高考數學客觀題求解中的七大關鍵點.pdf

解題研究 高考數學客觀題求解中的七大關鍵點 江蘇省灌南縣教育局教研室 222500 李太敏 客觀題以其 小 靈 快 的特點深受一些命 題者和解題者的喜愛 但命題者為了提高試題的 區(qū)分度 在一些試題中 常常會有意識地設置一些 關口 障礙甚至是陷阱 令解題者在不知不覺時進 入其中難以自拔 從而導致客觀題得分率不高的 現狀 而要改變這種現狀 在數學解題中就必須能 尋找出其關鍵點 一點突破 全線告捷 本文試 以近兩年的全國高考試題中的客觀題為例 來說 明其求解中的七大關鍵點 1 尋出類比對象 人們總習慣于把感覺到的新信息與已掌握的 舊知 舊法進行類比 然后進行內化 遷移 形成新 知 因而在數學解題中 如能迅速找準類比對象 就如同找準了通向解題成功的大道 例 1 2005 年遼寧卷 是正實數 設 S f x cos x 是奇函數 若對每個 實數 a S a a 1 的元素不超過2個 且有a 使S a a 1 含 2個元素 則 的取值范圍是 關鍵點分析 本題大部分同學是讀不懂題意 而導致解題發(fā)生障礙 事實上 如能找準類比對 象 題意也并不難以理解 由 f x cos x 是奇函數 得 k 2 k Z 當k 取相 鄰的兩個整數時 對應的角度之差 1 2 因而本題可類比為 對每個實數a y sin2 x 在 a a 1 的最值出現的次數不超過 2 次 且有 a 使函數y cos2 x 在 a a 1 內的最值能出現2 次 求 范圍 根據y sin2 x 的周期是T 2T 1 T 1 可得 的取值范圍是 2 2 尋出對應關系 待研究的數學對象常常是千變萬化的 但它 們之間也往往是有聯(lián)系的 大都可以通過 一對 一 或多對一 或一對多 的某種對應關系溝通它 們之間的聯(lián)系 尋出這種對應關系 就可以化繁為 簡 化陌生為熟悉 例 2 2004 年湖南卷 從正方體的八個頂點 中任取三個頂點作三角形 其中直角三角形的個 數是 A 56 B 52 C 48 D 40 關鍵點分析 正方體的頂點所確定的每一個 平面都對應四個直角三角形 而正方體的頂點所 確定平面共有 12 個 故所求的直角三角形個數為 48 個 例 3 2005年上海卷 設定義域為 R的函數 f x lg x 1 x 1 0 x 1 則關于 x 的方程 f 2 x bf x c 0 有 7個不同實數解的充要 條件是 A b 0 B b 0且 c 0 C b 0 時 f x t1有四個實根 而當t2 0 時 f x t2有三個實根 即方程t 2 bt c 0的一 個正根可對應于 f x t1的四個實根 方程 t 2 bt c 0的一個零根可對應于 f x t2的三個 實根 因而關于x 的方程f 2 x bf x c 0有 7個不同實數解 對應于方程t 2 bt c 0有一個 正根與一個零根 因此選答案 C 50 解題研究 3 尋出獨特情形 矛盾的特殊性雖蘊涵在一般性之中 但一般 性的信息由于其共性的規(guī)律易引起人們的共鳴 而特殊的信息則會由于其個性的特征易被人們所 忽略 因而尋出獨特情形 往往能達到快而準地解 決問題之目的 例4 2005年山東卷 設集合 A B 是全集U 的兩個子集 則A B 時 UA B U A 充分不必要條件 B 必要不充分條件 C 充要條件 D 既不充分也不必要條件 關鍵點分析 當 A B 時 UA B U 顯然成立 但反之呢 如能發(fā)現獨特情形 A B 時 UA B U也成立 則可立即得答案 A 4 尋出隱含性質 表面的人人均能發(fā)現 但隱含的往往才是問 題的核心 因此尋出問題的隱含性質 才能導致問 題的正確解決 例5 2005年福建卷改編 f x 是定義在R 上的以 3 為周期的奇函數 且 f 2 0 則方程 f x 0 在區(qū)間 0 6 內解的個數的最小值是 A 3 B 4 C 5 D 多于 5個 關鍵點分析 由于 f 2 0 f 5 又 f 0 0 f 3 而 f 2 f 2 0 f 1 f 4 因而本題很容易錯選答案 C 事實上 由 f x 是定義在 R 上的以 3為周期的奇函數 隱含 了 f 3 2 0 故可得f 9 2 0 因此應選答案 D 例 6 2004 年遼寧卷 設 A B C D 是球面 上的四個點 且在同一平面內 AB BC CD DA 3 球心到該平面的距離是球半徑的一半 則球的體積是 A 8 6 B 64 6 C 24 2 D 72 2 關鍵點分析 A B C D 是球面上的四個點 且在同一平面內 AB BC CD DA 隱含了 四邊形ABCD 是正方形 以此作突破口 可求得 答案 A 5 尋出本質特征 事物的特征有多種 而本質特征往往只有一 個 它需要人們從眾多繁復的信息中篩選 去甄 別 因而尋出問題的本質特征 就如同抓住了打開 問題大門的金鑰匙 例 7 2004 年浙江卷 設坐標平面內有一個 質點從原點出發(fā) 沿 x 軸跳動 每次向正方向或負 方向跳 1 個單位 經過 5 次跳動質點落在點 3 0 允許重復過此點 處 則質點不同的運動方法 共有種 用數字作答 關鍵點分析 設沿 x 軸正方向跳動x 次 沿負 方向跳動 y 次 本題的本質特征就是 方程組 x y 5 x y 3之解 故x 4且 y 1 因而質點不 同的運動方法有 C 4 5 5 種 例 8 2004 年重慶卷 若 an 是等差數列 首項a1 0 a2003 a2004 0 a2003 a2004 0 成立的最大自然數 n 是 A 4005 B 4006 C 4007 D 4008 關鍵點分析 由 a1 0 a2003 a2004 0 a2003 a2004 0 a2004 0 而 S4007 4007a2004 0 b 0 的左 右焦點分別為 F1 F2 點 P 在雙曲線的右支上 且 PF1 4 PF2 則此 雙曲線的離心率 e的最大值為 A 4 3 B 5 3 C 2 D 7 3 關鍵點分析 由 PF1 4 PF2 可得 PF1 8 3 a PF2 2 3 a 根據幾何性質得 PF1 PF2 F1F2 可得答案 B