靜力分析基礎.doc

第2章 靜力分析基礎靜力分析基礎本章主要討論剛體在力系作用下的平衡規(guī)律。主要內容包括物體的受力分析、力系的簡化、力系平衡條件及應用等。其中，恰當?shù)剡x取研究對象，正確地畫出物體受力圖，是解決力學問題的關鍵步驟。2.1 靜力分析基本概念2.1.1 基本概念1平衡在靜力學中，把物體相對于地面保持靜止或作勻速直線運動的狀態(tài)稱為物體的平衡狀態(tài)。2力和力系力是物體間相互的機械作用，這種作用使物體運動狀態(tài)或形狀發(fā)生改變。力使物體運動狀態(tài)發(fā)生改變的效應稱為外效應，使物體形狀發(fā)生改變的效應稱為內效應。本章只研究外效應，內效應在第3章中研究。圖2-1 力的矢量表示 實踐表明，力對物體的作用效果取決于力的大小、方向和作用點三個要素。當這三個要素中任何一個要素發(fā)生改變時，力的作用效果就會發(fā)生改變。力是一個既有大小又有方向的量，故用矢量表示。如圖2-1所示，通常用一按比例畫的帶箭頭的有向線段來表示力矢量，線段的長度按一定比例表示力的大小，線段所在的直線和箭頭的指向表示力的方向，有向線段的起點或終點表示力的作用點。力矢量用粗黑體大寫英文字母表示，如F、P、G等。若非粗黑體大寫英文字母則只表示力的大小。力系是指作用于被研究物體上的一組力。如果一個力系能使物體處于平衡狀態(tài)，則稱該力系為平衡力系；若兩力系分別作用于同一物體時效應相同，則二者互稱等效力系；若一個力與一個力系等效，則稱此力為該力系的合力。所謂力系的簡化就是用簡單的力系等效替代復雜的力系。在國際標準計量單位中，力的單位是牛頓（N），還常用千牛頓（kN），1kN=1000N。3剛體剛體是指在力的作用下不會變形的物體，即在力的作用下，物體內任意兩點間距離都不會改變的物體。剛體是一種抽象化的力學模型，靜力學主要討論的對象是剛體。 2.1.2 靜力學基本公理靜力學基本公理是人們在生活和生產(chǎn)實踐中經(jīng)過反復觀察和實踐得出的結論。靜力學的全部理論，就是以靜力學公理為依據(jù)推導出來的；靜力學公理是靜力學的理論基礎。1二力平衡公理作用于同一剛體上的兩個力，使剛體處于平衡的必要且充分條件，是這兩個力的大小相等，方向相反，作用線重合（簡稱等值、反向、共線），如圖2-2所示。圖2-2 二力平衡條件此公理適用于“剛體”，是力系平衡的理論基礎。對非剛體而言，二力平衡條件只是必要條件，而不是充分條件，如繩索一類的柔性體，當受等值、反向、共線的兩個拉力作用時，處于平衡狀態(tài)，但受兩個等值、反向、共線的壓力作用時，就不能平衡。只受兩個力作用而處于平衡的構件，稱為二力構件，當構件為桿件時則稱為二力桿。二力桿的受力特點是二力的作用線必定沿著兩作用點的連線。2加減平衡力系公理在已知力系上加上或減去任意一個平衡力系，不會改變原力系對物體的作用效果。此公理適用于“剛體”，是力系簡化的理論基礎。圖2-3 力的可傳性推論力的可傳性原理：作用在剛體上的力，其作用點可以沿著作用線在剛體內任意移動而不改變它對剛體的作用效果。在實踐中，人們有這樣的體會，以等量的力在車后A點推和在車前B點拉，效果是一樣的，如圖2-3所示。由力的可傳性原理看出，對剛體來說，力的作用點已不再是決定其效應的要素之一，而由力的作用線取代，因此作用在剛體上的力的三要素是力的大小、方向和作用線。但必須注意，力的可傳性原理只適用于剛體，而不適用于變形體。3力的平行四邊形公理 作用在剛體上的兩個匯交力可合成為一個合力，合力的作用點在二力的匯交點，合力的大小和方向由以此二力為鄰邊所構成的平行四邊形的對角線矢量表示，如圖2-4（a）所示。此公理是研究力系合成和力分解的基礎。根據(jù)這個公理所作出的平行四邊形，稱為力的平行四邊形。這種求合力的方法，稱為力的平行四邊形法則。兩個力的合成不是簡單的地代數(shù)和，而是要用平行四邊形法則求幾何和，即矢量和。力的平行四邊形法則還可用矢量式表示為R=F1+F2。由圖2-4（b）可見，求合力R時，實際上不必作出整個平行四邊形，只要以力F1（AB）的末端B作為F2（BD）的始端畫出F2（即兩分力首尾相接），那么矢量AD就代表合力R。合力和分力所構成的三角形ABD稱為力三角形；用力三角形求兩力合力的方法，稱為力三角形法。圖2-4 力的平行四邊形法則在工程中，通常是將一個已知力分解為兩個相互垂直的分力，或用兩個相互垂直的分力來表示一個方向不定的未知力，且一般選這兩個分力沿x、y坐標軸方向，如圖2-4（c）所示?？捎檬噶渴奖硎緸镕=Fx+Fy。F、Fx、Fy之間的關系式為（2-1）應用上述力的基本性質，可以推導出三力平衡匯交定理：如果物體在三個不平行的共面力作用下處于平衡時，則這三個力的作用線必匯交于一點。圖2-5 作用力與反作用力若物體受三個互不平行的共面力作用而平衡，則根據(jù)三力平衡匯交定理，通常只要已知兩個力的方向，第三個力的方向便可推知。在解力系平衡問題時，常可利用這個定理確定未知力的方向。4作用與反作用公理一個物體對另一個物體有一作用力時，另一物體對此物體必有一反作用力，這兩個力大小相等，方向相反，沿同一直線分別作用在兩個物體上。如圖2-5（b）所示，N和N即為一對作用力和反作用力，我們常用加“撇”的方法來表示一對作用力和反作用力。應當注意，作用力和反作用力是分別作用在兩個不同的物體上的，因此，盡管二者大小相等，方向相反，沿同一作用線，但不能相互平衡，即它們不是一對平衡力。二力平衡條件中的一對平衡力是作用在同一物體上的等值、反向的共線力。2.2 受 力 分 析2.2.1 約束與約束反力在工程中，構件總是以一定的形式與周圍其他構件相互連接的，例如轉軸受到軸承的限制，只能產(chǎn)生繞軸心的轉動；列車受到鋼軌的限制，只能沿軌道運動等。這種限制物體某些運動的周圍其他物體，稱為約束。上面提到的軸承就是轉軸的約束，鋼軌就是列車的約束。物體的受力可分為主動力和約束反力兩類。主動力是指使物體產(chǎn)生運動或運動趨勢的力，如物體的重力、零件的載荷等；約束反力是對物體運動起限制作用的力，作用在被約束物體上。由于約束的作用是限制物體的運動，所以約束反力的方向總是與它限制的物體運動方向相反，其作用點在約束與被約束物體相互連接或接觸之處。約束反力也常稱為約束力。圖2-6 柔性約束工程中約束的種類很多，下面介紹幾種典型的約束模型。1柔性約束由繩索、鏈條或皮帶等非剛性物體所構成的約束稱為柔性約束。這些物體只能受拉不能受壓，約束反力作用于連接點，方向沿著中心線而背離被約束物體。約束反力符號通常用字母T來表示。如圖2-6中繩索對物體的約束反力T1和T2。2光滑面約束當兩物體直接接觸且表面光滑，接觸處摩擦力很小可略去不計時所形成的約束稱為光滑面約束。這種約束不能限制物體沿約束表面切線方向的位移，只能限制物體沿接觸面法線并指向約束內部的位移。因此，其約束反力必通過接觸點，沿著接觸面在該點的公法線方向并指向物體。這類約束反力稱為法向反力，通常用字母N表示，如圖2-7所示。圖2-7 光滑面約束3光滑圓柱鉸鏈約束兩個帶有圓孔的物體，用光滑圓柱形銷釘連接所形成的約束稱為光滑鉸鏈約束。如圖2-8（a）所示，物體A和B的運動受到銷釘C的限制，只能轉動不能移動。圖2-8（b）所示的連桿與曲柄銷連接（A處），連桿與活塞銷連接（B處），都是鉸鏈連接。這類約束由于銷釘與物體的圓孔表面都是光滑的，而兩者之間又總有間隙，物體受主動力后形成線接觸點K，根據(jù)光滑面約束的特點，銷釘對物體的約束反力應沿著接觸點K處的公法線通過物體圓孔中心（即鉸鏈中心）。但因為接觸點不能預先確定，所以約束反力的方向也不能預先確定。畫約束反力時，通常用兩個通過鉸鏈中心且互相垂直的分力來表示，如圖2-8（c）所示。圖2-8 光滑圓柱鉸鏈約束根據(jù)被連接物體的形狀、位置及作用，光滑圓柱鉸鏈約束又分為以下幾種：中間鉸鏈約束，如圖2-9（a）；固定鉸鏈約束，如圖2-9（b）所示；活動鉸鏈約束，如圖2-9（c）所示。中間鉸鏈約束和固定鉸鏈約束其約束反力通常用通過鉸鏈中心的兩個互相垂直的分力來表示?；顒鱼q鏈約束由于支座底部安放了滾子，只能限制物體沿支承面垂直方向的位移，不能限制物體沿支承面的運動和繞銷釘軸線的轉動。因此，活動鉸鏈約束的約束反力通過銷釘中心，垂直于支承面，指向不定。圖2-9 圓柱鉸鏈約束的類型4固定端約束物體的一部分固嵌于另一物體所構成的約束稱為固定端約束。如圖2-10（a）所示的固定于車床刀架上的刀具、圖2-10（b）所示的卡盤上的工件等都屬于這種約束。固定端約束的構件可以用一端插入剛體內的懸臂梁來表示，這種約束限制物體沿任何方向的移動和轉動，其約束作用包括限制移動的兩個正交約束反力和限制轉動的約束反力偶，如圖2-11所示。力偶的概念在2.3節(jié)介紹。 圖2-10 固定端約束的例子 圖2-11 固定端約束反力2.2.2 受力分析與受力圖解決力學問題時，首先要選定需要進行研究的物體，即確定研究對象；然后考察分析它的受力情況，這個過程稱為受力分析。為了清晰和便于計算，將研究對象的約束全部解除，并把它從周圍的物體中分離出來，畫出其簡圖，這種被解除了約束的物體稱為分離體；在分離體上畫上物體所受的全部主動力和約束力，所得到的圖形稱為分離體的受力圖。受力圖形象地表達了被研究對象的受力情況。恰當?shù)剡x取研究對象，正確地畫出受力圖，是解決力學問題的關鍵步驟。畫受力圖的步驟如下。（1）確定研究對象，取分離體：根據(jù)問題的已知條件和題意要求確定研究對象，畫出其簡單輪廓圖形。研究對象可以是一個物體、幾個物體的組合或整個物體系統(tǒng)。（2）畫主動力：在分離體上畫出該物體所受的全部主動力，如重力、風載、水壓力、油壓等。（3）畫約束反力：在解除約束的位置，根據(jù)約束類型及其特性畫出約束反力，要注意二力桿約束反力的方向確定。物體間的相互約束力要符合作用和反作用公理。例2-1 如圖2-12（a）所示，鍋爐汽包的重力為G，安置在焊接轉輪上，試畫出汽包的受力圖。解：取汽包為研究對象，單獨畫出其簡圖。畫出主動力：汽包的重力G，方向豎直向下。畫約束反力：轉輪可看作汽包的光滑面約束，約束反力NA、NB沿接觸中心的公法線方向，均指向O點，如圖2-12（b）所示。圖2-12 鍋爐汽包受力圖例2-2 如圖2-13（a）所示，設墻面和地面是光滑的，桿AB重為G，由水平繩索ED拉住，試畫AB的受力圖。解：取桿AB為研究對象，單獨畫出其簡圖。畫主動力：AB的重力G，方向豎直向下。畫約束反力：墻面和地面可看作是光滑面約束，約束反力NA、NB沿接觸點的公法線方向，分別過A、B兩點，指向研究對象；ED是柔性約束，約束反力TD沿繩索中心線方向，背離研究對象。AB桿受力圖如圖2-13（b）所示。圖2-13 AB桿受力圖例2-3 如圖2-14（a）所示，A、B、C三處均為鉸鏈，鉸鏈B受F力作用，試畫AB桿、BC桿、鉸鏈B的受力圖。解：（1）AB桿，畫出其簡圖（鉸鏈A、B以小圓圈畫出）。由于AB構件是二力桿（兩端是鉸鏈，中間不受力），RA、RAB的方向是確定的，沿AB連線方向，按受拉（假定）確定指向。如圖2-14（b）所示為AB受力圖。（2）BC桿，同理畫出其受力圖，如圖2-14（b）所示。圖2-14 AB桿、BC桿、鉸鏈B的受力圖（3）鉸鏈B，畫出其簡圖（鉸鏈B以小圓圈畫出）。主動力為F。約束反力有兩個，即和（分別與RAB和RBC是作用力和反作用力）。如圖2-14（b）所示。例2-4 如圖2-15（a）所示，曲柄滑塊機構處于平衡狀態(tài)，A、B、C處均為鉸鏈，滑塊C放在光滑的滑道中，試畫曲柄AB、滑塊C的受力圖。解：（1）對AB，畫出其簡圖（鉸鏈A、B以小圓圈畫出）。先畫上主動力P，再畫約束反力，A處為固定鉸鏈約束，約束反力方向不定，畫兩個相互垂直的分力RAx、RAy（假定沿x、y軸的正方向）。由于BC構件是二力桿，RBC方向是確定的，沿B、C連線方向，指向如圖2-15（b）所示。（2）對滑塊C，畫出其簡圖（鉸鏈C以小圓圈畫出）。先畫上主動力F，再畫約束反力，方向是確定的（RBC和雖不是作用力和反作用力，但也有等值、反向、共線的特點，分別作用在兩個物體上，故也用加撇的方法來表示）；滑道對滑塊C形成光滑面約束，約束反力N垂直向上，如圖2-15（b）所示。圖2-15 曲柄滑塊機構中曲柄及滑塊受力圖2.3 平 面 力 系平面力系是指各力作用線處在同一平面內的力系。若力系中各力作用線在同一平面內，且匯交于一點，稱為平面匯交力系；若各力作用線在同一平面內相互平行，稱為平面平行力系；若在同一平面內作用著若干力偶，稱為平面力偶系；若各力共面但不匯交于一點，也不互相平行，則稱為平面任意力系。2.3.1 力在坐標軸上的投影、力對點之矩和力偶1力在直角坐標軸上的投影如圖2-16所示，設在直角坐標系oxy中，a為力矢量F與x軸的夾角（取銳角）。由F力的兩端點分別作x軸、y軸的垂線，得兩垂足之間的線段ab、ab，兩線段再冠以相應的正負號，分別稱為力F在x軸和y軸上的投影，分別用Fx、Fy表示。力在坐標軸上的投影是個代數(shù)量，其正負號規(guī)定是由力矢量起點垂足到終點垂足的方向與坐標軸的正方向一致時為正，反之為負。圖2-16 力在直角坐標軸上的投影力的投影與力的大小和方向有關，由圖2-16可知：（2-2）若已知力在坐標軸上的投影，也可求出力的大小和方向。（2-3）力F的指向由Fx與Fy的正負號確定。2力對點之矩人用扳手擰螺母，會感到加在扳手上的力越大，或者力的作用線離轉動中心越遠，就越容易轉動螺母，如圖2-17所示。圖2-17 力對點之矩力F使剛體繞某點O轉動的效應，不僅與力F的大小成正比，而且與O點到力作用線的垂直距離d成正比。乘積Fd加上正負號，稱為力F對O點的矩，簡稱力矩。規(guī)定力使剛體繞矩心逆時針方向轉動，力矩為正；反之為負。Mo(F)=Fd（2-4）圖2-17中O點稱為力矩中心，簡稱矩心；矩心O到力F作用線的垂直距離d稱為力臂。必須注意：力矩與矩心有關。在計算力矩時，若力臂不易求出，常用合力矩定理計算力矩。合力矩定理：由于合力與相應的力系等效，所以，合力對平面內任一點的矩等于力系中各分力對同一點力矩的代數(shù)和，這就是合力矩定理。用公式表示為Mo(R)=Mo(F1)+Mo(F2)+Mo(Fn)=Mo(F)（2-5）當力矩的力臂不易求出時，常應用該定理將一個力分解為兩個力臂容易確定的分力（通常是正交分解），然后用兩分力對點之矩的代數(shù)和表示這一個力對該點的矩。在國際單位制中，力矩的單位為牛頓米（Nm）。例2-5 如圖2-18所示，求力F對O點的矩。解：將力F分解為兩個互垂分力F1和F2，如圖2-18所示，由合力矩定理得F1b+F2a3力偶、力偶矩和平面力偶系作用在同一個物體上的兩個力，如果大小相等、方向相反、作用線互相平行但不重合，則把這樣的兩個力作為一個整體，稱為力偶。力偶對物體產(chǎn)生的是純轉動效應。例如用雙手轉動汽車方向盤，用手指旋開水龍頭等，均是常見的力偶實例。力偶中兩力作用線所決定的平面稱為力偶作用面，兩力作用線之間的距離d稱為力偶臂，如圖2-19所示。 圖2-18 力F對O點的矩 圖2-19 力偶實踐證明，力偶對物體的作用效果，與力F的大小成正比，又與力偶臂d的長度成正比。在力學中，用F與d的乘積再冠以相應的正負號，作為力偶在其作用面內使物體產(chǎn)生轉動效應的度量，稱為力偶矩，記作m（F，F(xiàn)）或m。m(F，F(xiàn))=m=Fd（2-6）式中，“”表示力偶的轉向，規(guī)定逆時針轉動為正，反之為負。力偶矩的單位與力矩的單位相同。力偶是兩個具有特殊關系的力的組合，雖然力偶中的每個力仍具有一般力的性質，但在作為一個整體考慮它們對剛體的作用時，則出現(xiàn)了與單個力不同的性質，力偶具有如下特性。（1）力偶既沒有合力，本身又不平衡，是一個基本的力學量。（2）力偶對于作用面內任一點之矩與矩心位置無關，恒等于力偶矩，因此，力偶對物體的轉動效應用力偶矩度量，在平面問題中它是個代數(shù)量。在圖2-19中，在力偶（F，F(xiàn)）的作用面內任取O點為矩心，設O點與F的距離為x，則力偶對O點的矩為此結果表明，力偶對物體的轉動效應只與力偶矩的大小和轉向有關，與矩心位置無關。（3）作用在同一平面內的兩個力偶，若其力偶矩大小相等，轉向相同，則這兩個力偶等效。由上述力偶的性質可知，只要保持力偶矩的大小和轉向不變，平面力偶可以在其作用面內任意移動，且可以同時改變力偶中力的大小和力偶臂的長短，而不改變其作用效應。力偶可以用帶箭頭的弧線表示，如圖2-20所示。圖2-20 平面力偶的等效處理作用在剛體同一平面的若干個力偶稱為平面力偶系。利用平面力偶的等效條件，可將平面力偶系中各力偶用一個等效力偶來代替，這個力偶就是平面力偶系的合力偶。顯然，合力偶的力偶矩等于力偶系中各分力偶矩的代數(shù)和，即M=m1+m2+mn=m（2-7）式中，M為合力偶的力偶矩，簡稱合力偶矩。若物體在平面力偶系的作用下處于平衡狀態(tài)，則合力偶矩必為零。因此，平面力偶系的平衡條件是各力偶矩的代數(shù)和等于零，即m=02.3.2 平面匯交力系的合成與平衡平面匯交力系是工程中常見的一種比較簡單的力系。1平面匯交力系的合成平面匯交力系的合成方法有幾何法和解析法兩種。（1）平面匯交力系合成的幾何法：如圖2-21（a）所示的某物體上，作用著一個平面匯交力系F1、F2、F3，欲求它們的合力，只需連續(xù)運用三角形法則。如圖2-21（b）所示，先將力F1與F2合成，得到R12，然后再將R12與F3合成，得合力R，R就是力系F1、F2、F3的合力。由圖2-21（b）可知，中間矢量R12不必作出，只需將已知力矢沿環(huán)繞多邊形邊界的同一方向首尾相接構成折線，而合力矢R則沿多邊形相反方向連接折線的缺口，這樣只需作出分力矢與合力矢構成的力多邊形就可求出合力。這種用力多邊形求合力的方法稱為力多邊形法，即幾何法。圖2-21 平面匯交力系合成的幾何法上述作圖求合力的方法可推廣到由n個力組成的平面匯交力系，并得出結論：平面匯交力系的合力等于力系中各分力的矢量和，合力的作用線通過匯交點。用矢量式表示：R=F1+F2+Fn=F（2-8）（2）平面匯交力系合成的解析法：設有一平面匯交力系F1、F2、F3匯交于A點，如圖2-22（a）所示，為求該力系合力的投影，先畫力多邊形求出合力R，如圖2-22（b）所示。圖2-22 平面匯交力系合成的解析法在力多邊形所在平面內取直角坐標系xoy，將力系的合力R及各分力F1、F2、F3分別向x、y軸投影，得Rx、Ry、F1x、F2x、F3x、F1y、F2y、F3y。Rx=ad，F(xiàn)1x=ab，F(xiàn)2x=bc，F(xiàn)3x=cd，由圖2-22（b）可知 ad=ab+bc+(cd)，即Rx=F1x+F2x+F3x=Fx同理Ry=F1y+F2y+F3y=Fy（2-9）即合力在某一軸上的投影，等于力系中各分力在同一軸上投影的代數(shù)和，這就是合力投影定理。根據(jù)合力投影定理，分別求出各力在x軸和y軸上投影的代數(shù)和Rx、Ry，然后參照公式（2-3）即可求出合力的大小和方向，如圖2-22（c）所示。即：（2-10）合力指向由Fx和Fy的正負號確定。2平面匯交力系的平衡平面匯交力系的平衡條件是合力等于零。（1）平面匯交力系平衡的幾何條件平面匯交力系平衡的幾何條件是力系中各力構成的力多邊形自行封閉。即用幾何法求平面匯交力系合力時，第一個力矢和最后一個力矢首尾相接，力多邊形自行封閉，無缺口，力系合力為零。即R=F=0（2）平面匯交力系平衡的解析條件由求平面匯交力系合力的解析法可知，當合力為零時，則有：即（2-11）上式稱為平面匯交力系的平衡方程。該平衡方程說明，平面匯交力系平衡的解析條件是力系中各分力在兩個坐標軸上投影的代數(shù)和都等于零。一個剛體受平面匯交力系作用而平衡時，最多可求解兩個未知量，通常未知量就是約束反力的大小和方向。反力指向不好確定時，可先假設。根據(jù)平衡方程計算結果為正，則表示所假設指向是正確的；若結果為負，則表示力的指向與假設的指向相反。例2-6 如圖2-23（a）所示，簡易起重機由AB桿、BC桿、滑輪B及絞車D組成，A、B、C三處均為鉸鏈。已知重物重力G=20kN，不計桿件自重，忽略摩擦和滑輪的大小自重，試求平衡時AB桿和BC桿所受的力。解：取滑輪B為研究對象，畫其受力圖如圖2-23（b）所示。作用在滑輪B上的力有重力G、鋼索BD的拉力T（T=G），以及二力桿AB、BC的約束反力RAB、RBC。這些力構成一個平面匯交力系。為了求解方便，選圖示坐標軸。圖2-23 簡易起重機由 即 又 T=G=20kN解得 負號說明該力的實際指向與圖示方向相反，即兩桿實際受壓。2.3.3 平面任意力系的簡化與平衡1力的平移定理力的平移定理探討的是把作用在剛體上的一個力，從其原位置平行移動到該剛體上的另一位置，且要保持作用效果不變。如圖2-24所示，設力F作用在剛體的A點，根據(jù)加減平衡力系公理，在任一點B加一對平衡力F和F，且使F=F=F，由于F和F兩力構成一個力偶，其力偶矩恰好等于原力F對B點的矩，即。圖2-24 力的平移定理又F=F，所以，力F即平移到了B點，但附加了一個由力F和F組成的力偶。由此得到力的平移定理：作用于剛體上的力，均可從原來的位置平行移到剛體內任一指定點；欲不改變力對剛體的作用，則必須附加一個力偶，附加力偶的力偶矩等于原力對指定點的力矩。2平面任意力系的簡化平面任意力系向平面內任一點的簡化，就是找到一個最簡單的力系來等效代替已知的平面任意力系。下面通過一個例子，說明平面任意力系簡化的一般步驟。圖2-25（a）所示為一平面任意力系F1、F2、F3，在該力系作用面內任選一點O作為簡化中心。首先，應用力的平移定理，將各個力都平移到O點，這樣在簡化中心處得到一個平面匯交力系和一個附加的平面力偶系m1、m2、m3，如圖2-25（b）所示，且m1=MO(F1)，m2=MO(F2)，m3=MO(F3)。然后將平面匯交力系合成得一個合力，稱為原力系的主矢，以RO表示，如圖2-25（c）所示?？梢奟O的大小與方向和簡化中心的位置無關，即RO=F1+F2+F3=F；將附加的平面力偶系簡化得一個合力偶，稱為原力系的主矩，以MO表示，如圖2-25（c）所示。主矩MO的大小等于原力系中各力對簡化中心之矩的代數(shù)和，即MO=m1+m2+m3=m=MO(F)。圖2-25 平面任意力系的簡化顯然，主矩MO隨簡化中心位置的不同而變化；但是，當主矢RO等于零時，主矩將與簡化中心無關。3平面任意力系的平衡條件當物體在平面任意力系作用下處于平衡狀態(tài)時，即力系既不會使物體移動，也不會使物體轉動時，則主矢RO和主矩MO必須都等于零，即有：MO=MO(F)=0相當于（2-12）該式就是平面任意力系的平衡條件，也稱為平衡方程。如果作用于物體的是平面平行力系（即平面力系中各力的作用線互相平行），可選取一個坐標軸與各力垂直。假如令x軸與各力垂直，則Fx=0為恒等式，只剩下Fy=0和兩個平衡方程式，即（2-13）對于平面匯交力系，若取各力的匯交點為簡化中心，則MO(F)=0為恒等式，故平面匯交力系的平衡方程只有Fx=0和Fy=0兩式，即（2-14）對于平面力偶系，不可能合成一個力，故Fx=0和Fy=0兩式均為恒等式，則只剩下一個平衡方程MO(F)=0，即m=0（2-15）例2-7 簡易懸臂吊車示意圖如圖2-26（a）所示，已知橫梁AB長6m，自重W=4kN，拉桿BC傾斜角a=30，電動葫蘆連同重物共重G=10kN，求圖示位置時拉桿BC所受力及鉸鏈A的約束反力。圖2-26 簡易懸臂吊車解：（1）選AB為研究對象，畫AB的受力圖，如圖2-26（b）所示，并選xoy投影軸。（2）列平衡方程由 即解得 例2-8 電線桿如圖2-27（a）所示，A端埋在地下，B端受導線拉力F1=15kN，它與水平線的夾角a=5，在C點受鋼索拉力F2=18kN，與垂線的夾角b=45。求電線桿A端所受的約束反力（廣義）。解：（1）選電線桿為研究對象，畫電線桿的受力圖，如圖2-27（b）所示，并選xy投影軸。A端為固定端約束，其約束反力由Rx、Ry、MA三個量構成。圖2-27 電線桿（2）列平衡方程由 即 解得例2-9 圖2-28（a）所示簡支梁，已知梁AB所受已知力q=1.5kN/m（稱為均布載荷），W=100kN，梁的跨度L=12m，a=3m。求A、B兩支座處的約束反力。圖2-28 簡支梁解：（1）選AB為研究對象，畫AB的受力圖，如圖2-28（b）所示。由于全部主動力為橫向外力，由此可知固定鉸鏈A只有豎直方向反力RA，而活動鉸鏈B約束反力NB方向也是垂直的，故此力系為平面平行力系，只有兩個獨立的平衡方程。（2）列平衡方程。均布載荷相當于一組均勻分布的小平行力。由力的簡化原理，可知均布載荷與作用于其分布長度中點的一個力等效，其大小等于載荷集度乘以分布長度，方向與均布載荷方向相同，均布載荷的投影和力矩的計算可按此力進行，但在受力圖上一般不畫此力，仍按均布載荷的原樣畫出。由 解得 RA=34kNNB=84kN例2-10 曲柄滑塊機構如圖2-29（a）所示。設曲柄OB在水平位置時機構平衡，滑塊所受工作阻力為F。已知AB=L，OB=r，不計滑塊和桿件自重。試求作用于曲柄上的力偶矩M和支座O處的約束反力。解：這是一個由若干個物體以一定的約束方式組合的物系。在求解這類平衡問題時，既可選擇整個物系為研究對象，也可選擇某一局部的幾個物體或單個物體為研究對象，作用于研究對象上的力系都滿足平衡方程，所有未知力也均可以通過平衡方程求得。對于本例題中的這類運動機構，可按照力的傳遞順序，依次取研究對象。本題中，連桿AB為二力桿，可先取滑塊A為研究對象，求出連桿AB的約束反力后，再取曲柄OB為研究對象。（1）首先取滑塊A為研究對象，畫受力圖，如2-29（b）所示?；瑝K受平面匯交力系作用，由平衡方程： 解得 圖2-29 曲柄滑塊機構（2）以曲柄OB為研究對象，畫受力圖，如2-29（c）所示。曲柄受平面任意力系作用，列平衡方程： ， ， ， 其中 ， ， 解得 ， 2.4 考慮摩擦的平衡問題及螺紋受力分析摩擦是一種普遍存在的現(xiàn)象。在一些問題中，摩擦在對物體的受力情況影響很小時，為了計算方便忽略不計。但在工程中有些摩擦問題是不能忽略的。2.4.1 滑動摩擦的基本知識互相接觸的兩個物體，當它們沿接觸表面發(fā)生相對滑動或有相對滑動趨勢時，在接觸處就會產(chǎn)生阻礙彼此滑動的作用力，這種現(xiàn)象稱為滑動摩擦，這種作用力稱為滑動摩擦力，簡稱摩擦力。當兩物體未發(fā)生滑動（僅有滑動趨勢）時，兩物體間的摩擦力稱為靜摩擦力；當兩物體已經(jīng)相對滑動時，兩物體間的摩擦力稱為動摩擦力。如圖2-30（a）所示，放在粗糙地面上的物體在水平推力P和重力G的作用下處于平衡狀態(tài)，物體的受力圖如圖2-30（b）所示，粗糙地面對物體的作用用兩個力來表示，一個是與光滑面約束反力類似的法向反力N，另一個是與物體相對滑動趨勢方向相反的切向反力Ff，F(xiàn)f為靜摩擦力。圖2-30 滑動摩擦由經(jīng)驗可知，當推力不大時，物體處于平衡狀態(tài)，由平衡條件，可得F=P（靜摩擦力可由平衡條件求得）；若推力逐漸增大，靜摩擦力Ff也逐漸增大，當推力增至某一定值時，物體處于將要滑動而未滑動的狀態(tài)，稱為平衡的臨界狀態(tài)，此時靜摩擦力Ff達到最大值Ffm，稱為最大靜摩擦力?？梢姡o摩擦力有一個確定的范圍，即0FfFfm大量實驗證明：最大靜摩擦力的大小與法向反力成正比，即Ffm=fsN（2-16）這就是靜滑動摩擦定律。比例常數(shù)fs稱為靜摩擦系數(shù)，與材料等因素有關，其數(shù)值可通過實驗測定。實驗還證明，物體發(fā)生相對滑動時的摩擦力，即動摩擦力，比最大靜摩擦力略小。在一般的工程計算中，可近似的認為動摩擦力等于最大靜摩擦力。2.4.2 摩擦角與自鎖現(xiàn)象如圖2-31（a）所示，一重為G的物體置于平面上，受到重力G與法向約束反力N（正壓力）作用而平衡，無滑動趨勢。此時，摩擦力為零。如圖2-31（b）所示，當在物體上加一水平推力P時，物體與水平面間有相對運動的趨勢，便產(chǎn)生摩擦，摩擦力的大小隨物體狀態(tài)而變化。此時物體受到接觸面的總約束反力為法向約束反力N與切向約束反力（摩擦力）Ff的合力，稱為全約束反力，用字母Rf表示。當物體處于臨界狀態(tài)時，摩擦力達到最大值為Ffm，全約束反力達到最大值Rfm=N+Ffm此時全約束反力Rfm與接觸面公法線間的夾角稱為摩擦角，用jf表示，如圖2-31（c）所示，而（2-17）式（2-17）說明，摩擦角也是表示材料摩擦性質的物理量，它表示全約束力Rf能夠偏離接觸面法線方向的范圍。若物體與支承面的摩擦系數(shù)在各個方向相同，則這個范圍在空間就形成一個錐體，稱為摩擦錐，如圖2-31（d）所示。物體靜止（即平衡）時，全約束力Rf的作用線不會超出摩擦錐的范圍。將重力G與水平推力P合成為主動力F，主動力F與接觸面公法線間的夾角為a。由圖2-31（c）、2-31（d）可見，主動力F的值無論怎樣增大，只要ajf，即F的作用線在摩擦錐范圍內，約束面必產(chǎn)生一個與之相平衡的等值、反向、共線的全約束力Rf，而全約束力Rf的切向分量靜滑動摩擦力永遠小于或等于最大靜摩擦力Ffm，物體處于靜止狀態(tài)。這種現(xiàn)象稱為自鎖。圖2-31 摩擦角與自鎖故物體的自鎖條件為：（2-18）自鎖被廣泛應用于工程上，如為了保證螺旋千斤頂在被升起的重物重力G作用下不會自動下降，則千斤頂?shù)穆菪莂必須小于摩擦角jf；自卸貨車的車斗能升起的仰角必須大于摩擦角jf，卸貨時才能處于非自鎖狀態(tài)。2.4.3 考慮摩擦時物體的平衡問題考慮摩擦時物體的平衡問題，其分析方法與不考慮摩擦時基本相同。所不同的是：畫受力圖時，要考慮物體接觸面上的摩擦力；在列出物體的力系平衡方程后，應再附加上摩擦力的求解條件作為補充方程，而且由于靜摩擦力有一個變化范圍，故問題的解答也是一個范圍值，稱為平衡范圍。例2-11 一重量為G的物體放在傾角為a的斜面上，如圖2-32（a）所示。若摩擦系數(shù)為fs，摩擦角為jf（ajf）。試分別求物體沿斜面勻速下滑和勻速上滑時水平推力P的大小。圖2-32 求物體勻速下滑和勻速上滑時水平推力P解：（1）求物體沿斜面勻速下滑時所需的水平推力P。受力圖如圖2-32（b）所示，列平衡方程：， ， 列補充方程：解得（2）求物體沿斜面勻速上滑時所需的水平推力P。物體的受力情況如圖2-32（c）所示，列平衡方程： ， ， 列補充方程： 解得 例2-12 圖2-33（a）所示為一凸輪機構，在推桿上端C點有載荷F作用。凸輪上受主動力偶矩M作用。設推桿與滑道間的靜摩擦系數(shù)為fs；凸輪與推桿間有良好的潤滑，摩擦不計，尺寸a，d為已知，推桿橫截面尺寸不計。試寫出使推桿在圖示位置不被卡住的滑道寬度b的計算式。解：設在圖示位置凸輪機構處于向上推動時平衡的臨界狀態(tài)。此時，推桿只有A、B兩點與滑道接觸，且受到最大靜摩擦力Ffm作用。分別取推桿和凸輪為研究對象，畫受力圖，如圖2-33（b）所示。圖2-33 凸輪機構滑道寬度b的計算由凸輪的受力圖列平衡方程：，MRd=0解得 R=由推桿的受力圖列平衡方程：， ， ， 列補充方程： 解得 結果說明，該機構不發(fā)生自鎖的條件為2.4.4 螺紋副的受力分析、自鎖和機械效應1螺紋副的受力分析及自鎖當組成螺紋副的兩個構件作相對運動時，如果兩者的螺紋間受到載荷，則在其螺紋接觸面間將產(chǎn)生摩擦力。將矩形螺紋沿中徑d2展開可得一斜面，如圖2-34所示，1為螺桿，2為螺母，l為螺紋升角，Q為軸向載荷，fs為摩擦系數(shù)，jf為摩擦角。如果在螺母上加一力矩M使螺母逆著Q力的方向勻速向上運動（對螺紋連接，相當于擰緊螺母），即相當于在滑快2上加一水平推力P，使其沿斜面勻速向上滑動。根據(jù)例2-11的分析可知：（2-19）圖2-34 螺紋副的受力分析及自鎖P相當于擰緊螺母時必須在螺紋中徑d2處施加的圓周力，其對螺紋軸心線之矩即為擰緊螺母時所需的力矩，故：（2-20）當螺母順著Q力的方向勻速向下運動時（對螺紋連接，相當于放松螺母），即相當于滑塊2沿著斜面勻速下滑。由例2-11的分析可知：維持滑塊勻速下滑的圓周力為（2-21）則支持力矩為（2-22）當斜面傾角大于摩擦角jf時，滑塊在重力作用下有向下加速滑動的趨勢。M為正值，是一阻抗力矩。當斜面傾角小于摩擦角jf時，M為負值。其方向與螺母運動方向相同，此時，M為放松螺母所需施加的驅動力矩。由此說明，當ljf時，螺母不能在重力作用下自行松動，即處于自鎖狀態(tài)，欲使螺母放松必須施加驅動力矩。2螺紋副的機械效率機器在工作時，由于摩擦阻力的存在，必然要消耗一部分功率，使得輸出功率小于輸入功率，我們把輸出的有用功率與輸入功率之比稱為機械效率，用h表示，算式如下：（2-23）機械效率也可以用力的比值形式和力矩比值形式表達為：（2-24）式（2-24）可用來計算機構的機械效率。機械效率h總是小于1。在圖2-34所示螺旋機構中，當擰緊螺母時，螺母逆著載荷Q向上運動，由式（2-20）可知，當考慮摩擦時需要的實際驅動力矩為：；設機構中沒有摩擦，則，理想驅動力矩為：。則向上擰緊螺母時的機械效率為：（2-25）當放松螺母時，公式（2-22）為實際支持阻力矩為：；設機構中不存在摩擦，則理想支持阻力矩為：。則放松螺母時的機械效率為：（2-26）根據(jù)效率公式，升角越小，螺紋效率越低。2.5 空間力系簡介力的作用線不在同一平面內的力系稱為空間力系。本節(jié)主要介紹力在空間直角坐標軸上的投影與空間力系的平衡方程及應用。2.5.1 力在空間直角坐標軸上的投影為了分析空間力對物體的作用，有時需要將力向空間直角坐標軸投影得出力沿空間直角坐標軸的三個分力。例如在分析作用于斜齒輪上的力Fn對齒輪軸的作用時，就需要將該力分解為沿齒輪的圓周方向、徑向和軸向三個分力Ft、Fr和Fa，如圖2-35所示。圖2-35 斜齒輪上的力下面討論求一個力在空間直角坐標軸上三個投影的方法。已知作用在物體上的力F，過其作用點建立空間直角坐標系如圖2-36所示，力F與z軸的夾角為，力F與z軸所決定的平面與x軸的夾角為j。求力F在x、y和z軸上的投影。圖2-36 力F的投影先將力F投影到z軸和xoy平面內得Fz和Fxy，再將Fxy投影到x軸和y軸得Fx和Fy，則Fx、Fy和Fz就是力F在空間直角坐標軸上的三個投影。其大小即 （2-27）例2-13 在圖2-35中，若Fn=1410N，齒輪壓力角a=20，螺旋角b=25，求軸向力Fa、圓周力Ft和徑向力Fr的大小。解：過力Fn的作用點O取空間直角坐標系，使齒輪的軸向、圓周的切線方向和徑向分別為x、y和z軸。由式（2-27）可得：圖2-37 力對軸之矩2.5.2 力對軸之矩力使剛體繞某一軸轉動效應的度量稱為力對軸之矩。它等于力在與軸垂直的平面上的投影（是個矢量）對軸與平面交點之矩，記作Mz(F)，下標z表示取矩的軸，其單位為Nm或kNm。如圖2-37所示：Mz(F)=Mz(Fxy)=MO(Fxy)=Fxyd力對軸之矩為代數(shù)量，正負號用右手螺旋法則判定，如圖2-38所示：用右手握住軸，四指繞向與物體轉動方向一致，伸開拇指，若拇指指向與軸的正向一致為正，反之為負。注意：力與軸共面時，力對軸之矩為零。圖2-38 右手螺旋法則判定力矩正負2.5.3 空間任意力系的平衡方程及應用與平面任意力系相同，可依據(jù)力的平移定理，將空間任意力系簡化，找到與其等效的主矢和主矩，當二者同時為零時力系平衡。此時所對應的平衡條件應為（2-28）上式表明空間任意力系平衡的必要且充分條件是：各力在三個坐標軸上投影的代數(shù)和以及各力對空間三個直角坐標軸之矩的代數(shù)和都等于零。式中，前三個方程表示剛體不能沿空間三個坐標軸移動（即無任何移動）；后三個方程表示剛體不能繞三個軸坐標軸轉動（即無任何轉動）。共有六個獨立的平衡方程，最多可解六個未知量。為避免求解聯(lián)立方程，可靈活選取投影軸的方向和矩軸的位置，盡可能使一個方程只含一個未知量，以使解題過程簡化。計算空間力系的平衡問題時，常將力系向三個坐標平面投影，通過三個平面力系來進行計算，即把空間力系轉化為平面力系的形式來處理。此法稱為空間力系問題的平面解法，特別適合解決軸類零件的空間受力平衡問題。一般來說，軸是用軸承支撐的，軸承就成了軸的約束。對于向心軸承，軸承約束反力為兩個正交的徑向反力；對于向心推力軸承，軸承約束反力應包括兩個正交的徑向反力和一個軸向反力。例2-14 一車床的主軸如圖2-39（a）所示，齒輪C直徑為200mm，卡盤D夾住一直徑為100mm的工件，A為向心推力軸承，B為向心軸承。切削時工件勻速轉動，車刀給工件切削力Fx=466N，F(xiàn)y=352N，F(xiàn)z=1400N，齒輪C在嚙合處受力為F，作用在齒輪的最