廣東省高考數(shù)學(xué) 2.3函數(shù)的奇偶性與周期性配套課件 理 新人教A版.ppt

第三節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性 三年11考高考指數(shù) 1 結(jié)合具體函數(shù) 了解函數(shù)奇偶性的含義 2 會運(yùn)用函數(shù)的圖象理解和研究函數(shù)的奇偶性 3 了解函數(shù)周期性 最小正周期的含義 會判斷 應(yīng)用簡單函數(shù)的周期性 1 函數(shù)的奇偶性 周期性的應(yīng)用是高考的重要考點(diǎn) 2 常與函數(shù)的圖象 單調(diào)性 對稱性 零點(diǎn)等綜合命題 3 多以選擇 填空題的形式出現(xiàn) 屬中低檔題目 1 奇函數(shù) 偶函數(shù)的定義對于函數(shù)f x 的定義域內(nèi)的任意一個x 1 f x 為偶函數(shù) 2 f x 為奇函數(shù) f x f x f x f x 即時應(yīng)用 1 判斷下列六個函數(shù)是否是奇函數(shù) 請?jiān)诶ㄌ栔刑?是 或 否 y x2 x y sin3x y x y 3x 3 x y x cosx y x2 x 1 1 2 已知f x ax2 bx是定義在 a 1 2a 上的偶函數(shù) 那么a b的值是 3 已知f x 為r上的奇函數(shù) 且當(dāng)x 0時 f x x2 則f x 解析 1 由奇函數(shù) 偶函數(shù)定義知 函數(shù) 為偶函數(shù) 為奇函數(shù) 是非奇非偶函數(shù) 2 由已知得解得 f x 又f x f x 即又 b 0 故a b 3 由題意知f 0 0 當(dāng)x0 f x x 2 x2 又f x f x f x x2 綜上 答案 1 否 是 是 是 否 否 2 3 2 奇 偶函數(shù)圖象的性質(zhì) 1 奇函數(shù)圖象的特征 關(guān)于 對稱 2 偶函數(shù)圖象的特征 關(guān)于 對稱 原點(diǎn) y軸 即時應(yīng)用 1 思考 函數(shù)f x x sinx g x x sinx各自圖象有何對稱性 提示 f x 為奇函數(shù) 所以其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱 g x 為偶函數(shù) 所以其圖象關(guān)于y軸對稱 2 已知y f x 是偶函數(shù) 且其圖象與x軸有5個交點(diǎn) 則方程f x 0的所有實(shí)根之和是 解析 由于偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱 故其與x軸的5個交點(diǎn)亦關(guān)于y軸對稱 或在y軸上 故其和為0 答案 0 3 周期性 1 周期函數(shù) t為函數(shù)f x 的一個周期 則需滿足的條件 t 0 對定義域內(nèi)的任意x都成立 2 最小正周期 如果在周期函數(shù)f x 的所有周期中存在一個 那么這個 就叫做它的最小正周期 f x t f x 最小的正數(shù) 最小的正數(shù) 即時應(yīng)用 1 已知函數(shù)f x 對 都有f x 4 f x 且x 0 2 時 f x 2012x2 則f 2013 2 函數(shù)f x 對于任意實(shí)數(shù)x滿足條件f x 1 f x 則f x 的最小正周期為 解析 1 f x 4 f x f x 的最小正周期為4 f 2013 f 503 4 1 f 1 2012 12 2012 2 f x 1 f x f x 2 f x 1 1 f x 1 f x f x 最小正周期為2 答案 1 2012 2 2 判斷函數(shù)的奇偶性 方法點(diǎn)睛 判斷函數(shù)奇偶性的常用方法及思路 1 定義法 2 圖象法 3 性質(zhì)法 用奇 偶函數(shù)的性質(zhì)來判斷其和差積商函數(shù)的奇偶性 奇函數(shù) 奇函數(shù) 偶函數(shù) 偶函數(shù) 偶函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 奇函數(shù) 偶函數(shù) 偶函數(shù) 提醒 性質(zhì)法 中的結(jié)論是在兩個函數(shù)的公共定義域內(nèi)才成立的 例1 判斷下列函數(shù)的奇偶性 1 f x x3 x 2 f x 3 f x 解題指南 由奇偶性的定義 先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱 再計(jì)算f x 并判斷其與f x 的關(guān)系 從而得出函數(shù)的奇偶性 規(guī)范解答 1 顯然函數(shù)f x 的定義域?yàn)閞 關(guān)于原點(diǎn)對稱 又 f x x 3 x x3 x f x f x 為奇函數(shù) 2 使f x 有意義 則有 0且1 x 0 解得函數(shù)的定義域?yàn)?1 1 不關(guān)于原點(diǎn)對稱 因此函數(shù)f x 既不是奇函數(shù) 也不是偶函數(shù) 3 顯然函數(shù)f x 的定義域?yàn)?0 0 關(guān)于原點(diǎn)對稱 當(dāng)x0 則f x x 2 x x2 x f x 當(dāng)x 0時 x 0 則f x x 2 x x2 x f x 綜上可知 對于定義域內(nèi)的任意x 總有f x f x 成立 函數(shù)f x 為奇函數(shù) 互動探究 若將本例 2 的函數(shù)改為f x 其奇偶性又如何呢 解析 易知函數(shù)f x 的定義域?yàn)?1 0 0 1 關(guān)于原點(diǎn)對稱 f x 又 f x 函數(shù)f x 為奇函數(shù) 反思 感悟 利用定義法判斷函數(shù)奇偶性時 先求定義域 當(dāng)解析式較復(fù)雜時 要在定義域內(nèi)先化簡 再計(jì)算f x 否則可能得到錯誤結(jié)論 變式備選 判斷下列函數(shù)的奇偶性 1 f x 2 f x 3 f x 解析 1 由得x 1或x 1 函數(shù)f x 的定義域?yàn)?1 1 又對于定義域內(nèi)的任意x f x 0 f x 函數(shù)f x 既是奇函數(shù) 又是偶函數(shù) 2 顯然函數(shù)的定義域?yàn)閞 又 f x 函數(shù)f x 為奇函數(shù) 3 由得 2 x 2且x 0 函數(shù)f x 的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱 f x 又 f x 函數(shù)f x 為奇函數(shù) 應(yīng)用函數(shù)奇偶性 方法點(diǎn)睛 應(yīng)用函數(shù)奇偶性可解決的問題及方法 1 已知函數(shù)的奇偶性 求函數(shù)值將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解 2 已知函數(shù)的奇偶性求解析式將待求區(qū)間上的自變量 轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上 再利用奇偶性求出 或充分利用奇偶性構(gòu)造關(guān)于f x 的方程 組 從而得到f x 的解析式 3 已知函數(shù)的奇偶性 求函數(shù)解析式中參數(shù)的值常常利用待定系數(shù)法 利用f x f x 0得到關(guān)于待求參數(shù)的恒等式 由系數(shù)的對等性得參數(shù)的值或方程求解 4 應(yīng)用奇偶性畫圖象和判斷單調(diào)性利用奇偶性可畫出另一對稱區(qū)間上的圖象及判斷另一區(qū)間上的單調(diào)性 例2 1 2011 安徽高考 設(shè)f x 是定義在r上的奇函數(shù) 當(dāng)x 0時 f x 2x2 x 則f 1 a 3 b 1 c 1 d 3 2 2012 惠州模擬 若函數(shù)f x x2 m 1 x 3為偶函數(shù) 則m a 2 b 1 c 1 d 2 3 已知偶函數(shù)f x 在區(qū)間 0 上單調(diào)遞增 則滿足f 2x f 的x的取值范圍是 解題指南 1 將求f 1 的值轉(zhuǎn)化為求f 1 的值的問題求解 2 由題意可知f x f x 0 從而得到關(guān)于x的恒等式 再構(gòu)建m的方程求解 3 根據(jù)奇偶性得到f 2x f 2x 將原不等式轉(zhuǎn)化為f 2x f 從而求解 規(guī)范解答 1 選a 由奇函數(shù)的定義有f x f x 所以f 1 f 1 2 1 2 1 3 2 選c 由題意知f x f x 即x2 m 1 x 3 x 2 m 1 x 3 2 m 1 x 0 x r m 1 f 2x f 2x 又f x 在 0 上單調(diào)遞增 由f 2x f 得 2x 解得 0 x 互動探究 在本例 1 中的條件下求f x 在r上的解析式 解析 當(dāng)x 0時 x 0 又x 0時 f x 2x2 x f x 2 x 2 x 2x2 x 又f x f x 即 f x 2x2 x f x 2x2 x 綜上 f x 反思 感悟 利用函數(shù)的奇偶性可將未知區(qū)間上的求函數(shù)值 求解析式 作圖象 判定單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值 解析式 圖象 單調(diào)性問題求解 充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化與化歸思想 變式備選 奇函數(shù)f x 的定義域?yàn)?5 5 若當(dāng)x 0 5 時 f x 的圖象如圖所示 則不等式f x 0的解集是 解析 由奇函數(shù)圖象對稱性補(bǔ)出其在 5 0 上的圖象 由圖象知解集為 2 0 2 5 答案 2 0 2 5 函數(shù)的周期性及其應(yīng)用 方法點(diǎn)睛 1 判斷函數(shù)周期性的幾個常用結(jié)論若對于函數(shù)f x 定義域內(nèi)的任意一個x都有 f x a f x a 0 則函數(shù)f x 必為周期函數(shù) 2 a 是它的一個周期 f x a 則函數(shù)f x 必為周期函數(shù) 2 a 是它的一個周期 f x a 則函數(shù)f x 必為周期函數(shù) 2 a 是它的一個周期 2 應(yīng)用函數(shù)周期性的兩個結(jié)論如果t是函數(shù)y f x 的周期 則 kt k z k 0 也是函數(shù)y f x 的周期 即f x kt f x 若已知區(qū)間 m n m n 上的圖象 則可畫出區(qū)間 m kt n kt k z k 0 上的圖象 例3 2011 新課標(biāo)全國卷改編 已知函數(shù)f x 對任意的實(shí)數(shù)x滿足 f x 1 且當(dāng)x 1 1 時 f x x2 1 求f 2012 2 確定函數(shù)y f x 的圖象與函數(shù)y lgx 的圖象的交點(diǎn)個數(shù) 解題指南 解答 1 題需先由f x 1 探究出函數(shù)f x 的周期 進(jìn)而利用周期性 求f 2012 2 作出y f x 及y lgx 的圖象 從而使問題得解 規(guī)范解答 1 對任意x r 都有f x 1 f x 2 f x 1 1 f x 是以2為周期的函數(shù) f 2012 f 2 1006 0 f 0 02 0 2 根據(jù)f x 的周期性及f x 在 1 1 上的解析式可作圖如下可驗(yàn)證當(dāng)x 10時 y lg10 1 x 10時 lgx 1 因此結(jié)合圖象及數(shù)據(jù)特點(diǎn)y f x 與y lgx 的圖象交點(diǎn)共有10個 反思 感悟 已知周期函數(shù)在長度為一個周期的區(qū)間上的解析式或圖象 則可求在其他區(qū)間上的函數(shù)值 解析式或畫出其他區(qū)間上的圖象 關(guān)鍵是用好其周期性進(jìn)行轉(zhuǎn)化 變式訓(xùn)練 設(shè)f x 是定義在r上的奇函數(shù) 且對任意實(shí)數(shù)x 恒有f x 2 f x 當(dāng)x 0 2 時 f x 2x x2 1 求證 f x 是周期函數(shù) 2 當(dāng)x 2 4 時 求f x 的解析式 3 計(jì)算f 0 f 1 f 2 f 2013 解析 1 f x 2 f x f x 4 f x 2 f x f x 是周期為4的周期函數(shù) 2 當(dāng)x 2 0 時 x 0 2 由已知得f x 2 x x 2 2x x2 又f x 是奇函數(shù) f x f x 2x x2 f x x2 2x 又當(dāng)x 2 4 時 x 4 2 0 f x 4 x 4 2 2 x 4 又f x 是周期為4的周期函數(shù) f x f x 4 x 4 2 2 x 4 x2 6x 8 從而求得x 2 4 時 f x x2 6x 8 3 f 0 0 f 2 0 f 1 1 f 3 1 又f x 是周期為4的周期函數(shù) f 0 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 2008 f 2009 f 2010 f 2011 0 f 0 f 1 f 2 f 2013 f 0 f 1 0 1 1 創(chuàng)新探究 創(chuàng)新應(yīng)用函數(shù)的奇偶性與周期性 典例 2011 福建高考 對于函數(shù)f x asinx bx c 其中 a b r c z 選取a b c的一組值計(jì)算f 1 和f 1 所得出的正確結(jié)果一定不可能是 a 4和6 b 3和1 c 2和4 d 1和2 解題指南 解答本題需根據(jù)函數(shù)f x 解析式的結(jié)構(gòu)特征 構(gòu)造奇函數(shù)g x f x c 然后利用奇函數(shù)的性質(zhì) g 1 g 1 0 探究出f 1 f 1 與c的關(guān)系 從而由c z限定f 1 與f 1 不可能的取值 規(guī)范解答 選d 令g x f x c asinx bx g x asin x b x asinx bx g x g x 為定義在r上的奇函數(shù) 則由奇函數(shù)的性質(zhì) 得 g 1 g 1 0 即f 1 f 1 2c 0 f 1 f 1 2c 又c z f 1 f 1 是偶數(shù) 而選項(xiàng)中只有d中兩數(shù)和為奇數(shù) 故選d 閱卷人點(diǎn)撥 通過對本題的深入研究 我們得到以下創(chuàng)新點(diǎn)撥及備考建議 1 2011 山東高考 已知f x 是r上最小正周期為2的周期函數(shù) 且當(dāng)0 x 2時 f x x3 x 則函數(shù)y f x 的圖象在區(qū)間 0 6 上與x軸的交點(diǎn)個數(shù)為 a 6 b 7 c 8 d 9 解析 選b 令f x x3 x 0 即x x 1 x 1 0 所以x 0 1 1 因?yàn)? x 2 所以此時函數(shù)的零點(diǎn)有兩個 即與x軸的交點(diǎn)個數(shù)為2 因?yàn)閒 x 是r上最小正周期為2的周期函數(shù) 所以2 x 4 4 x 6上也分別有兩個零點(diǎn) 由f 6 f 4 f 2 f 0 0 知f 6 也是函數(shù)的零點(diǎn) 所以函數(shù)y f x 的圖象在區(qū)間 0 6 上與x軸的交點(diǎn)個數(shù)為7 2 2012 汕頭模擬 a 0 是 函數(shù)y ln x a 為偶函數(shù) 的 a 充要條件 b 充分不必要條件 c 必要不充分條件 d 既不充分也不必要條件 解析 選a 當(dāng)a 0時 y ln x a 即y ln x 是偶函數(shù) 若y ln x a 是偶函數(shù) 則對任意x有l(wèi)n x a ln x a 即對任意x有4ax 0 所以a 0 選a 3 2011 湖南高考 已知f x 為奇函數(shù) g x f x 9 g 2 3 則f 2 解析 因?yàn)閒 x g x 9是奇函數(shù) 所以f x f x g x 9 g x 9 g 2 9 g 2 9 g 2 3 g 2 15 所以f 2 g 2 9 6 答案 6 4 2011 浙江高考 若函數(shù)f x x2 x a 為偶函數(shù) 則實(shí)數(shù)a 解析 方法一 f x 為偶函數(shù) f x f x 即x2 x a x 2 x a x a x a 恒成立 a 0 方法二 函數(shù)y x2為偶函數(shù) 函數(shù)y x a 是由偶函數(shù)y x 向左或向右平移了 a 個單位 要使整個函數(shù)為偶函數(shù) 則需a 0 答案 0