2014年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（大綱版）（含解析版）

第 1頁(yè) 共 10頁(yè) 2014 年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷 理科 大綱版 年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷 理科 大綱版 一 選擇題 本大題共一 選擇題 本大題共 12 小題 每小題小題 每小題 5 分 分 1 5 分 設(shè) z 則 z 的共軛復(fù)數(shù)為 A 1 3iB 1 3iC 1 3iD 1 3i 2 5 分 設(shè)集合 M x x2 3x 4 0 N x 0 x 5 則 M N A 0 4 B 0 4 C 1 0 D 1 0 3 5 分 設(shè) a sin33 b cos55 c tan35 則 A a b cB b c aC c b aD c a b 4 5 分 若向量 滿足 1 2 則 A 2B C 1D 5 5 分 有 6 名男醫(yī)生 5 名女醫(yī)生 從中選出 2 名男醫(yī)生 1 名女醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小組 則不同 的選法共有 A 60 種B 70 種C 75 種D 150 種 6 5 分 已知橢圓 C 1 a b 0 的左 右焦點(diǎn)為 F1 F2 離心率為 過(guò) F2的直線 l 交 C 于 A B 兩點(diǎn) 若 AF1B 的周長(zhǎng)為 4 則 C 的方程為 A 1B y2 1C 1D 1 7 5 分 曲線 y xex 1 在點(diǎn) 1 1 處切線的斜率等于 A 2eB eC 2D 1 8 5 分 正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上 若該棱錐的高為 4 底面邊長(zhǎng)為 2 則該球的表面積為 A B 16 C 9 D 9 5 分 已知雙曲線 C 的離心率為 2 焦點(diǎn)為 F1 F2 點(diǎn) A 在 C 上 若 F1A 2 F2A 則 cos AF2F1 A B C D 10 5 分 等比數(shù)列 an 中 a4 2 a5 5 則數(shù)列 lgan 的前 8 項(xiàng)和等于 A 6B 5C 4D 3 11 5 分 已知二面角 l 為 60 AB AB l A 為垂足 CD C l ACD 135 則異面 直線 AB 與 CD 所成角的余弦值為 A B C D 12 5 分 函數(shù) y f x 的圖象與函數(shù) y g x 的圖象關(guān)于直線 x y 0 對(duì)稱(chēng) 則 y f x 的反函數(shù)是 A y g x B y g x C y g x D y g x 二 填空題 本大題共二 填空題 本大題共 4 小題 每小題小題 每小題 5 分 分 13 5 分 的展開(kāi)式中 x2y2的系數(shù)為 用數(shù)字作答 14 5 分 設(shè) x y 滿足約束條件 則 z x 4y 的最大值為 15 5 分 直線 l1和 l2是圓 x2 y2 2 的兩條切線 若 l1與 l2的交點(diǎn)為 1 3 則 l1與 l2的夾角的正切 值等于 16 5 分 若函數(shù) f x cos2x asinx 在區(qū)間 是減函數(shù) 則 a 的取值范圍是 三 解答題三 解答題 17 10 分 ABC 的內(nèi)角 A B C 的對(duì)邊分別為 a b c 已知 3acosC 2ccosA tanA 求 B 18 12 分 等差數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn 已知 a1 13 a2為整數(shù) 且 Sn S4 1 求 an 的通項(xiàng)公式 2 設(shè) bn 求數(shù)列 bn 的前 n 項(xiàng)和 Tn 第 2頁(yè) 共 10頁(yè) 19 12 分 如圖 三棱柱 ABC A1B1C1中 點(diǎn) A1在平面 ABC 內(nèi)的射影 D 在 AC 上 ACB 90 BC 1 AC CC1 2 證明 AC1 A1B 設(shè)直線 AA1與平面 BCC1B1的距離為 求二面角 A1 AB C 的大小 20 12 分 設(shè)每個(gè)工作日甲 乙 丙 丁 4 人需使用某種設(shè)備的概率分別為 0 6 0 5 0 5 0 4 各 人是否需使用設(shè)備相互獨(dú)立 求同一工作日至少 3 人需使用設(shè)備的概率 X 表示同一工作日需使用設(shè)備的人數(shù) 求 X 的數(shù)學(xué)期望 21 12 分 已知拋物線 C y2 2px p 0 的焦點(diǎn)為 F 直線 y 4 與 y 軸的交點(diǎn)為 P 與 C 的交點(diǎn)為 Q 且 QF PQ 求 C 的方程 過(guò) F 的直線 l 與 C 相交于 A B 兩點(diǎn) 若 AB 的垂直平分線 l 與 C 相交于 M N 兩點(diǎn) 且 A M B N 四點(diǎn)在同一圓上 求 l 的方程 第 3頁(yè) 共 10頁(yè) 22 12 分 函數(shù) f x ln x 1 a 1 討論 f x 的單調(diào)性 設(shè) a1 1 an 1 ln an 1 證明 an n N 第 4頁(yè) 共 10頁(yè) 2014 年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷 理科 大綱版 年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷 理科 大綱版 參考答案與試題解析參考答案與試題解析 一 選擇題 本大題共一 選擇題 本大題共 12 小題 每小題小題 每小題 5 分 分 1 考點(diǎn) 虛數(shù)單位 i 復(fù)數(shù) A5 復(fù)數(shù)的運(yùn)算 菁優(yōu)網(wǎng)版 權(quán)所有 分析 直接由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn) 則 z 的共軛可求 解答 解 z 故選 故選 D 點(diǎn)評(píng) 本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算 考查了復(fù)數(shù)的基本概念 是基礎(chǔ)題 2 考點(diǎn) 交集及其運(yùn)算 菁優(yōu)網(wǎng)版 權(quán)所有 分析 求解一元二次不等式化簡(jiǎn)集合 M 然后直接利用交集運(yùn)算求解 解答 解 由 x2 3x 4 0 得 1 x 4 M x x2 3x 4 0 x 1 x 4 又 N x 0 x 5 M N x 1 x 4 x 0 x 5 0 4 故選 故選 B 點(diǎn)評(píng) 本題考查了交集及其運(yùn)算 考查了一元二次不等式的解法 是基礎(chǔ)題 3 考點(diǎn) 正切函數(shù)的單調(diào)性和周期性 菁優(yōu)網(wǎng)版 權(quán)所有 分析 可得 b sin35 易得 b a c tan35 sin35 綜合可得 解答 解 由誘導(dǎo)公式可得 b cos55 cos 90 35 sin35 由正弦函數(shù)的單調(diào)性可知 b a 而 c tan35 sin35 b c b a 故選 故選 C 點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)值大小的比較 涉及誘導(dǎo)公式和三角函數(shù)的單調(diào)性 屬基礎(chǔ)題 4 考點(diǎn) 平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 分析 由條件利用兩個(gè)向量垂直的性質(zhì) 可得 0 2 0 由此求得 解答 解 由題意可得 1 0 1 2 2 2 0 b2 2 則 故選 故選 B 點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量垂直的性質(zhì) 兩個(gè)向量垂直 則它們的數(shù)量積等于零 屬于基礎(chǔ)題 5 考點(diǎn) 排列 組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 分析 根據(jù)題意 分 2 步分析 先從 6 名男醫(yī)生中選 2 人 再?gòu)?5 名女醫(yī)生中選出 1 人 由組合數(shù) 公式依次求出每一步的情況數(shù)目 由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案 解答 解 根據(jù)題意 先從 6 名男醫(yī)生中選 2 人 有 C62 15 種選法 再?gòu)?5 名女醫(yī)生中選出 1 人 有 C51 5 種選法 則不同的選法共有 15 5 75 種 故選 故選 C 點(diǎn)評(píng) 本題考查分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用 注意區(qū)分排列 組合的不同 6 考點(diǎn) 橢圓的性質(zhì) 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 分析 利用 AF1B 的周長(zhǎng)為 4 求出 a 根據(jù)離心率為 可得 c 1 求出 b 即可得出橢 圓的方程 解答 解 AF1B 的周長(zhǎng)為 4 AF1B 的周長(zhǎng) AF1 AF2 BF1 BF2 2a 2a 4a 4a 4 a 離心率為 第 5頁(yè) 共 10頁(yè) c 1 b 橢圓 C 的方程為 1 故選 故選 A 點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的定義與方程 考查橢圓的幾何性質(zhì) 考查學(xué)生的計(jì)算能力 屬于基礎(chǔ)題 7 考點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)及其幾何意義 菁優(yōu)網(wǎng)版 權(quán)所有 分析 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出對(duì)應(yīng)的切線斜率 解答 解 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為 f x ex 1 xex 1 1 x ex 1 當(dāng) x 1 時(shí) f 1 2 即曲線 y xex 1 在點(diǎn) 1 1 處切線的斜率 k f 1 2 故選 故選 C 點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義 直接求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是解決本題的關(guān)鍵 比較基礎(chǔ) 8 考點(diǎn) 球的體積和表面積 LR 球內(nèi)接多面體 菁優(yōu)網(wǎng)版 權(quán)所有 分析 正四棱錐 P ABCD 的外接球的球心在它的高 PO1上 記為 O 求出 PO1 OO1 解出球的半 徑 求出球的表面積 解答 解 設(shè)球的半徑為 R 則 棱錐的高為 4 底面邊長(zhǎng)為 2 R2 4 R 2 2 R 球的表面積為 4 2 故選 故選 A 點(diǎn)評(píng) 本題考查球的表面積 球的內(nèi)接幾何體問(wèn)題 考查計(jì)算能力 是基礎(chǔ)題 9 考點(diǎn) 雙曲線的性質(zhì) 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 分析 根據(jù)雙曲線的定義 以及余弦定理建立方程關(guān)系即可得到結(jié)論 解答 解 雙曲線 C 的離心率為 2 e 即 c 2a 點(diǎn) A 在雙曲線上 則 F1A F2A 2a 又 F1A 2 F2A 解得 F1A 4a F2A 2a F1F2 2c 則由余弦定理得cos AF2F1 故選 故選 A 點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線的定義和運(yùn)算 利用離心率的定義和余弦定理是解決本題的關(guān)鍵 考查 學(xué)生的計(jì)算能力 10 考點(diǎn) 等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 分析 利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得 a1a8 a2a7 a3a6 a4a5 10 再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得出 解答 解 數(shù)列 an 是等比數(shù)列 a4 2 a5 5 a1a8 a2a7 a3a6 a4a5 10 lga1 lga2 lga8 lg a1a2 a8 4lg10 4 故選 故選 C 點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì) 對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) 屬于基礎(chǔ)題 第 6頁(yè) 共 10頁(yè) 11 考點(diǎn) 異面直線及其所成的角 菁優(yōu)網(wǎng)版 權(quán)所有 分析 首先作出二面角的平面角 然后再構(gòu)造出異面直線 AB 與 CD 所成角 利用解直角三角形和余 弦定理 求出問(wèn)題的答案 解答 解 如圖 過(guò) A 點(diǎn)做 AE l 使 BE 垂足為 E 過(guò)點(diǎn) A 做 AF CD 過(guò)點(diǎn) E 做 EF AE 連 接 BF AE l EAC 90 CD AF 又 ACD 135 FAC 45 EAF 45 在 Rt BEA 中 設(shè) AE a 則 AB 2a BE a 在 Rt AEF 中 則 EF a AF a 在 Rt BEF 中 則 BF 2a 異面直線 AB 與 CD 所成的角即是 BAF cos BAF 故選 故選 B 點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二面角和異面直線所成的角 關(guān)鍵是構(gòu)造二面角的平面角和異面直線所成的 角 考查了學(xué)生的空間想象能力和作圖能力 屬于難題 12 考點(diǎn) 反函數(shù) 菁優(yōu)網(wǎng)版 權(quán)所有 分析 設(shè) P x y 為 y f x 的反函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn) 則 P 關(guān)于 y x 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) P y x 一點(diǎn) 在 y f x 的圖象上 P y x 關(guān)于直線 x y 0 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) P x y 在 y g x 圖象上 代 入解析式變形可得 解答 解 設(shè) P x y 為 y f x 的反函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn) 則 P 關(guān)于 y x 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) P y x 一點(diǎn)在 y f x 的圖象上 又 函數(shù) y f x 的圖象與函數(shù) y g x 的圖象關(guān)于直線 x y 0 對(duì)稱(chēng) P y x 關(guān)于直線 x y 0 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) P x y 在 y g x 圖象上 必有 y g x 即 y g x y f x 的反函數(shù)為 y g x 故選 故選 D 點(diǎn)評(píng) 本題考查反函數(shù)的性質(zhì)和對(duì)稱(chēng)性 屬中檔題 二 填空題 本大題共二 填空題 本大題共 4 小題 每小題小題 每小題 5 分 分 13 70 考點(diǎn) 二項(xiàng)式定理 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 分析 先求出二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式 再令 x y 的冪指數(shù)都等于 2 求得 r 的值 即可求得展開(kāi) 式中 x2y2的系數(shù) 解答 解 的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為 Tr 1 1 r 1 r 令 8 4 2 求得 r 4 故展開(kāi)式中 x2y2的系數(shù)為 70 故答案為 70 點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) 二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式 求展開(kāi)式 中某項(xiàng)的系數(shù) 屬于中檔題 14 5 考點(diǎn) 簡(jiǎn)單線性規(guī)劃 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 分析 由約束條件作出可行域 化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式 由圖得到最優(yōu)解 聯(lián)立方程組求 第 7頁(yè) 共 10頁(yè) 出最優(yōu)解的坐標(biāo) 代入目標(biāo)函數(shù)得答案 解答 解 由約束條件作出可行域如圖 聯(lián)立 解得 C 1 1 化目標(biāo)函數(shù) z x 4y 為直線方程的斜截式 得 由圖可知 當(dāng)直線過(guò) C 點(diǎn)時(shí) 直線在 y 軸上的截距最大 z 最大 此時(shí) zmax 1 4 1 5 故答案為 5 點(diǎn)評(píng) 本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃 考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法 是中檔題 15 考點(diǎn) 兩直線的夾角與到角問(wèn)題 菁優(yōu)網(wǎng)版 權(quán)所有 分析 設(shè) l1與 l2的夾角為 2 由于 l1與 l2的交點(diǎn) A 1 3 在圓的外部 由直角三角形中的邊角關(guān) 系求得 sin 的值 可得 cos tan 的值 再根據(jù) tan2 計(jì)算求得結(jié)果 解答 解 設(shè) l1與 l2的夾角為 2 由于 l1與 l2的交點(diǎn) A 1 3 在圓的外部 且點(diǎn) A 與圓心 O 之間的距離為 OA 圓的半徑為 r sin cos tan tan2 故答案為 點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線和圓相切的性質(zhì) 直角三角形中的變角關(guān)系 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 二倍角的正切公式的應(yīng)用 屬于中檔題 16 2 考點(diǎn) HM 復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 分析 利用二倍角的余弦公式化為正弦 然后令 t sinx 換元 根據(jù)給出的 x 的范圍求出 t 的范圍 結(jié)合二次函數(shù)的圖象的開(kāi)口方向及對(duì)稱(chēng)軸的位置列式求解 a 的范圍 解答 解 由 f x cos2x asinx 2sin2x asinx 1 令 t sinx 則原函數(shù)化為 y 2t2 at 1 x 時(shí) f x 為減函數(shù) 則 y 2t2 at 1 在 t 1 上為減函數(shù) y 2t2 at 1 的圖象開(kāi)口向下 且對(duì)稱(chēng)軸方程為 t 解得 a 2 a 的取值范圍是 2 故答案為 2 點(diǎn)評(píng) 本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性 考查了換元法 關(guān)鍵是由換元后函數(shù)為減函數(shù)求得二次函數(shù)的 對(duì)稱(chēng)軸的位置 是中檔題 三 解答題三 解答題 17 解答 解 3acosC 2ccosA 由正弦定理可得 3sinAcosC 2sinCcosA 3tanA 2tanC 第 8頁(yè) 共 10頁(yè) tanA 2tanC 3 1 解得 tanC tanB tan A C tan A C 1 B 0 B 點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理 同角的三角函數(shù)基本關(guān)系式 兩角和差的正切公式 誘導(dǎo)公式等基礎(chǔ) 知識(shí)與基本技能方法 考查了推理能力和計(jì)算能力 屬于中檔題 18 考點(diǎn) 8E 數(shù)列的求和 菁優(yōu)網(wǎng)版 權(quán)所有 專(zhuān)題 55 點(diǎn)列 遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法 分析 1 通過(guò) Sn S4得 a4 0 a5 0 利用 a1 13 a2為整數(shù)可得 d 4 進(jìn)而可得結(jié)論 2 通過(guò) an 13 3n 分離分母可得 bn 并項(xiàng)相加即可 解答 解 1 在等差數(shù)列 an 中 由 Sn S4得 a4 0 a5 0 又 a1 13 解得 d a2為整數(shù) d 4 an 的通項(xiàng)為 an 17 4n 2 an 17 4n bn 于是 Tn b1 b2 bn 點(diǎn)評(píng) 本題考查求數(shù)列的通項(xiàng)及求和 考查并項(xiàng)相加法 注意解題方法的積累 屬于中檔題 19 解答 解 A1D 平面 ABC A1D 平面 AA1C1C 平面 AA1C1C 平面 ABC 又 BC AC BC 平面 AA1C1C 連結(jié) A1C 由側(cè)面 AA1C1C 為菱形可得 AC1 A1C 又 AC1 BC A1C BC C AC1 平面 A1BC AB1 平面 A1BC AC1 A1B BC 平面 AA1C1C BC 平面 BCC1B1 平面 AA1C1C 平面 BCC1B1 作 A1E CC1 E 為垂足 可得 A1E 平面 BCC1B1 又直線 AA1 平面 BCC1B1 A1E 為直線 AA1與平面 BCC1B1的距離 即 A1E A1C 為 ACC1的平分線 A1D A1E 作 DF AB F 為垂足 連結(jié) A1F 又可得 AB A1D A1F A1D A1 AB 平面 A1DF A1F 平面 A1DF A1F AB A1FD 為二面角 A1 AB C 的平面角 由 AD 1 可知 D 為 AC 中點(diǎn) DF tan A1FD 二面角 A1 AB C 的大小為 arctan 第 9頁(yè) 共 10頁(yè) 點(diǎn)評(píng) 本題考查二面角的求解 作出并證明二面角的平面角是解決問(wèn)題的關(guān)鍵 屬中檔題 20 解答 解 由題意可得 同一工作日至少 3 人需使用設(shè)備 的概率為 0 6 0 5 0 5 0 4 1 0 6 0 5 0 5 0 4 0 6 1 0 5 0 5 0 4 0 6 0 5 1 0 5 0 4 0 6 0 5 0 5 1 0 4 0 31 X 的可能取值為 0 1 2 3 4 P X 0 1 0 6 0 52 1 0 4 0 06 P X 1 0 6 0 52 1 0 4 1 0 6 0 52 0 4 1 0 6 2 0 52 1 0 4 0 25 P X 4 P A2 B C 0 52 0 6 0 4 0 06 P X 3 P D P X 4 0 25 P X 2 1 P X 0 P X 1 P X 3 P X 4 1 0 06 0 25 0 25 0 06 0 38 故數(shù)學(xué)期望 EX 0 0 06 1 0 25 2 0 38 3 0 25 4 0 06 2 點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了獨(dú)立事件的概率和數(shù)學(xué)期望 關(guān)鍵是找到獨(dú)立的事件 計(jì)算要有耐心 屬于 難題 21 解答 解 設(shè)點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為 x0 4 把點(diǎn) Q 的坐標(biāo)代入拋物線 C y2 2px p 0 可得 x0 點(diǎn) P 0 4 PQ 又 QF x0 QF PQ 求得 p 2 或 p 2 舍去 故 C 的方程為 y2 4x 由題意可得 直線 l 和坐標(biāo)軸不垂直 y2 4x 的焦點(diǎn) F 1 0 設(shè) l 的方程為 x my 1 m 0 代入拋物線方程可得 y2 4my 4 0 顯然判別式 16m2 16 0 y1 y2 4m y1 y2 4 AB 的中點(diǎn)坐標(biāo)為 D 2m2 1 2m 弦長(zhǎng) AB y1 y2 4 m2 1 又直線 l 的斜率為 m 直線 l 的方程為 x y 2m2 3 過(guò) F 的直線 l 與 C 相交于 A B 兩點(diǎn) 若 AB 的垂直平分線 l 與 C 相交于 M N 兩點(diǎn) 把線 l 的方程代入拋物線方程可得 y2 y 4 2m2 3 0 y3 y4 y3 y4 4 2m2 3 故線段