函數(shù)的極限(一).doc

函數(shù)的極限（一） 首先要求同學(xué)們用自己的語言，將數(shù)列和函數(shù)的極限在自變量一定趨向下的極限定義，準(zhǔn)確地寫在自己的筆記本上，并畫出極限的幾何意義，結(jié)合做習(xí)題，仔細(xì)體會(huì)其中的幾套特殊數(shù)學(xué)語言的含義，在邏輯上弄清哪個(gè)在先，哪個(gè)在后，哪個(gè)是前提，哪個(gè)是結(jié)果。更重要的是，應(yīng)努力使自己理解極限的動(dòng)態(tài)過程，區(qū)別這樣的研究方式與中學(xué)所學(xué)習(xí)的內(nèi)容的研究方式究竟有什么不同，其本質(zhì)在哪里？ 第二，要把極限的性質(zhì)（以幾個(gè)定理形式出現(xiàn)），無窮大與無窮小，無窮小運(yùn)算法則，極限的運(yùn)算法則，和極限存在的兩個(gè)著名準(zhǔn)則等，逐步去理解，自己給自己多提些疑問。（說到這里，我還是感覺到大多數(shù)同學(xué)還不會(huì)提問，他只能按書上的話去劃線打杠杠，這實(shí)在令人失望。你沒有自己的語言嗎？不會(huì)用自己的語言把書上的內(nèi)容講出來，等于沒有學(xué)明白！） 總之，使自己能盡快適應(yīng)大學(xué)的學(xué)習(xí)內(nèi)容和學(xué)習(xí)方式，否則，你很快就會(huì)落后，從差不多同一個(gè)起跑線上拉下來。 這個(gè)材料，我想針對(duì)我的教學(xué)體會(huì)，通過例子的形式，講一些書上沒有的東西，講一些大家通常容易犯的毛病，重點(diǎn)在基本概念和方法。我想，通過近一個(gè)星期的教學(xué)活動(dòng)，大家對(duì)極限有了初步的認(rèn)識(shí)，這個(gè)材料正逢其時(shí)，講早了，不行，講晚了，也不行，因?yàn)楹竺娴膬?nèi)容還多著呢，大家來不及消化。 我還是先把數(shù)列極限的概念進(jìn)行再次消化。我提醒過大家：不要追求學(xué)習(xí)速度，把書看得飛快，只以會(huì)做書上的習(xí)題為衡量尺碼，不求深入理解，這樣的學(xué)習(xí)要不得。與其講速度，不如追求深度！ 好，請(qǐng)大家現(xiàn)在消化吧！一有關(guān)數(shù)列極限概念的一些問題例1.1 若不管是怎樣的正數(shù)，在A的鄰域內(nèi)總有數(shù)列的無窮多個(gè)項(xiàng)，那么能否講數(shù)列以A為極限？解：粗看似乎數(shù)列應(yīng)以A為極限，其實(shí)不然。按照數(shù)列極限的定義，是要求當(dāng)充分大后，所有的項(xiàng)都落在A的鄰域內(nèi)，幾何上是落在兩條平行線構(gòu)成的帶子內(nèi)?，F(xiàn)在題目說，在這個(gè)帶子內(nèi)有無窮多項(xiàng)。但是這里籠統(tǒng)地說無窮多項(xiàng)，并沒有一定包括了充分大以后的項(xiàng)，很可能有項(xiàng)序數(shù)小于的項(xiàng)，所以，還不能說以A為極限。例如下列數(shù)列： 可以看出，在2的鄰域內(nèi)（不管是怎樣的正數(shù)）總有數(shù)列的無窮多項(xiàng)，但是此數(shù)列不以A=2為極限，它在點(diǎn)O的鄰域內(nèi)總有其無窮個(gè)項(xiàng)，此數(shù)列是發(fā)散的（為什么？明白嗎？）。例1.2 若存在一個(gè)正數(shù)，在A的鄰域里只存在數(shù)列有限多個(gè)項(xiàng)，那么能否講數(shù)列不以A為極限？解：除了常數(shù)列外（包括當(dāng)充分大后數(shù)列為常數(shù)的情況），可以這樣講，因?yàn)椴还苋《啻?，總有?shù)列的項(xiàng)不在A的鄰域之內(nèi)，這樣，當(dāng)時(shí)，總有數(shù)列中的項(xiàng)，使得，所以，數(shù)列不以A為極限。例1.3 如果把極限定義中“對(duì)于任意給定的正數(shù)，總存在，.”的”任意“兩個(gè)子去掉，行嗎？解：NO! 肯定不行！我們看個(gè)實(shí)際例子，看看這樣做會(huì)出現(xiàn)什么后果。數(shù)列顯然是沒有極限的，但如果照題目所說，將“任意”去掉，那么就可把這個(gè)數(shù)列變成有極限了。請(qǐng)看：給定正數(shù)，則數(shù)列從第一項(xiàng)起，就有 。因此按此就得出該數(shù)列的極限為0。這當(dāng)然是荒謬的。原因是必須是任意的，在等數(shù)時(shí)滿足那個(gè)不等式，在等時(shí)也要滿足，這就是的任意性。所以定義中的“任意”兩字不可以去掉，它是數(shù)列無限接近A的保證。請(qǐng)大家自己再另外找?guī)讉€(gè)例子去試試。（學(xué)數(shù)學(xué)要學(xué)會(huì)從正反兩方面去比較，有時(shí)一個(gè)反面的例子遠(yuǎn)比照葫蘆畫瓢式的做習(xí)題管用，因?yàn)樗軉l(fā)你深入思考。你學(xué)會(huì)了嗎？）例1.4如果數(shù)列的極限已經(jīng)用定義加以證實(shí)，即已經(jīng)滿足“對(duì)于任意給定的正數(shù)，總存在，當(dāng)時(shí)，恒有”。問從第1項(xiàng)到第項(xiàng)，是否還需要驗(yàn)證？解：NO！不需要了。定義中并沒有對(duì)第項(xiàng)前的各項(xiàng)提出任何要求，也就是說，第項(xiàng)前的各項(xiàng)可以有，也可以不成立。我們關(guān)心的是第項(xiàng)之后的情況。例1.5 有人說，若以A為極限，那么它只能是大于A趨向A，或小于A趨向A，不能是忽然大于A，忽然小于A地趨向與A，更不能在趨向A的過程中有。你說他這樣理解對(duì)嗎？解：他這樣理解是片面的。事實(shí)上，在極限的定義中有，這里有絕對(duì)值，也就是可以忽然大于A，忽然小于A。在趨向A的過程中出現(xiàn)，也是容許的。例1.6 請(qǐng)舉出以A為極限的四種情況：（1）大于A趨向A；（2）小于A趨向A；（3）忽然大于A，忽然小于A地趨向與A；（4）在趨向A的過程中有的。對(duì)這個(gè)例子的回答就留給各位同學(xué)了。例1.7 證明 。有幾個(gè)證法如下，你認(rèn)為哪個(gè)對(duì)，哪個(gè)錯(cuò)？理由是什么？證法1：任意給出一個(gè)很小的正數(shù)，如。顯然對(duì)于時(shí)，恒有下列不等式成立 。所以，這就證明了。證法2：對(duì)于任意給定的正數(shù)，欲使成立，等價(jià)于使 成立。因?yàn)?，得到 。 故對(duì)于任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒有 成立，即。證法3：對(duì)于任意給定的正數(shù)，欲使成立，即有 注意到 ，因此只要，也即只要就行。故對(duì)于任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒有 成立，即。解：證法1顯然是錯(cuò)的，因?yàn)樗粚?duì)一個(gè)具體的正數(shù)找到了相應(yīng)的正數(shù)，并沒有證明對(duì)其他的任意正數(shù)，都存在相應(yīng)的正數(shù)。 證法2看起來似乎有道理，簡(jiǎn)化了計(jì)算，其實(shí)也不對(duì)。原因在于由下列不等式 直接跨過中間一項(xiàng)，得到 ，導(dǎo)出，就出毛病了。因?yàn)檫@樣的結(jié)果并不能保證 成立。證法2用縮小法確定，知識(shí)不對(duì)的。我們一般在求遇到困難時(shí)，用放大法，請(qǐng)見證法3，它用了放大法。 證法3是正確的，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，恒有不等式 （%）成立?？赡苡腥苏J(rèn)為證明3也不對(duì)，因?yàn)檎业降牟皇钦煤线m的一個(gè)，可能存在比這個(gè)小的也能使不等式（%）成立。我們說，即使存在這樣的，也不影響上述證法的正確性。極限定義只要求當(dāng)時(shí)，恒有成立，它并不考慮比小的是否滿足。換言之，定義并不要求找到一個(gè)正好合適的，對(duì)從此以后的自然數(shù)有。因此，若存在一個(gè)對(duì)應(yīng)于任給正數(shù)的，那么取比這個(gè)大的任何正數(shù)都可以作為。例1.8 有人看了例1.7的討論，認(rèn)為如果按證法3這樣來證明，就沒有一個(gè)準(zhǔn)確的標(biāo)準(zhǔn)了。他說，我可以證明 。他的證法如下：對(duì)于任給的正數(shù)，欲使 ，那么考慮到 ，因此只要 （&）成立就可以了。于是 就可以，取。你認(rèn)為他的證法對(duì)嗎？若不對(duì)（肯定不對(duì)，因?yàn)闃O限值錯(cuò)了），錯(cuò)在哪里？解：他的證法是錯(cuò)的。因?yàn)閷?duì)任意的正數(shù)，式（&）對(duì)于就不可能成立。在課堂上，我們嚴(yán)格地證明了極限存在的唯一性。如果證明了，那么不可能再證出另一個(gè)。如何將嚴(yán)格證明的結(jié)論運(yùn)用到實(shí)際問題中，這是數(shù)學(xué)能力的具體體現(xiàn)。請(qǐng)你先找出他的錯(cuò)誤，然后考慮唯一性定理如何體現(xiàn)在這個(gè)問題中。好嗎？例1.9 證明數(shù)列 ：，以1為極限，其中通項(xiàng)在小數(shù)點(diǎn)后有個(gè)9。證：不難知，數(shù)列的通項(xiàng)還可以寫為。對(duì)任給的正數(shù)，欲使成立，即有，因此只要 就行。故對(duì)于任給的正數(shù)，總存在，當(dāng)時(shí)，恒有。所以 。有人要證明這個(gè)數(shù)列的極限是1.0001。他的證法如下，你看錯(cuò)在何處？他的證明：任給，欲使 成立，即使 ，也即為。只要就行。 故對(duì)任給，總存在，當(dāng)時(shí)，恒有 ，即 。 注：我在課上曾多次要求大家自己做類似上述的練習(xí)。不知有多少人去自覺地做了？估計(jì)做的人不會(huì)多，因?yàn)槲抑宦牭街挥幸晃煌瑢W(xué)試過。我很泄氣，為什么推不動(dòng)大家呢？是我的啟發(fā)式教學(xué)不符合當(dāng)今的學(xué)習(xí)胃口嗎？我該怎樣引導(dǎo)與啟發(fā)才能使大家有所觸動(dòng)，有所行動(dòng)？例1.10 設(shè)數(shù)列以A為極限。在這個(gè)數(shù)列中任意增加或減少有限個(gè)項(xiàng)后所形成的新數(shù)列仍然以A為極限。分析：在證明之前，我們從直觀上看這個(gè)結(jié)論是明顯成立的。因?yàn)閿?shù)列是否以A為極限，主要是看當(dāng)充分大后，與A的距離是否可以任意地小。在數(shù)列中去掉或增加有限個(gè)項(xiàng)，只能改變數(shù)列前面（包括減少或增加后的項(xiàng)）有限項(xiàng)的規(guī)律，卻不會(huì)改變充分大后的規(guī)律，所以極限不變。證： 假設(shè)增加了項(xiàng)，并設(shè)這些增加了的個(gè)項(xiàng)在新數(shù)列中的下標(biāo)序號(hào)最大者為。因?yàn)橐阎?，即?duì)任給，總存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒有。那么對(duì)于新數(shù)列，只要時(shí)，就恒有，所以有。二函數(shù)的極限上面我們花了較大的篇幅討論了數(shù)列的極限的若干常見的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，這些討論也同樣適用于函數(shù)的極限，只是函數(shù)的極限要分幾種情況，并需要用有點(diǎn)區(qū)別的“語言”：數(shù)列極限用“”語言，要求出對(duì)應(yīng)于的“門檻”；函數(shù)極限分為6種情況。1）當(dāng)時(shí)函數(shù)：（）：對(duì)于任給，若總存在實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒有，則稱為在時(shí)的極限。這種情況與數(shù)列非常相似，區(qū)別僅在于數(shù)列的“自變量”是項(xiàng)序數(shù)，它是離散變化的；而函數(shù)的自變量則是連續(xù)變化的。相同之處都是設(shè)立“門檻”，由于自變量的不同，一個(gè)設(shè)的是正整數(shù)，而另一個(gè)設(shè)的是正數(shù)。所以函數(shù)在情況下的極限是數(shù)列極限最接近最自然的轉(zhuǎn)換。2）當(dāng)時(shí)函數(shù)：（）：對(duì)于任給，若總存在實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒有，則稱為在時(shí)的極限。3) 當(dāng)時(shí)函數(shù)：（）：對(duì)于任給，若總存在正數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒有，則稱為在時(shí)的極限。情況3）是情況1)和2)同時(shí)存在時(shí)的合并，即在自變量的兩種相反的趨向下，極限相同時(shí)的情況。不是所有分別有1）和2）的函數(shù)，一定滿足3）的情況。例如，。在時(shí)，；在時(shí)有。因此指數(shù)函數(shù)在時(shí)不存在極限。但是，在和時(shí)，極限都為0，故可記為。在上述3種情況下，任給，所要確定的仍然如數(shù)列極限時(shí)的“門檻”值，超過這個(gè)門檻后（，或取，則可合并為），恒有。上述語言記為“”語言。你熟悉它了嗎？記住這些定義的方式，是畫出他們的幾何表示，即畫圖。請(qǐng)把你對(duì)上述定義的理解畫出來。4）當(dāng)?shù)内呄蛳?，要確定的是的一個(gè)去心鄰域：，所以確定是這種情況下的關(guān)鍵。對(duì)于任給的，總存在正數(shù)，當(dāng)?shù)娜≈滴挥谌バ泥徲蛑畠?nèi)后，恒有，則稱為在時(shí)的極限。所以在的情況下，要確定的不再是門檻，而是鄰域的界限。這個(gè)鄰域的兩端界限點(diǎn)和對(duì)于來說是對(duì)稱的，這對(duì)具體確定鄰域的界限帶來不便，因?yàn)榇蠖鄶?shù)函數(shù)在兩邊是不對(duì)稱的，所以要注意如何確定這個(gè)。我在課堂上用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)做了詳細(xì)的演示，請(qǐng)大家仔細(xì)體會(huì)，并加以實(shí)際練習(xí)。5）單側(cè)極限記號(hào)表示當(dāng)大于而趨向于的過程中，函數(shù)以為極限。這叫右極限。記號(hào)表示當(dāng)小于而趨向于的過程中，函數(shù)以為極限。這叫左極限。函數(shù)在處的左、右極限存在且相等，是當(dāng)時(shí)極限存在的充要條件。例2.1 用極限定義證明：。證法1：對(duì)于任給的，欲使 ，等價(jià)于 。若時(shí)，即。注意到不對(duì)稱的情況，故取，則當(dāng)時(shí)，恒有。（這里要想清楚，為什么取絕對(duì)值形式，而不直接取？）若，那么要有，則取，則當(dāng)時(shí)，恒有。證法2：對(duì)于任給的，欲使 ，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，有。這樣， ，即 。 故對(duì)任給的，取，當(dāng)時(shí)，恒有?？梢钥偨Y(jié)出，用定義驗(yàn)證函數(shù)極限時(shí)，找或的方法可分為兩類：一是解不等式找出或；另一種則是用縮小的方法找出或。請(qǐng)大家自己從做習(xí)題中體會(huì)這兩類方法。例2.2 有人認(rèn)為，若有，那么，即求極限就等于求函數(shù)值。這種認(rèn)識(shí)對(duì)嗎？給出理由。解：這種認(rèn)識(shí)顯然是模糊的，不準(zhǔn)確的。應(yīng)該弄清楚極限值與函數(shù)值的意義是不同的。前者研究的是在自變量的一定趨向下函數(shù)的變化趨向，如果這種趨向有確定的值，此值就是極限值；而后者是函數(shù)在處的值，即當(dāng)在有定義，只要把的值帶入到函數(shù)中，就得到。因此不能把兩者混為一談。有這樣的例子，函數(shù)在沒有定義，卻當(dāng)時(shí)，有極限。例如，在處沒有定義，但 ，上式的最后一步可用定義加以驗(yàn)證。還可舉出這樣的例子，在處有定義，但與在時(shí)的極限值不等。例如， 。因此，但。為了弄清概念，再舉在處有定義，但時(shí)的極限不存在的例子。如 ，顯然，但 ， 左右極限不等，所以不存在。從以上的討論中，我們可以進(jìn)一步體會(huì)在極限的定義中，鄰域中大于0（即去心）的必要性，換言之，在研究當(dāng)趨向下的函數(shù)極限時(shí)，是不考慮在的情況的。希望同學(xué)們徹底理解這一點(diǎn)（而不是牢記這一點(diǎn)）。例2.3 如果當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極限，其極限值為。證明：必存在的一個(gè)去心鄰域，在這個(gè)鄰域中恒有。證：本題就是我們?cè)谡n上講到的局部保號(hào)性定理。在課堂上我們沒有直接證，提示大家，可作為局部保序性定理在取時(shí)的特例。這當(dāng)然是正確的推論。這里作為練習(xí)，我們把它再證一次，目的是讓大家再次熟悉“”語言。由于，故對(duì)于任給，總存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，恒有，即。因此，為了使，只需取為小于的正數(shù)就可以了。為此，?。ㄒ部梢匀』虻鹊龋@樣取法不影響保號(hào)的實(shí)質(zhì)性），對(duì)于此，有上面的分析知必存在正數(shù)，當(dāng)時(shí)，就有 。這就是說，存在著的一個(gè)去心鄰域，在此鄰域內(nèi)，。三無窮大與無窮小，有界與無界函數(shù)極限是微積分的主要工具或能撬起微積分的杠桿，無窮小是支撐極限的支點(diǎn)，所以，可以說，“給我一個(gè)無窮小做支點(diǎn)，我可以用極限做杠桿，將微積分撬起來”，這不是大話，而是形象地刻畫了極限與無窮小的地位。極限與無窮小的關(guān)系，可以用極限基本定理了描述。大家一定要牢固地掌握這個(gè)定理。在計(jì)算函數(shù)極限時(shí)，函數(shù)的有界性常起到簡(jiǎn)化計(jì)算的作用。要特別注意，一個(gè)函數(shù)的有界與否，一定跟自變量的一定的趨向或區(qū)間有關(guān)，離開這些談?dòng)薪缗c否，沒有意義。因?yàn)閿?shù)列是函數(shù)的特殊情況，所以數(shù)列也有無窮大與無窮小，有界與無界的概念。例3.1 如果，能否得出或者？解：如果 能夠成立，那么，由 ，可以得出 或 。但是， 的成立時(shí)有條件的，即要求數(shù)列和數(shù)列都收斂。但題目中沒有提及這樣的條件，所以不能推出這個(gè)結(jié)果。為說明問題，舉一個(gè)反例。令，則它們的乘積等于0：，所以有，但是和 都不存在，因此談不上它們的極限為零。例3.2 有人說函數(shù)是無窮小量，也有人說它是無窮大量，這些說法對(duì)嗎？解：初學(xué)者常常這么說，但這些說法是不清楚的。在沒有指出自變量的趨向下，講一個(gè)函數(shù)是無窮大或無窮小，都沒有意義。在自變量的不同趨向下，同一個(gè)函數(shù)可以有不同的趨向。例如，函數(shù)，在時(shí)是無窮大量，在時(shí)卻是無窮小量。所以不能籠統(tǒng)地講。例3.3 證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)是無界函數(shù)而不是無窮大量。證：所謂時(shí)，是無界，指不存在一個(gè)正數(shù)，當(dāng)充分大時(shí)，恒有；或者換一種說法，對(duì)任意給定的正數(shù)，函數(shù)定義域上存在一點(diǎn)，使。因此，取數(shù)列，由此得 。因此，不管給定什么正數(shù)，當(dāng)充分大時(shí)，總是大于。這樣就證明了是無界函數(shù)。另一方面，若取數(shù)列，可見，不管取多大，總有是函數(shù)的零點(diǎn)（即使函數(shù)值等于零的點(diǎn)）。故當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極限不是無窮大，所以不是無窮大量。又因是偶函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，它是無界的但不是無窮大量。 這個(gè)例子給出無窮大和無界函數(shù)的區(qū)別。 最后，我還想給大家介紹一個(gè)重要的分析結(jié)果區(qū)間套原理。例