廣東省高考數(shù)學(xué) 3.7正弦定理和余弦定理配套課件 理 新人教A版.ppt

第七節(jié)正弦定理和余弦定理 三年16考高考指數(shù) 掌握正弦定理 余弦定理 并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題 1 利用正 余弦定理求三角形中的邊 角及其面積問(wèn)題是高考考查的熱點(diǎn) 2 常與三角恒等變換相結(jié)合 綜合考查三角形中的邊與角 三角形形狀的判斷等 3 在平面解析幾何 立體幾何中常作為工具求角和兩點(diǎn)間的距離問(wèn)題 1 正弦定理 已知兩角和任一邊 求其他兩邊和另一角 已知兩邊和其中一邊的對(duì)角 求另一邊的對(duì)角 即時(shí)應(yīng)用 1 思考 在 abc中 sina sinb是a b的什么條件 提示 充要條件 因?yàn)?2 在 abc中 b 30 c 120 則a b c 解析 a 180 30 120 30 由正弦定理得 a b c sina sinb sinc 1 1 答案 1 1 2 余弦定理 已知三邊 求各角 已知兩邊和它們的夾角 求第三邊和其他兩個(gè)角 即時(shí)應(yīng)用 1 如果等腰三角形的周長(zhǎng)是底邊長(zhǎng)的5倍 那么它的頂角的余弦值為 2 在 abc中 已知a2 b2 bc c2 則角a為 解析 1 設(shè)底邊邊長(zhǎng)為a 則由題意知等腰三角形的腰長(zhǎng)為2a 故頂角的余弦值為 2 由已知得b2 c2 a2 bc cosa 又 0 a a 答案 3 三角形中常用的面積公式 1 s h表示邊a上的高 2 s 3 s r為三角形的內(nèi)切圓半徑 即時(shí)應(yīng)用 1 在 abc中 a 60 ab 1 ac 2 則s abc的值為 2 在 abc中 則s abc 解析 1 2 在 abc中 答案 利用正 余弦定理解三角形 方法點(diǎn)睛 解三角形中的常用公式和結(jié)論 1 a b c 2 0 a b c sin a b sinc cos a b cosc tan a b tanc 3 三角形中等邊對(duì)等角 大邊對(duì)大角 反之亦然 三角形中任意兩邊之和大于第三邊 任意兩邊之差小于第三邊 例1 根據(jù)下列條件解三角形 1 在銳角 abc中 a b c分別為角a b c所對(duì)的邊 又c b 4 且bc邊上的高h(yuǎn) 則角c 2 在 abc中 已知a b c 且a 2c b 4 a c 8 則a c 3 已知三角形的兩邊分別為4和5 它們的夾角的余弦值是方程2x2 3x 2 0的根 則第三邊長(zhǎng)是 解題指南 1 作出高 利用直角三角形中的邊角關(guān)系直接求得 2 正弦定理和余弦定理結(jié)合應(yīng)用求得 3 利用方程求出余弦值 再利用余弦定理求得 規(guī)范解答 1 由于 abc為銳角三角形 過(guò)a作ad bc于d點(diǎn) sinc 則c 60 2 由正弦定理又a 2c 所以即 cosc 由已知a c 8 2b及余弦定理 得整理得 2a 3c a c 0 a c 2a 3c a c 8 3 解方程可得該夾角的余弦值為由余弦定理得 第三邊長(zhǎng)是答案 1 60 互動(dòng)探究 本例中的 1 條件不變 若求a 則a 解析 由余弦定理可知c2 a2 b2 2abcosc 則即a2 4a 5 0 所以a 5或a 1 舍去 因此a邊的長(zhǎng)為5 答案 5 反思 感悟 1 應(yīng)熟練掌握正 余弦定理及其變形 解三角形時(shí) 有時(shí)可用正弦定理 也可用余弦定理 應(yīng)注意根據(jù)已知條件用哪一個(gè)定理更方便 簡(jiǎn)捷就用哪一個(gè)定理 2 已知兩邊和其中一邊的對(duì)角 解三角形時(shí) 注意解的情況 如已知a b a 則有兩解 一解 無(wú)解三種情況 a bsina a bsina bsina a b a b a b a b 無(wú)解 一解 兩解 一解 一解 無(wú)解 a a b c b c a a b b1 b2 a c a a b c a a b b b c a b a a a b b c 變式備選 在 abc中 已知a 7 b 3 c 5 求其最大內(nèi)角和sinc 解析 由已知得 a c b 所以內(nèi)角a最大 由余弦定理得 而所以sinc 利用正 余弦定理判斷三角形形狀 方法點(diǎn)睛 1 三角形形狀的判斷思路判斷三角形的形狀 就是利用正 余弦定理等進(jìn)行代換 轉(zhuǎn)化 尋求邊與邊或角與角之間的數(shù)量關(guān)系 從而作出正確判斷 1 邊與邊的關(guān)系主要看是否有等邊 是否符合勾股定理等 2 角與角的關(guān)系主要是看是否有等角 有無(wú)直角或鈍角等 2 判定三角形形狀的兩種常用途徑 通過(guò)正弦定理和余弦定理 化邊為角 利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進(jìn)行判斷 利用正弦定理 余弦定理 化角為邊 通過(guò)代數(shù)恒等變換 求出三條邊之間的關(guān)系進(jìn)行判斷 提醒 在判斷三角形形狀時(shí)一定要注意解是否唯一 并注重挖掘隱含條件 另外 在變形過(guò)程中要注意角a b c的范圍對(duì)三角函數(shù)值的影響 例2 2012 韶關(guān)模擬 已知 abc三個(gè)內(nèi)角a b c的對(duì)邊為a b c m a cosb n cosa b a b 已知m n 判斷三角形的形狀 并說(shuō)明理由 解題指南 由m n尋找邊角關(guān)系 可利用正 余弦定理化邊為角或化角為邊進(jìn)行變換即可 規(guī)范解答 方法一 邊化角 m n m n 0 acosa bcosb 0 由正弦定理知 r為 abc外接圓的半徑 a 2rsina b 2rsinb sinacosa sinbcosb sin2a sin2b a b 0 2a 2b或2a 2b 又a b a b a b 所以 abc是直角三角形 方法二 角化邊 m n m n 0 acosa bcosb b a b2 a2 0 b2 a2 c2 0 c2 a2 b2 abc是直角三角形 反思 感悟 三角形中判斷邊 角關(guān)系的具體方法 1 通過(guò)正弦定理實(shí)施邊角轉(zhuǎn)換 2 通過(guò)余弦定理實(shí)施邊角轉(zhuǎn)換 3 通過(guò)三角變換找出角之間的關(guān)系 4 通過(guò)三角函數(shù)值符號(hào)的判斷以及正 余弦函數(shù)有界性的討論 變式訓(xùn)練 在 abc中 1 已知a b ccosb ccosa 判斷 abc的形狀 2 若b asinc c acosb 判斷 abc的形狀 解析 1 由已知結(jié)合余弦定理可得a b c c 整理得 a b a2 b2 c2 0 a b或a2 b2 c2 abc為等腰三角形或直角三角形 2 由b asinc可知由c acosb可知c a 整理得b2 c2 a2 即三角形一定是直角三角形 a 90 sinc sinb b c abc為等腰直角三角形 與三角形面積有關(guān)的問(wèn)題 方法點(diǎn)睛 三角形的面積公式 1 已知一邊和這邊上的高 2 已知兩邊及其夾角 3 已知三邊 其中p 4 已知兩角及兩角的共同邊 s 5 已知三邊和外接圓半徑r 則s 例3 1 已知 abc中 a 8 b 7 b 60 則c s abc 2 2011 山東高考 在 abc中 內(nèi)角a b c的對(duì)邊分別為a b c 已知 求的值 若cosb b 2 求 abc的面積s 解題指南 1 可利用正弦定理求出角c的正弦值 再求出邊長(zhǎng)c 進(jìn)而求面積 也可利用余弦定理求出邊長(zhǎng)c 再求面積 2 可由正弦定理直接轉(zhuǎn)化已知式子 然后再由和角公式及誘導(dǎo)公式求解 也可先轉(zhuǎn)化式子 然后利用余弦定理推出邊的關(guān)系 再利用正弦定理求解 應(yīng)用余弦定理及 的結(jié)論求得a和c的值 然后利用面積公式求解 規(guī)范解答 1 方法一 由正弦定理得 sina cosa sinc sin a b sinacosb cosasinb 或由得c1 5 c2 3 或 方法二 由余弦定理得b2 c2 a2 2cacosb 72 c2 82 2 8 ccos60 整理得 c2 8c 15 0 解得 c1 3 c2 5 或答案 3或5或 2 方法一 在 abc中 由及正弦定理可得即cosasinb 2coscsinb 2sinccosb sinacosb 則cosasinb sinacosb 2sinccosb 2coscsinb sin a b 2sin c b 而a b c 則sinc 2sina 即 方法二 在 abc中 由可得bcosa 2bcosc 2ccosb acosb 由余弦定理可得整理可得c 2a 由正弦定理可得 由c 2a及cosb b 2可得4 c2 a2 2accosb 4a2 a2 a2 4a2 則a 1 c 2 s 即s 反思 感悟 1 運(yùn)用正 余弦定理解決幾何計(jì)算問(wèn)題 要抓住條件 待求式子的特點(diǎn) 恰當(dāng)?shù)剡x擇定理 面積公式 2 明確所需要求的邊 角 1 若已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中時(shí) 可選擇正 余弦定理求解 2 若涉及到兩個(gè) 或兩個(gè)以上 三角形 這時(shí)需作出這些三角形 先解夠條件的三角形 再逐步求出其他三角形的解 其中往往用到三角形內(nèi)角和定理 有時(shí)需設(shè)出未知量 從幾個(gè)三角形中列出方程求解 變式訓(xùn)練 在 abc中 bc a ac b a b是方程 0的兩個(gè)根 且2cos a b 1 求 1 角c的度數(shù) 2 ab的長(zhǎng)度 3 abc的面積 解析 1 cosc cos a b cos a b c 120 2 由題設(shè) c2 a2 b2 2abcos120 a2 b2 ab a b 2 ab 即ab 3 變式備選 在 abc中 角a b c的對(duì)邊分別為a b c b 1 求sinc的值 2 求 abc的面積 解析 1 因?yàn)榻莂 b c為 abc的內(nèi)角 且所以于是 2 由 1 知又因?yàn)樗栽?abc中 由正弦定理得a 于是 abc的面積s 滿分指導(dǎo) 解三角形問(wèn)題的規(guī)范解答 典例 12分 2011 遼寧高考 abc的三個(gè)內(nèi)角a b c所對(duì)的邊分別為a b c asinasinb bcos2a 1 求 2 若c2 b2 3a2 求b 解題指南 1 根據(jù)正弦定理 先邊化角 然后再角化邊 即得 2 先結(jié)合余弦定理和已知條件求出cosb的表達(dá)式 再利用第 1 題的結(jié)論進(jìn)行化簡(jiǎn)即得 規(guī)范解答 1 由正弦定理得 即 3分故所以 6分 2 由余弦定理及得cosb由 1 知b2 2a2 故c2 2 a2 10分可得又cosb 0 故所以b 45 12分 閱卷人點(diǎn)撥 通過(guò)高考中的閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié) 我們可以得到以下失分警示與備考建議 1 2011 浙江高考 在 abc中 角a b c所對(duì)的邊分別為a b c 若acosa bsinb 則sinacosa cos2b 解析 選d 由acosa bsinb可得sinacosa sin2b 所以sinacosa cos2b sin2b cos2b 1 2 2011 安徽高考 已知 abc的一個(gè)內(nèi)角為120 并且三邊長(zhǎng)構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列 則 abc的面積為 解析 設(shè)三角形中間邊長(zhǎng)為x 則另兩邊的長(zhǎng)為x 4 x 4 那么 x 4 2 x2 x 4 2 2x x 4 cos120 解得x 10 所以答案 3 2011 福建高考 如圖 abc中 ab ac 2 bc 點(diǎn)d在bc邊上 adc 45 則ad的長(zhǎng)度等于 解析 在 abc中 由余弦定理易得 c 30 b 30 在 abd中 由正弦定理得 答案 4 2011