1.2.1任意角的三角函數(shù)（第一課時(shí)）教案.doc

1.2.1 任意角的三角函數(shù)（第1課時(shí)）江門(mén)市中小學(xué)教研室 李義仁一、教材分析本課時(shí)是在必修4“任意角和弧度制”和義務(wù)教育“銳角三角函數(shù)”的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)。三角函數(shù)是刻畫(huà)客觀世界周期性變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，是繼必修1指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)之后另一個(gè)基本初等函數(shù)，而三角函數(shù)又是學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識(shí)（三角變換、向量、解析幾何等）的重要基礎(chǔ)，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)在研究簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)、波等周期性變化現(xiàn)象中以及實(shí)際生活中，都有廣泛應(yīng)用。三角函數(shù)概念是研究三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的基礎(chǔ)，為幫助學(xué)生奠定三角函數(shù)概念的良好基礎(chǔ)，本課時(shí)以人教A版必修4 P11-P13及例1例3為基本教學(xué)內(nèi)容。二、學(xué)情分析學(xué)生基本具備了學(xué)習(xí)本課時(shí)的知識(shí)基礎(chǔ)和思想方法基礎(chǔ)：銳角三角函數(shù)、函數(shù)概念、任意角和弧度制等是本課時(shí)的知識(shí)基礎(chǔ)，任意角和弧度制知識(shí)形成過(guò)程中數(shù)形結(jié)合的思想方法、指數(shù)函數(shù)知識(shí)形成過(guò)程中抽象概括的邏輯方法等是本課時(shí)的方法基礎(chǔ)。因此，只要有序地呈現(xiàn)學(xué)習(xí)材料組織學(xué)習(xí)活動(dòng)，學(xué)生就能較好調(diào)動(dòng)知識(shí)與方法儲(chǔ)備，參與任意角的三角函數(shù)的“再發(fā)現(xiàn)”過(guò)程，建構(gòu)對(duì)任意角的三角函數(shù)的理解。三、教學(xué)分析教學(xué)目標(biāo)1知識(shí)與技能：理解任意角的三角函數(shù)的概念，理解三角函數(shù)在各象限的符號(hào)，會(huì)求角的各三角函數(shù)值，了解三角函數(shù)的定義域。2過(guò)程與方法：在概念形成與探究三角函數(shù)值符號(hào)的過(guò)程中，進(jìn)一步體會(huì)抽象概括的邏輯方法和數(shù)形結(jié)合思想，提高邏輯推理能力。3情感態(tài)度與價(jià)值觀：在新舊概念比較中，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展；在探討定義域與解決問(wèn)題的過(guò)程中，培養(yǎng)理性精神和科學(xué)態(tài)度。重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：理解任意角三角函數(shù)的定義。難點(diǎn)：用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)刻畫(huà)三角函數(shù)。教法與學(xué)法1教法：引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法。以APOS理論為指導(dǎo)，以問(wèn)題為主線(xiàn)，讓學(xué)生在問(wèn)題解決過(guò)程中親歷任意角的三角函數(shù)的形成過(guò)程，理解任意角的三角函數(shù)。2學(xué)法指導(dǎo)：指導(dǎo)學(xué)生適時(shí)轉(zhuǎn)化新舊轉(zhuǎn)化、數(shù)形轉(zhuǎn)化等，讓學(xué)生充分體驗(yàn)不同象限角對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值，指導(dǎo)學(xué)生抽象概括將感性認(rèn)識(shí)提升為理性認(rèn)識(shí)。教具與學(xué)具1教具：直尺、圓規(guī)、PowerPoint課件。2學(xué)具：直尺、圓規(guī)。四、教學(xué)過(guò)程概念引入：初中學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù)，如圖1，銳角的正弦、余弦、正切分別是什么？引導(dǎo)學(xué)生回顧銳角三角函數(shù)的概念、符號(hào)、表達(dá)式。在中，。概念形成：如何在直角坐標(biāo)系中用點(diǎn)的坐標(biāo)表示角的正弦、余弦與正切？1用角終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)表示、與1.1將（角）放入適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系中。如圖2，以的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，邊所在的直線(xiàn)為軸（點(diǎn)在軸正半軸上）建立平面直角坐標(biāo)系。1.2用點(diǎn)的坐標(biāo)表示、與。在圖2中，若點(diǎn)，則，從而，。2用單位圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)表示、與2.1單位圓的概念，如圖3，在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為圓心，以單位長(zhǎng)度為半徑的圓稱(chēng)為單位圓。2.2由相似三角形的知識(shí)，對(duì)于確定的角，的值不會(huì)隨點(diǎn)在角的終邊上的位置的改變而改變。如圖4，將點(diǎn)取為角的終邊（即射線(xiàn)）與單位圓的交點(diǎn)，此時(shí)，。概念明晰：任意角的三角函數(shù)的定義。這是教學(xué)的重點(diǎn)：從函數(shù)角度看待，明確定義任意角的三角函數(shù)，揭示任意角的三角函數(shù)的本質(zhì)。1在弧度制下，銳角三角函數(shù)的自變量、對(duì)應(yīng)關(guān)系分別是什么？在弧度制下，銳角的弧度數(shù)等于單位圓中圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)，為角的終邊與單位圓的交點(diǎn)，因此，在弧度制下，銳角唯一地確定單位圓上的點(diǎn)，點(diǎn)唯一地確定實(shí)數(shù)與，從而唯一地確定，。所以，銳角三角函數(shù)是以實(shí)數(shù)（角的弧度數(shù)）為自變量，以角終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)比值為函數(shù)值的函數(shù)。2將銳角三角函數(shù)推廣到任意角的三角函數(shù)如圖5，設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)，則叫做的正弦（sine），記作，即；叫做的余弦（cosine），記作，即；叫做的正切（tangent），記作，即（）。，分別稱(chēng)為正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)，統(tǒng)稱(chēng)為三角函數(shù)。由于角的集合與實(shí)數(shù)集之間可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，三角函數(shù)可以看作自變量為實(shí)數(shù)的函數(shù)。對(duì)應(yīng)關(guān)系直觀表示如下（講解正弦函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，其他由學(xué)生完成）：（）終邊與單位圓的交點(diǎn)唯一確定唯一確定唯一確定正弦函數(shù)角及其終邊（）終邊與單位圓的交點(diǎn)唯一確定唯一確定唯一確定余弦函數(shù)角及其終邊終邊與單位圓的交點(diǎn)唯一確定唯一確定唯一確定正切函數(shù)角及其終邊（）3三角函數(shù)的定義域當(dāng)（）時(shí)，角的終邊在軸上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)，無(wú)意義，除此之外，對(duì)于確定的角，、和的值都是唯一確定的，所以，正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義域都是實(shí)數(shù)集、正切函數(shù)的定義域?yàn)椤８拍铎柟蹋豪}3個(gè)例題，分別是直接應(yīng)用代數(shù)式（定義）求三角函數(shù)值，解直角三角形求三角函數(shù)值，定義及其形成過(guò)程中思想方法結(jié)合運(yùn)用求三角函數(shù)值。例1由學(xué)生口答。例1如圖6，已知角的終邊與單位圓的交點(diǎn)是， 求角的正弦、余弦和正切值。解：根據(jù)三角函數(shù)定義得：，。例2求的正弦、余弦和正切值。解：如圖7，在直角坐標(biāo)系中，作，易知，的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為。所以，。例3已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求角的正弦、余弦和正切值。解：由已知得。如圖8，設(shè)角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，分別過(guò)、作軸的垂線(xiàn)段、，則，。由得：，。注：一般地，設(shè)角的終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為，它與原點(diǎn)的距離為，則，（）。概念內(nèi)化：將新概念（任意角的各個(gè)三角函數(shù)）系統(tǒng)化，并與角、坐標(biāo)系相聯(lián)系。例4探究證明：探究三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)；求證：當(dāng)不等式組成立時(shí)，角為第三象限角。反之也對(duì)。問(wèn)題以填圖的方式完成，并說(shuō)理討論：角在第二象限角終邊上的點(diǎn)在第二象限，。，依此類(lèi)推。問(wèn)題以練習(xí)講評(píng)方式完成，關(guān)注學(xué)生問(wèn)題解決的完備性與嚴(yán)謹(jǐn)性。若為第三象限角，由可得，。若成立，則角的終邊可能位于第三或第四象限或與軸的非正半軸重合；若成立，則角的終邊可能位于第一或第三象限。因?yàn)榕c同時(shí)成立，所以角