的概率為()【解析】選a.由題意可知,要使碎片全部落在正方體的內(nèi)部,則該爆炸的威力范圍的半徑r不大于正方體的內(nèi)切球的半徑r=.所以該事件的概率p=二、填空題(每小題5分,共15分)6.(2015安順模擬)如圖,在邊長為1的正方形oabc中任取一點p,分別以o,b為圓心,半徑為畫圓弧,點p在兩圓之外的概率為.【解析】依題設(shè)知所求概率 答案:1-7.(2015貴陽模擬)圖(2)中實線圍成的部分是長方體(圖(1)的平面展開圖,其中四邊形abcd是邊長為1的正方形.若向虛線圍成的矩形內(nèi)任意拋擲一質(zhì)點,它落在長方體的平面展開圖內(nèi)的概率是,則此長方體的體積是.【解題提示】設(shè)長方體的高為h,用h表示出圖(2)中虛線圍成的矩形的面積及平面展開圖的面積,再由幾何概型的概率公式構(gòu)造含有h的方程,求出h后再求解體積.【解析】設(shè)長方體的高為h,則圖(2)中虛線圍成的矩形長為2+2h,寬為1+2h,面積為(2+2h)(1+2h),展開圖的面積為2+4h;由幾何概型的概率公式知,得h=3,所以長方體的體積是v=13=3.答案:38.已知m1,7,則函數(shù)f(x)=-(4m-1)x2+(15m2-2m-7)x+2在實數(shù)集r上是增函數(shù)的概率為.【解析】f(x)=x2-2(4m-1)x+15m2-2m-7,依題意,知f(x)在r上恒大于或等于0,所以=4(m2-6m+8)0,得2m4.又m1,7,所以所求的概率為.答案: 三、解答題(每小題10分,共20分)9.如圖,在邊長為25cm的正方形中挖去邊長為23cm的兩個等腰直角三角形,現(xiàn)有均勻的粒子散落在正方形中,問粒子落在中間帶形區(qū)域的概率是多少?【解析】因為均勻的粒子落在正方形內(nèi)任何一點是等可能的,所以符合幾何概型的條件.設(shè)a=“粒子落在中間帶形區(qū)域”,則依題意得正方形面積為:2525=625(cm2).兩個等腰直角三角形的面積為:22323=529(cm2),帶形區(qū)域的面積為:625-529=96(cm2).所以p(a)=.10.如圖所示,圓o的方程為:x2+y2=4.(1)已知點a的坐標(biāo)為(2,0),b為圓周上任意一點,求的長度小于的概率.(2)若p(x,y)為圓o內(nèi)任意一點,求點p到原點距離大于的概率.【解析】(1)圓o的周長為4,所以弧的長度小于的概率為=.(2)記事件a為p到原點的距離大于,則(a)=(x,y)|x2+y22,=(x,y)|x2+y24,所以p(a)=.【加固訓(xùn)練】已知向量a=(-2,1),b=(x,y).(1)若x,y分別表示將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子(六個面的點數(shù)分別為1,2,3,4,5,6)先后拋擲兩次時第一次、第二次出現(xiàn)的點數(shù),求滿足ab=-1的概率.(2)若x,y在連續(xù)區(qū)間1,6上取值,求滿足ab0的概率.【解析】(1)將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲兩次,所包含的基本事件總數(shù)為66=36個;由ab=-1有-2x+y=-1,所以滿足ab=-1的基本事件為(1,1),(2,3),(3,5),共3個,故滿足ab=-1的概率為=.(2)若x,y在連續(xù)區(qū)間1,6上取值,則全部基本事件的結(jié)果為=(x,y)|1x6,1y6;滿足ab0的基本事件的結(jié)果為a=(x,y)|1x6,1y6且-2x+y0;畫出圖形如圖,正方形的面積為s正方形=25,陰影部分的面積為s陰影=25-24=21,故滿足ab,故只有點p在以dc為直徑的圓外時滿足dpc為銳角.因此,點p落入圖中的陰影部分,故所求概率為.【方法技巧】解決幾何概型的關(guān)鍵解答幾何概型問題的關(guān)鍵在于弄清題中的考察對象和對象的活動范圍.當(dāng)考察對象為點,點的活動范圍在線段上時,用線段長度比計算;當(dāng)考察對象為線時,一般用角度比計算,即當(dāng)半徑一定時,由于弧長之比等于其所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)之比,所以角度之比實際上是所對的弧長(曲線長)之比.2.(5分)(2015貴陽模擬)在區(qū)間0,上隨機取一個數(shù)x,則事件“sin x+cos x1”發(fā)生的概率為()【解析】選c.由題意知,此概率符合幾何概型,所有基本事件包含的區(qū)域長度為,設(shè)a表示取出的x滿足sin x+cos x1這樣的事件,對條件變形為,即事件a包含的區(qū)域長度為.所以p(a)=.3.(5分)在區(qū)間0,10上任取一個實數(shù)a,使得不等式2x2-ax+80在(0,+)上恒成立的概率為.【解析】要使2x2-ax+80在(0,+)上恒成立,只需ax2x2+8,即a2x+在(0,+)上恒成立.又2x+2=8,當(dāng)且僅當(dāng)x=2時等號成立,故只需a8,因此0a8.由幾何概型的概率計算公式可知所求概率為.答案: 4.(12分)已知集合a=-2,2,b=-1,1,設(shè)m=(x,y)|xa,yb,在集合m內(nèi)隨機取出一個元素(x,y).(1)求以(x,y)為坐標(biāo)的點落在圓x2+y2=1內(nèi)的概率.(2)求以(x,y)為坐標(biāo)的點到直線x+y=0的距離不大于的概率.【解析】(1)集合m內(nèi)的點形成的區(qū)域面積s=8.因圓x2+y2=1的面積s1=,故所求概率為.(2)由題意,即-1x+y1,形成的區(qū)域如圖中陰影部分,陰影部分面積s2=4,所求概率為5.(13分)(能力挑戰(zhàn)題)已知袋子中放有大小和形狀相同的小球若干,其中標(biāo)號為0的小球1個,標(biāo)號為1的小球1個,標(biāo)號為2的小球n個.若從袋子中隨機抽取1個小球,取到標(biāo)號為2的小球的概率是.(1)求n的值.(2)從袋子中不放回地隨機抽取2個小球,記第一次取出的小球標(biāo)號為a,第二次取出的小球標(biāo)號為b.()記“a+b=2”為事件a,求事件a的概率;()在區(qū)間0,2內(nèi)任取2個實數(shù)x,y,求事件“x2+y2(a-b)2恒成立”的概率.【解析】(1)依題意=,得n=2.(2)()記標(biāo)號為0的小球為s,標(biāo)號為1的小球為t,標(biāo)號為2的小球為k,h,則取出2個小球的可能情況有:(s,t),(s,k),(s,h),(t,s),(t,k),(t,h),(k,s),(k,t),(k,h),(h,s),(h,t),(h,k),共12種,其中滿足“a+b=2”的有4種:(s,k),