橢圓中面積背景下的綜合問題.doc

橢圓中面積背景下的綜合問題典型問題已知直線與橢圓相交于兩個不同的點，記與軸的交點為C（）若，且，求此時面積；（）若，求面積的最大值，及此時橢圓的方程ABCOxy解題過程（）設(shè)得，原點（0,0）到直線的距離為，所以，=（）， 由，代入上式得：，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時又，因此所以，面積的最大值為，此時橢圓的方程為.變式拓展一已知橢圓方程為：，過它的兩個焦點，分別作直線與，交橢圓于兩點，交橢圓于兩點，且求四邊形的面積的取值范圍。解題過程當(dāng)與中有一條直線的斜率不存在，則另一條直線的斜率為0，此時四邊形的面積為， 若與的斜率都存在，設(shè)的斜率為，則的斜率為 直線的方程為， 設(shè)，聯(lián)立， （1） ， ， （2） 用代替（2）中的，得 ， ，令， ， ， 綜上可知，四邊形面積的. 變式拓展二（2015衢州4月質(zhì)檢）已知橢圓： 設(shè)分別為橢圓的左、右焦點，過的直線與橢圓交于不同兩點，記的內(nèi)切圓的面積為，求當(dāng)取最大值時直線的方程，并求出最大值解題過程 設(shè)，的內(nèi)切圓半徑為，則 所以要使取最大值，只需最大 設(shè)直線的方程為 將代入可得(*) 恒成立，方程(*)恒有解， 記 在上遞減 當(dāng)，此時變式拓展三（2009福建文改編）已知橢圓 的左、頂點分別為A、B,點是橢圓上位于軸上方的動點，直線與直線分別交于兩點， 當(dāng)線段MN的長度最小時，在橢圓上是否存在這樣的點，使得的面積為？若存在，確定點的個數(shù)，若不存在，說明理由解題過程直線AS的斜率顯然存在，且，故可設(shè)直線的方程為，從而， 得設(shè)則得， 即又，則直線為得， 故， ，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值，此時的方程為， 要使橢圓上存在點，使得的面積等于，只須到直線的距離等于，所以在平行于且與距離等于的直線上。設(shè)直線，則由，解得或 經(jīng)檢驗，不符合，舍去，所以橢圓上只存在一個使之成立。課后鞏固訓(xùn)練1、（2015溫州一模理）已知橢圓C: 的下頂點為B(0，1)，B到焦點的距離為2.()設(shè)Q是橢圓上的動點，求|BQ|的最大值；()直線l過定點P(0，2)與橢圓C交于兩點M，N，若BMN的面積為，求直線l的方程.參考答案：解：（I）由橢圓的下頂點為知 由到焦點的距離為知所以橢圓的方程為 設(shè)， 當(dāng)時， （II）由題設(shè)可知的斜率必存在 由于過點，可設(shè)方程為. 與聯(lián)立消去得 其（*）設(shè)，則 解得或均符合（*）式，或所求方程為與.2、 (2015浙江理)已知橢圓對稱，ABOxy求實數(shù)的取值范圍；求面積的最大值（O為坐標(biāo)原點）.參考答案：或當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故面積的最大值為.3、（2015紹興高三上期末）已知橢圓（），其右頂點為，上、下頂點分別為，直線的斜率為，過橢圓的右焦點的直線交橢圓于，兩點（，均在軸右側(cè)）求橢圓的方程；設(shè)四邊形面積為，求的取值范圍參考答案：4、(2015湖州高三上期末) 已知橢圓（）的右焦點為上頂點為過點作直線與橢圓交于另一個點，若，