高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第六章第2課時(shí) 均值不等式課件 新人教版.ppt

第2課時(shí)均值不等式 第六章不等式與推理證明 基礎(chǔ)梳理 a b 2 算術(shù)平均值與幾何平均值設(shè)a 0 b 0 則a b的算術(shù)平均值為 幾何平均值為 基本不等式可敘述為 兩個(gè)正實(shí)數(shù)的算術(shù)平均值 它的幾何平均值 大于或等于 3 利用均值定理求最大 最小值 1 兩個(gè)正數(shù)的積為 時(shí) 它們的和有 2 兩個(gè)正數(shù)的和為 時(shí) 它們的積有 簡(jiǎn)記為 和定積最大 積定和最小 常數(shù) 最小值 常數(shù) 最大值 2ab 2 思考探究上述四個(gè)不等式等號(hào)成立的條件是什么 提示 滿足a b 課前熱身 答案 a 答案 c 答案 2 5 長(zhǎng)為24cm的鐵絲做成長(zhǎng)方形模型 則模型的最大面積為 答案 36cm2 考點(diǎn)1利用均值不等式證明不等式利用均值不等式證明不等式 先觀察題目條件是否滿足均值不等式的應(yīng)用環(huán)境 若不滿足 則應(yīng)通過(guò)添項(xiàng) 拆項(xiàng) 配系數(shù)等方法 使其滿足應(yīng)用條件 再結(jié)合不等式的基本性質(zhì) 達(dá)到證明的目的 證明 a4 b4 c4 d4 4abcd 思路分析 利用a2 b2 2ab兩兩結(jié)合即可求證 但需兩次利用不等式 注意等號(hào)成立的條件 證明 a4 b4 c4 d4 2a2b2 2c2d2 2 a2b2 c2d2 2 2abcd 4abcd 故原不等式得證 等號(hào)成立的條件是a2 b2 且c2 d2 ab cd 名師點(diǎn)評(píng) 證明不等式時(shí)要注意靈活變形 多次利用均值不等式時(shí) 注意每次等號(hào)是否都成立 同時(shí)也要注意應(yīng)用均值不等式的變形形式 考點(diǎn)2利用均值不等式求最值利用均值不等式求最值時(shí) 要注意其必須滿足的三個(gè)條件 一正二定三相等 一正 就是各項(xiàng)必須為正數(shù) 二定 就是要求和的最小值 必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值 要求積的最大值 則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值 三相等 是利用基本定理求最值時(shí) 必須驗(yàn)證等號(hào)成立這一條件 若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值 這是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方 所以在不等式連續(xù)放縮的時(shí)候 要時(shí)刻注意是否在同一條件下進(jìn)行放縮 放縮時(shí)還要注意有目的性 同向性 不要出現(xiàn)放縮后不能比較大小的情況 互動(dòng)探究 考點(diǎn)3均值不等式的實(shí)際應(yīng)用解實(shí)際應(yīng)用題要注意以下幾點(diǎn) 1 設(shè)變量時(shí)一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù) 2 根據(jù)實(shí)際問(wèn)題抽象出函數(shù)的解析式后 只需利用均值不等式求得函數(shù)的最值 3 在求函數(shù)的最值時(shí) 一定要在定義域 使實(shí)際問(wèn)題有意義的自變量的取值范圍 內(nèi)求解 某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為162平方米的三級(jí)污水處理池 池的深度一定 平面圖如圖所示 如果池四周圍墻建造單價(jià)為400元 米 中間兩道隔墻建造單價(jià)為248元 米 池底建造單價(jià)為80元 平方米 水池所有墻的厚度忽略不計(jì) 1 試設(shè)計(jì)污水處理池的長(zhǎng)和寬 使總造價(jià)最低 并求出最低總造價(jià) 2 若由于地形限制 該池的長(zhǎng)和寬都不能超過(guò)16米 試設(shè)計(jì)污水池的長(zhǎng)和寬 使總造價(jià)最低 并求出最低總造價(jià) 方法小結(jié) 1 解應(yīng)用題時(shí) 一定要注意變量的實(shí)際意義 即其取值范圍 這對(duì)最優(yōu)化問(wèn)題起著關(guān)鍵作用 2 在求函數(shù)的最值時(shí) 除應(yīng)用均值不等式外 有時(shí)會(huì)出現(xiàn)均值不等式取不到等號(hào)的情形 此時(shí)要利用函數(shù)的單調(diào)性求解 方法技巧1 合理拆分項(xiàng)或配湊因式是常用的技巧 而拆與湊的目標(biāo)在于使等號(hào)成立 且每項(xiàng)為正值 必要時(shí)出現(xiàn)積為定值或和為定值 如例2 2 當(dāng)多次使用均值不等式時(shí) 一定要注意每次是否能保證等號(hào)成立 并且要注意取等號(hào)的條件的一致性 否則就會(huì)出錯(cuò) 因此在利用均值不等式處理問(wèn)題時(shí) 列出等號(hào)成立的條件不僅是解題的必要步驟 而且也是檢驗(yàn)轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法 失誤防范 命題預(yù)測(cè)通過(guò)對(duì)近幾年高考試題的統(tǒng)計(jì)和分析可以發(fā)現(xiàn) 本節(jié)主要考查利用均值不等式求函數(shù)的最值 若單純考查均值不等式 一般難度不大 通常出現(xiàn)在選擇題和填空題中 若考查均值不等式的變形 即通過(guò)對(duì)代數(shù)式進(jìn)行拆 添項(xiàng)或配湊因式 構(gòu)造出均值不等式的形式再進(jìn)行求解 難度就會(huì)提升 對(duì)均值不等式的考查 若以解答題的形式出現(xiàn)時(shí) 往往是作為工具使用 用來(lái)證明不等式或解決實(shí)際問(wèn)題 預(yù)測(cè)2013年高考仍將以求函數(shù)的最值為主要考點(diǎn) 重點(diǎn)考查學(xué)生的運(yùn)算能力和邏