勾股定理數(shù)學(xué)活動(dòng) (2).doc

數(shù)學(xué)活動(dòng)勾股定理證明福州金山中學(xué) 卞明星【教學(xué)目的】1、了解勾股定理的歷史由來(lái)，感受勾股定理的文化價(jià)值；2、掌握定理內(nèi)容及其簡(jiǎn)單應(yīng)用；3、學(xué)會(huì)定理的證明方法及思維方式，拓展思維。【教學(xué)重點(diǎn)】探究并理解勾股定理；【教學(xué)難點(diǎn)】探索勾股定理的驗(yàn)證方法【教具準(zhǔn)備】多媒體課件演示拼圖【教學(xué)過程】一、舊知新問，引出新課同學(xué)們有沒去過福州的森林公園？在森林公園里游玩時(shí)看到一棵棵大樹，感到心曠神怡，在數(shù)學(xué)王國(guó)也有一種樹同樣絢爛多彩、變幻多端。（展示課件1）（師）記得老師四年前的上海之行。當(dāng)時(shí)在眾多的高科技展品中，我發(fā)現(xiàn)了它（展示課件2）這是一個(gè)由直角三角形和已知三邊分別向外獲得的三個(gè)正方形所組成的平面模型。當(dāng)時(shí)充盈在這兩個(gè)正方體的液體緩緩的注入了底下那個(gè)大正方形內(nèi)，如此不斷地循環(huán)反復(fù)，看到這，我在想這個(gè)模型它究竟要告訴我們什么呢？不知道同學(xué)們有什么想法？（提問）問1：在這個(gè)實(shí)驗(yàn)中，我們發(fā)現(xiàn)了什么？（兩個(gè)小正方體的體積和等于下面大的正方體的體積）問2：假定三個(gè)正方體的厚度一樣，那么這三塊正方形的面積有怎樣的關(guān)系？（兩塊小的正方形的面積等于大正方形的面積）問3：能否用直角三角形三邊長(zhǎng)來(lái)分別表示這三個(gè)正方形的面積問4：由面積關(guān)系能否找出該直角三角形三邊關(guān)系？二、實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，激發(fā)靈感（師）如果老師將中間這個(gè)三角形標(biāo)記為和三邊a,b,c，那么你又能得到什么結(jié)論呢？猜想：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。（）這或許正要告訴我們存在于直角三角形的某種特殊關(guān)系.三、運(yùn)算推演，證實(shí)猜想【活動(dòng)1】學(xué)生實(shí)驗(yàn)（畫一畫)請(qǐng)同學(xué)們動(dòng)手畫一個(gè)直角邊分別為3和4的直角三角形,測(cè)量它的斜邊長(zhǎng)度.(學(xué)生動(dòng)手操作)(展示課件4)師生一起驗(yàn)證猜想的正確性(板書)(師)其實(shí)這個(gè)3,4,5組合的直角三角形,早在公元前一世紀(jì)就被我國(guó)古代的數(shù)學(xué)家所發(fā)現(xiàn)了，在古書中記載著勾三、股四、弦五的字樣。勾：較短直角邊，股：較長(zhǎng)直角邊，弦：斜邊?？梢哉f(shuō)這個(gè)特殊三角形的發(fā)現(xiàn)為世界數(shù)學(xué)史掀開了一頁(yè)嶄新的篇章。（師）可是就憑這么個(gè)例子，怎么能說(shuō)明這個(gè)猜想的正確性呢？于是當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家們就紛紛地投入了大量的實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證。其中，在我國(guó)古代巨著-九章算術(shù)中記載了這樣一段文字：（展示課件5）勾股各自乘，并爾開方除之為弦。（板書）古人的這個(gè)發(fā)現(xiàn)和我們之前的猜想是否完全吻合??？問1：現(xiàn)在對(duì)于存在于直角三角形的三邊關(guān)系是否確認(rèn)無(wú)疑？問2：那么我們來(lái)思考這樣一個(gè)問題： （提問）（師）這說(shuō)明了什么呢？再多的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)只能增加結(jié)論的可靠性。特殊的數(shù)據(jù)永遠(yuǎn)替代不了一般的規(guī)律。所以本著嚴(yán)謹(jǐn)、求實(shí)的治學(xué)態(tài)度，當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家們就紛紛地由驗(yàn)證的過程轉(zhuǎn)為了對(duì)這個(gè)猜想的論證過程，可以說(shuō)這條路走得非常艱辛，他們費(fèi)盡心思，一直經(jīng)歷了半個(gè)多世紀(jì)之后，才終于為人類所掌握。那么今天老師來(lái)協(xié)助同學(xué)們，看看憑借自身的能力能否在短時(shí)間內(nèi)將這個(gè)難題所攻克?！净顒?dòng)2】我們一起來(lái)論證（展示課件6）已知：Rt求證：?jiǎn)枺何覀冞M(jìn)行這樣的思考，對(duì)于我們所要證明的結(jié)論，同學(xué)們觀察下，我們會(huì)從什么樣的角度去著手證明呢？（提問）預(yù)案：的確當(dāng)時(shí)是有一批數(shù)學(xué)家從面積著手證明的，到底是怎么證明的呢？挺難得對(duì)嗎？沒有關(guān)系，讓我們先來(lái)做個(gè)游戲，拿出我們事先準(zhǔn)備好的四個(gè)全等直角三角形，讓我們一同在一個(gè)拼圖游戲中尋找答案。拼圖游戲：?jiǎn)?：請(qǐng)用4個(gè)全等的直角三角形, 拼出一個(gè)含有以斜邊c為邊長(zhǎng)的正方形。只要求：不加覆蓋問2：利用面積之間的關(guān)系動(dòng)手證一證命題的猜想?請(qǐng)同學(xué)上黑板用模具展示拼圖結(jié)果預(yù)案一：現(xiàn)在仍保留在黑板上的兩種不同拼圖方式是否能夠?yàn)槲覀兊恼撟C提供強(qiáng)有力地幫助。（板書論證過程）介紹一種證法證法1：將四個(gè)全等的直角三角形圍成如圖所示的正方形.（師）老師介紹一個(gè)人，（展示課件）他是三國(guó)時(shí)期，魏國(guó)的數(shù)學(xué)家劉徽，剛才我們的證法與劉老前輩一模一樣，劉老前輩正是我們九章算術(shù)主要編寫者之一。介紹第二種拼合方式。（提問，學(xué)生論證）證法2：將四個(gè)全等的直角三角形圍成如圖所示的正方形.預(yù)案二：（師）還想介紹個(gè)人，他是外國(guó)人，美國(guó)總統(tǒng)加菲爾德，他不是數(shù)學(xué)家，他卻給出了一種非常經(jīng)典的證法。利用第二種拼圖方法，他做了一種連接，把圖形分割成兩個(gè)全等的直角梯形。根據(jù)圖形的構(gòu)成分析，老師相信你們可以從面積的角度老完成它的論證。（學(xué)生動(dòng)手完成論證）。(a + b)(b + a) = c2 + 2(ab)a2 + ab + b2 = c2 + aba2 + b2 = c2（師）這三種方法殊途同歸，終于存在于直角三角形三邊間的特殊關(guān)系被我們所掌握了，這個(gè)直角三角形的三邊關(guān)系到底是什么？請(qǐng)一位同學(xué)用語(yǔ)言表述下。（語(yǔ)文課代表）（展示課件）四、歸納總結(jié)，完成探究【文字語(yǔ)言】直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方 (全班齊讀)對(duì)于這個(gè)定理的發(fā)現(xiàn)，我國(guó)古代要比西方早五百多年，所以我們把這個(gè)定理命名為勾股定理。（板書課題）這是我們數(shù)學(xué)界十分重要的定理。下面請(qǐng)一位同學(xué)借助于圖形，使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述。（有請(qǐng)數(shù)學(xué)課代表）【符號(hào)語(yǔ)言】 （板書） Rt （師）勾股定理目前證明方法有五百多種，書上提供的是哪一種呢？我們一起看書本，書上提供的是三國(guó)時(shí)期吳國(guó)趙爽的一種證法。問1：從圖的構(gòu)成分析，面積的角度來(lái)看，是書上趙爽的圖形構(gòu)成簡(jiǎn)單，還是我們之前介紹的圖形簡(jiǎn)單呢？問2：那我就不明白了，把這么復(fù)雜的圖形放在教科書上,是為什么呢？（師）無(wú)論是趙爽的證明方法，還是之前所介紹的證明方法，它們之中都存在著一種共性：都是利用了對(duì)幾何圖形的截、割、拼、補(bǔ)來(lái)完成代數(shù)恒等式的證明。這種證明方法既具嚴(yán)密性又具直觀性。趙爽圖形略為復(fù)雜，但是他是當(dāng)今世上以形證數(shù)的第一人。以后的數(shù)學(xué)家繼承了這個(gè)風(fēng)格，并向前發(fā)展。所以我們看到的勾股定理的證明方式越來(lái)越簡(jiǎn)單。至此，我們由猜想到驗(yàn)證到論證，認(rèn)識(shí)了勾股定理，下面到我們應(yīng)用時(shí)間。五、鞏固練習(xí)，適當(dāng)拓展例題一、（1）在RtABC中，C=90，AB=c,BC=a,AC=b,已知a=6,b=8,則c=(2)如果一個(gè)直角三角形的兩條邊長(zhǎng)分別是6和8，那么第三邊的長(zhǎng)是多少？（分類思想的滲透）ABC例題二：（1）已知：如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC=13，BC=10，求等腰三角形ABC的面積。ABC（2）變式：已知：如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC=13，BC=10，求腰AC上的高。六、課堂小結(jié)，布置作業(yè)短短四十分鐘，我們由猜想-到驗(yàn)證-到論證。認(rèn)識(shí)了勾股定理，又再現(xiàn)了一個(gè)以形證數(shù)的數(shù)學(xué)思想，經(jīng)歷了一條從特殊到一般的科學(xué)之路，平添了一份升為中國(guó)人的自豪。正是因?yàn)橛辛怂鼈?，老師才能把這樣的一份財(cái)富知識(shí)傳遞給你們，老師感到非常的快樂。作業(yè)：收集勾股定理證明方法的資料，以小報(bào)或PPT的形式與同學(xué)們交流（一周后交科代表）.在以下網(wǎng)頁(yè)中你可以找到有關(guān)勾股定理的豐富的內(nèi)容。清華大學(xué)數(shù)學(xué)系 http: