高中數(shù)學(xué)必修一函數(shù) 解題方法.doc

必修一函數(shù)習(xí)題課函數(shù)習(xí)題課(I) 函數(shù)定義域和值域的求法1、 求函數(shù)定義域的方法 (一) 直接法求定義域 關(guān)注一些特殊函數(shù)的定義域或關(guān)注一些特殊的取值，從而使得函數(shù)有意義，直接限制自變量的取值范圍。 一般需要關(guān)注的解題要點(diǎn)：（1）分母不為零 （2）偶次根式的被開方數(shù)非負(fù)。（3）對(duì)數(shù)中的真數(shù)部分大于0。 （4）指數(shù)、對(duì)數(shù)的底數(shù)大于0，且不等于1 （5）y=tanx中xk+/2；y=cotx中xk等等。( 6 )中x例1 求下列函數(shù)定義域 (2) 解題時(shí)要關(guān)注定義域 函數(shù)的三要素是定義域，值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系。其中定義域是規(guī)定函數(shù)自變量取值范圍的關(guān)鍵，是題目限制條件的體現(xiàn)。由于常常被忽略，因此是命題人常將隱含條件設(shè)計(jì)于其中。若想正確地解決函數(shù)相關(guān)問(wèn)題，必須在解題時(shí)關(guān)注定義域，把它明確地寫出來(lái)。例2 已知函數(shù)，求函數(shù)的最大值。例3 求函數(shù) 的單調(diào)增區(qū)間。(3) 有關(guān)抽象函數(shù)的定義域問(wèn)題 抽象函數(shù)的自變量始終是x(或其他字母)，但是由于對(duì)應(yīng)法則所作用的x形式不同(如x+2,x2 等)，于是就有了有關(guān)抽象函數(shù)的定義域問(wèn)題。解決抽象函數(shù)的定義域問(wèn)題需要緊緊抓住一點(diǎn)：括號(hào)里面的所有代數(shù)式的取值范圍是相同的。例4 已知函數(shù)的定義域?yàn)?,2，求的定義域。例5 已知函數(shù)的定義域?yàn)?-1,5，求的定義域。例6 已知函數(shù)的定義域?yàn)?,2，求的定義域。2、 求函數(shù)值域的方法(1) 層層分析法(直接法) 這種方法適合值域明顯的復(fù)合函數(shù)或多個(gè)值域明顯的函數(shù)相加減得到的函數(shù)求值域。在分析的題目中常常以分式為背景，當(dāng)遇到分式上下都有自變量x的時(shí)候，要注意分離常數(shù)法的例7 求函數(shù)的值域。例8 求函數(shù) 的值域例9 求函數(shù)的值域例10 求函數(shù)的值域(2) 換元法 常用來(lái)處理含根式的函數(shù)求值域。分以下幾種情況：1. 出現(xiàn)單根式時(shí)用代數(shù)換元 例11 求函數(shù)的值域 例12 求函數(shù)的值域2. 出現(xiàn)平方和為定值(常有雙根式)時(shí)用三角換元 例13 求函數(shù)的值域 例14 求函數(shù)的值域3. 出現(xiàn)指數(shù)或高次函數(shù)有時(shí)也用換元法 另例 求函數(shù) 的值域(3) 幾何意義法 利用函數(shù)的幾何意義將函數(shù)轉(zhuǎn)化成距離的和或差從而利用數(shù)形結(jié)合的方法處理函數(shù)的值域。常用來(lái)解決含絕對(duì)值函數(shù)，含根式的函數(shù)的值域問(wèn)題。1. 出現(xiàn)絕對(duì)值時(shí)轉(zhuǎn)化成數(shù)軸上兩點(diǎn)的和與差 例15 求函數(shù)的值域2. 出現(xiàn)雙根式時(shí)考慮兩點(diǎn)間距離 例16 求函數(shù)的值域 例17 求函數(shù)的值域3. 出現(xiàn)絕對(duì)值時(shí)也可以考慮轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線距離 例18 求函數(shù)的值域4. 出現(xiàn)分式時(shí)可以考慮轉(zhuǎn)化為斜率 例19 求函數(shù)的值域函數(shù)習(xí)題課(II)函數(shù)解析式的求法，分段函數(shù)1、 函數(shù)解析式的求法 (一)待定系數(shù)法 若題目中已經(jīng)明確給出了函數(shù)的形式(如一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等)可以利用待定系數(shù)法現(xiàn)將函數(shù)解析式設(shè)出，再利用題目已經(jīng)給出的關(guān)系進(jìn)行帶入化簡(jiǎn)，通過(guò)對(duì)比系數(shù)進(jìn)行對(duì)于函數(shù)解析式的確定。 例1 已知一次函數(shù)，且，求解析式 (二)拼湊換元法 已知復(fù)合函數(shù)的解析式時(shí)，通過(guò)在已知的解析式中拼湊出或通過(guò)換元法對(duì)解析式進(jìn)行處理后得到解析式。重要的是不能忽略拼湊或換元前后定義域的變化。 例2 已知，求的解析式 例3 已知，求的解析式 (三)方程組法求解析式 同時(shí)出現(xiàn)等有關(guān)的函數(shù)解析式時(shí)，常用列方程組的方法來(lái)求解析式。 例4 設(shè)為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且，試求，的解析式 (四)抽象函數(shù)求解析式 解決抽象函數(shù)問(wèn)題的一種最常用的方法就是賦值法。當(dāng)抽象函數(shù)相關(guān)的題目中先給出了某一函數(shù)值，后續(xù)的解題過(guò)程中必然會(huì)用到賦值法，從而簡(jiǎn)便運(yùn)算。 例5 已知，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，等式恒成立，求 例6 設(shè)是定義在上的函數(shù)，且滿足。對(duì)任意自然數(shù)都有等式成立，求2、 分段函數(shù)問(wèn)題 在給出了分段函數(shù)解析式的問(wèn)題中，主要有三類問(wèn)題：一是求函數(shù)值，特別是求復(fù)合函數(shù)的值，其方法是當(dāng)自變量在不同的區(qū)間段上時(shí)，帶入不同的解析式；二是研究這個(gè)分段函數(shù)的單調(diào)性，方法是根據(jù)函數(shù)在各個(gè)區(qū)間段上的單調(diào)性，整合為整個(gè)定義域上的單調(diào)性；三是求最值，其方法是求出函數(shù)在各個(gè)區(qū)間段上的最值，這些最值中最大的是分段函數(shù)的最大值，最小的是分段函數(shù)的最小值。分段函數(shù)的易錯(cuò)點(diǎn)在于各定義域分界點(diǎn)處函數(shù)值的大小。此外，分段函數(shù)常用數(shù)形結(jié)合法分析。 例7 已知函數(shù)，求方程的實(shí)根個(gè)數(shù) 例8 已知函數(shù)，求的值 例9 設(shè)函數(shù)，若，則關(guān)于x的方程的解的個(gè)數(shù)為 例10 已知函數(shù) (1)求的值域 (2)設(shè)函數(shù)，若對(duì)于任意，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍函數(shù)習(xí)題課(III)函數(shù)的單調(diào)性和最值1、 函數(shù)的單調(diào)性 (一)證明函數(shù)的單調(diào)性 必修一當(dāng)中對(duì)于函數(shù)單調(diào)性的證明僅限于用定義證明，因此難度不是太大，經(jīng)常在單調(diào)性的證明過(guò)程中考察指對(duì)數(shù)運(yùn)算，新定義的學(xué)習(xí)能力等。破解方法即熟練掌握證明方法，并仔細(xì)審題，通過(guò)題目給出的條件進(jìn)行運(yùn)算，拼湊定義。 常用的幾種處理方法：因式分解，通分，分子有理化，配方，構(gòu)造(抽象函數(shù)) 例1 證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增 例2 求函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性 例3 求函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性 例4 證明函數(shù)在上為增函數(shù) 例5 對(duì)任意，函數(shù)都有，且當(dāng) 求證：在上為增函數(shù) (二)利用函數(shù)的單調(diào)性解決問(wèn)題 1.利用函數(shù)的單調(diào)性識(shí)圖 在選擇題中常出現(xiàn)一些需要選擇函數(shù)圖像的題目，這時(shí)利用單調(diào)性進(jìn)行排除就是一種很好的方法。此類識(shí)圖題目有幾個(gè)關(guān)注點(diǎn)：定義域，端點(diǎn)值，特殊值，單調(diào)性。 例6 函數(shù)的圖象大致是 2.利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小 在選擇題中也常出現(xiàn)一些比較函數(shù)值大小的題目，這類題常利用函數(shù)在一些區(qū)間上的單調(diào)性來(lái)解決。但題目往往不會(huì)僅用函數(shù)的單調(diào)性便可以解決，常常需要結(jié)合函數(shù)的其他性質(zhì)(如奇偶性，周期性等)將自變量轉(zhuǎn)換到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間中后，再進(jìn)行比較。 例7 定義在R上的偶函數(shù)滿足：對(duì)任意的，有，則當(dāng)時(shí)，求的大小關(guān)系 例8 已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，試比較的大小關(guān)系 例9 定義在R上的奇函數(shù)，滿足，且在區(qū)間上是增函數(shù)，試比較的大小關(guān)系 3.利用函數(shù)的單調(diào)性解函數(shù)不等式 此類題目涉及的函數(shù)一般在題目中都會(huì)通過(guò)一些條件加以限制，從而使它在需要進(jìn)行求解的范圍內(nèi)是單調(diào)的。因此解決此類題目只需要將單調(diào)性正確解出，再比較需要比較的兩個(gè)自變量的大小關(guān)系即可。 例10 若偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，求不等式的解集 例11 解不等式2、 函數(shù)的最值 函數(shù)的最值作為函數(shù)在特定區(qū)間上的一個(gè)基本特征，在理解上沒有難點(diǎn)，因此在命題上也很少單獨(dú)考察，一般題目常以求最值為最終命題要求，實(shí)際考察函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性和周期性等性質(zhì)。 【方法技巧】求函數(shù)最值的方法：(1)利用已知函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的最值：如二次函數(shù)；(2)利用圖象數(shù)形結(jié)合求函數(shù)的最值；(3)利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，這種情況下的函數(shù)一般為連續(xù)函數(shù)，且求最值時(shí)給出的單調(diào)區(qū)間常為閉區(qū)間(暗示端點(diǎn)值可能為最值) 例12 已知函數(shù)的最大值為M，最小值為m，求的值 例13 求函數(shù)的最大值 例14 如果函數(shù)對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，都有，且當(dāng)時(shí)，那么求函數(shù)在上的最大值與最小值之和。 Tip: 由于奇函數(shù)具有關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的性質(zhì)，因此常常有最值的奇函數(shù)，會(huì)出現(xiàn)在求最大值和最小值之和的題目中，此時(shí)最大值和最小值之和為0. 因此題目問(wèn)最大值和最小值之和時(shí)，要注意函數(shù)的奇偶性，也許可以使運(yùn)算更加簡(jiǎn)便。函數(shù)習(xí)題課(IV)函數(shù)的奇偶性，周期性 這一部分應(yīng)該是函數(shù)題目中的重頭戲。涉及到函數(shù)題目中的創(chuàng)新性題目，由于奇偶性和周期性可以利用抽象函數(shù)表示，且表示的形式非常多樣，奇偶性和周期性特別受到命題人的青睞。破解奇偶性和周期性相關(guān)題目的方法只有一個(gè)：熟練掌握相關(guān)的抽象性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合法畫出函數(shù)圖像解題。 一、函數(shù)的奇偶性【知識(shí)儲(chǔ)備】1.偶函數(shù)在定義域上必有，奇函數(shù)在定義域上必有。 2.上面兩式還有等價(jià)形式：(1)偶函數(shù)，奇函數(shù) (2)偶函數(shù)，奇函數(shù)，前兩式均有 3.判斷函數(shù)奇偶性的步驟：(1)判斷定義域，具有奇偶性的函數(shù)的定義域一定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。若某函數(shù)的定義域就不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么此函數(shù)一定不具備奇偶性。(2)根據(jù)定義式判斷函數(shù)的特征，注意一定要兩個(gè)式子都進(jìn)行驗(yàn)證，因?yàn)榇嬖诩绕嬗峙己瘮?shù)，也存在非奇非偶函數(shù)。 4.函數(shù)奇偶性的相關(guān)結(jié)論：(1)偶函數(shù)的和，差，商，積仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的和，差仍為奇函數(shù)，但商，積為偶函數(shù)。奇函數(shù)和偶函數(shù)的商，積為奇函數(shù)。 (2)函數(shù)與，具有相同的奇偶性 (3)*復(fù)合函數(shù)的奇偶性判斷：內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外。題型示例：1.判斷函數(shù)的奇偶性 這類題目一般使用定義法判斷函數(shù)的奇偶性，但是需要特別注意既奇又偶函數(shù)。 例1 定義兩種運(yùn)算：，判斷函數(shù)的奇偶性 例2 設(shè)為有理數(shù)集，函數(shù),，函數(shù)的奇偶性 例3 若是R上周期為5的奇函數(shù)，且滿足，求的值 例4 函數(shù)的定義域?yàn)镽，且滿足：是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，若，求的值 例5 已知函數(shù)在(-1,1)上有定義，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，0，且對(duì)任意都有，試證明： (1)為奇函數(shù)； (2)在定義域上單調(diào)遞減 二、函數(shù)的周期性 【知識(shí)儲(chǔ)備】1.如果存在非零常數(shù)T使得對(duì)函數(shù)定義域內(nèi)的任意x，都有，則函數(shù)稱為周期函數(shù)，是其一個(gè)周期。 2. 關(guān)于函數(shù)周期性的一些變形結(jié)論： (1) 若滿足，則函數(shù)為周期函數(shù)，且 (2) 若滿足，則函數(shù)為周期函數(shù)，且 (3) 若滿足，則函數(shù)為周期函數(shù)，且 (4)