1.2.1任意角的三角函數(shù)（第一課時）教案.doc

1.2.1 任意角的三角函數(shù)（第1課時）江門市中小學(xué)教研室 李義仁一、教材分析本課時是在必修4“任意角和弧度制”和義務(wù)教育“銳角三角函數(shù)”的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)。三角函數(shù)是刻畫客觀世界周期性變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，是繼必修1指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)之后另一個基本初等函數(shù)，而三角函數(shù)又是學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識（三角變換、向量、解析幾何等）的重要基礎(chǔ)，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)在研究簡諧運動、波等周期性變化現(xiàn)象中以及實際生活中，都有廣泛應(yīng)用。三角函數(shù)概念是研究三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的基礎(chǔ)，為幫助學(xué)生奠定三角函數(shù)概念的良好基礎(chǔ)，本課時以人教A版必修4 P11-P13及例1例3為基本教學(xué)內(nèi)容。二、學(xué)情分析學(xué)生基本具備了學(xué)習(xí)本課時的知識基礎(chǔ)和思想方法基礎(chǔ)：銳角三角函數(shù)、函數(shù)概念、任意角和弧度制等是本課時的知識基礎(chǔ)，任意角和弧度制知識形成過程中數(shù)形結(jié)合的思想方法、指數(shù)函數(shù)知識形成過程中抽象概括的邏輯方法等是本課時的方法基礎(chǔ)。因此，只要有序地呈現(xiàn)學(xué)習(xí)材料組織學(xué)習(xí)活動，學(xué)生就能較好調(diào)動知識與方法儲備，參與任意角的三角函數(shù)的“再發(fā)現(xiàn)”過程，建構(gòu)對任意角的三角函數(shù)的理解。三、教學(xué)分析教學(xué)目標(biāo)1知識與技能：理解任意角的三角函數(shù)的概念，理解三角函數(shù)在各象限的符號，會求角的各三角函數(shù)值，了解三角函數(shù)的定義域。2過程與方法：在概念形成與探究三角函數(shù)值符號的過程中，進(jìn)一步體會抽象概括的邏輯方法和數(shù)形結(jié)合思想，提高邏輯推理能力。3情感態(tài)度與價值觀：在新舊概念比較中，體會數(shù)學(xué)知識的發(fā)展；在探討定義域與解決問題的過程中，培養(yǎng)理性精神和科學(xué)態(tài)度。重點與難點重點：理解任意角三角函數(shù)的定義。難點：用單位圓上點的坐標(biāo)刻畫三角函數(shù)。教法與學(xué)法1教法：引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法。以APOS理論為指導(dǎo)，以問題為主線，讓學(xué)生在問題解決過程中親歷任意角的三角函數(shù)的形成過程，理解任意角的三角函數(shù)。2學(xué)法指導(dǎo)：指導(dǎo)學(xué)生適時轉(zhuǎn)化新舊轉(zhuǎn)化、數(shù)形轉(zhuǎn)化等，讓學(xué)生充分體驗不同象限角對應(yīng)的三角函數(shù)值，指導(dǎo)學(xué)生抽象概括將感性認(rèn)識提升為理性認(rèn)識。教具與學(xué)具1教具：直尺、圓規(guī)、PowerPoint課件。2學(xué)具：直尺、圓規(guī)。四、教學(xué)過程概念引入：初中學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù)，如圖1，銳角的正弦、余弦、正切分別是什么？引導(dǎo)學(xué)生回顧銳角三角函數(shù)的概念、符號、表達(dá)式。在中，。概念形成：如何在直角坐標(biāo)系中用點的坐標(biāo)表示角的正弦、余弦與正切？1用角終邊上點的坐標(biāo)表示、與1.1將（角）放入適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系中。如圖2，以的頂點為原點，邊所在的直線為軸（點在軸正半軸上）建立平面直角坐標(biāo)系。1.2用點的坐標(biāo)表示、與。在圖2中，若點，則，從而，。2用單位圓上的點的坐標(biāo)表示、與2.1單位圓的概念，如圖3，在直角坐標(biāo)系中，以原點為圓心，以單位長度為半徑的圓稱為單位圓。2.2由相似三角形的知識，對于確定的角，的值不會隨點在角的終邊上的位置的改變而改變。如圖4，將點取為角的終邊（即射線）與單位圓的交點，此時，。概念明晰：任意角的三角函數(shù)的定義。這是教學(xué)的重點：從函數(shù)角度看待，明確定義任意角的三角函數(shù)，揭示任意角的三角函數(shù)的本質(zhì)。1在弧度制下，銳角三角函數(shù)的自變量、對應(yīng)關(guān)系分別是什么？在弧度制下，銳角的弧度數(shù)等于單位圓中圓心角所對的弧長，為角的終邊與單位圓的交點，因此，在弧度制下，銳角唯一地確定單位圓上的點，點唯一地確定實數(shù)與，從而唯一地確定，。所以，銳角三角函數(shù)是以實數(shù)（角的弧度數(shù)）為自變量，以角終邊與單位圓交點的坐標(biāo)或坐標(biāo)比值為函數(shù)值的函數(shù)。2將銳角三角函數(shù)推廣到任意角的三角函數(shù)如圖5，設(shè)是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點，則叫做的正弦（sine），記作，即；叫做的余弦（cosine），記作，即；叫做的正切（tangent），記作，即（）。，分別稱為正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)，統(tǒng)稱為三角函數(shù)。由于角的集合與實數(shù)集之間可以建立一一對應(yīng)關(guān)系，三角函數(shù)可以看作自變量為實數(shù)的函數(shù)。對應(yīng)關(guān)系直觀表示如下（講解正弦函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，其他由學(xué)生完成）：（）終邊與單位圓的交點唯一確定唯一確定唯一確定正弦函數(shù)角及其終邊（）終邊與單位圓的交點唯一確定唯一確定唯一確定余弦函數(shù)角及其終邊終邊與單位圓的交點唯一確定唯一確定唯一確定正切函數(shù)角及其終邊（）3三角函數(shù)的定義域當(dāng)（）時，角的終邊在軸上，點的橫坐標(biāo)，無意義，除此之外，對于確定的角，、和的值都是唯一確定的，所以，正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義域都是實數(shù)集、正切函數(shù)的定義域為。概念鞏固：例題3個例題，分別是直接應(yīng)用代數(shù)式（定義）求三角函數(shù)值，解直角三角形求三角函數(shù)值，定義及其形成過程中思想方法結(jié)合運用求三角函數(shù)值。例1由學(xué)生口答。例1如圖6，已知角的終邊與單位圓的交點是， 求角的正弦、余弦和正切值。解：根據(jù)三角函數(shù)定義得：，。例2求的正弦、余弦和正切值。解：如圖7，在直角坐標(biāo)系中，作，易知，的終邊與單位圓的交點坐標(biāo)為。所以，。例3已知角的終邊經(jīng)過點，求角的正弦、余弦和正切值。解：由已知得。如圖8，設(shè)角的終邊與單位圓交于點，分別過、作軸的垂線段、，則，。由得：，。注：一般地，設(shè)角的終邊上任意一點的坐標(biāo)為，它與原點的距離為，則，（）。概念內(nèi)化：將新概念（任意角的各個三角函數(shù)）系統(tǒng)化，并與角、坐標(biāo)系相聯(lián)系。例4探究證明：探究三角函數(shù)值在各象限的符號；求證：當(dāng)不等式組成立時，角為第三象限角。反之也對。問題以填圖的方式完成，并說理討論：角在第二象限角終邊上的點在第二象限，。，依此類推。問題以練習(xí)講評方式完成，關(guān)注學(xué)生問題解決的完備性與嚴(yán)謹(jǐn)性。若為第三象限角，由可得，。若成立，則角的終邊可能位于第三或第四象限或與軸的非正半軸重合；若成立，則角的終邊可能位于第一或第三象限。因為與同時成立，所以角