隨機信號分析課件第6章.ppt

隨機過程 第六章 正態(tài)隨機過程 第六章 正態(tài)隨機過程 6 1隨機變量特征函數(shù)的回顧6 2多維正態(tài)隨機變量的定義與協(xié)方差矩6 3n維正態(tài)隨機變量的性質(zhì)6 4正態(tài)隨機過程的定義6 5正態(tài)隨機過程的性質(zhì) 如果對一個隨機過程任意選取n個時刻 則得到n個相應(yīng)的隨機變量 若此n個隨機變量的聯(lián)合分布是n維正態(tài)分布 則稱隨機過程X t 是正態(tài)隨機過程 高斯過程 正態(tài)隨機過程定義 隨機變量的特征函數(shù) 隨機變量的概率密度函數(shù)和特征函數(shù)之間存在一一對應(yīng)關(guān)系 這個關(guān)系就是Fourier變換對 因此在得知隨機變量的特征函數(shù)后 就可以知道它的概率密度函數(shù) 6 1隨機變量特征函數(shù)的回顧 設(shè)為隨機變量 稱的數(shù)學(xué)期望為隨機變量的特征函數(shù) 記為 已知特征函數(shù) 求概率密度函數(shù) Fourier反變換 1 特征函數(shù)的定義 連續(xù)型 離散型 解 解答 詳細(xì)解答見教材P8例題1 2 例題6 1 結(jié)論 具有 X的特征函數(shù)為 則Y aX b的特征函數(shù)為 證明 2 特征函數(shù)的性質(zhì) 證明 歸納法證明 當(dāng)n 1時 證明省略 即 定義 若 3 多維隨機變量的特征函數(shù) 特征函數(shù) 多維隨機變量的特征函數(shù)定義 同一維隨機變量一樣 多維隨機變量的特征函數(shù)與概率密度函數(shù)是一對fourier變換對 特征函數(shù) 概率密度函數(shù) 若X1 X2統(tǒng)計獨立 則 推廣到n個 證明 若獨立 則 多維隨機變量的特征函數(shù)性質(zhì) 邊際特征函數(shù) 推廣到n個 證明 已知 證明 比較 一維正態(tài)隨機變量X的概率密度函數(shù)可以表示為 記為特征函數(shù)為 6 2多維正態(tài)隨機變量的定義與協(xié)方差矩 1 一維正態(tài)隨機變量 若隨機變量X1 X2的聯(lián)合概率密度函數(shù)可以表示為 則稱X1 X2為二維正態(tài)隨機變量 其中 為X1和X2的相關(guān)系數(shù) 對于上述二維隨機變量 其邊際概率密度函數(shù)可表示為 因此其邊際分布為一維正態(tài)分布 2 二維正態(tài)隨機變量 二維正態(tài)分布的協(xié)方差矩陣可表示為 二維正態(tài)分布的協(xié)方差矩陣具有如下性質(zhì) 實對稱矩陣 正定矩陣其逆矩陣可表示為 二維正態(tài)隨機變量的聯(lián)合概率密度也可表示為 其中 二維正態(tài)隨機變量的特征函數(shù)表示為 其中 二維正態(tài)隨機變量的特征函數(shù)也表示為 若n維隨機變量的聯(lián)合密度函數(shù)為 則稱為n維正態(tài)隨機變量 其中C為n維實對稱正定矩陣 也是協(xié)方差矩陣 記為 3 n維正態(tài)隨機變量 若n維隨機變量的特征函數(shù)為 若 則存在n階正交矩陣A 使得向量中的分量Y1 Y2 Yn是獨立的隨機變量 且Yi為一維正態(tài)分布N 0 di 說明 6 3n維正態(tài)隨機變量的性質(zhì) 的特征函數(shù)為 證明 總存在正交矩陣A 通過變換此時隨機向量的協(xié)方差矩陣 且 由性質(zhì)1可以知道 為n維獨立隨機變量 且 其中 則 由特征函數(shù)線性變換的性質(zhì) 對于 可以得到 證畢 n維正態(tài)分布中任意m維子向量亦為正態(tài)分布 m n 證明 已知 若令 則 n維正態(tài)隨機變量的線性變換也為正態(tài)隨機變量 即若為正態(tài)隨機向量 則亦為正態(tài)隨機向量 只需證明其特征函數(shù)亦為正態(tài)特征函數(shù) 即 已知 若 即 證明 若為n維正態(tài)隨機變量 那么X1 X2 Xn相互獨立的充要條件是兩兩互不相關(guān) 證明 1 若已知兩兩相互獨立 則不相關(guān) 2 若已經(jīng)知道兩兩不相關(guān) 即Cij 0 當(dāng)i不等于j時 則 實際上 若 方法二 若為n維正態(tài)隨機變量 則其混合中心距可以用其特征函數(shù)來表述 6 4正態(tài)隨機過程的定義 如果對一個隨機過程任意選取n個時刻 則得到n個相應(yīng)的隨機變量 若此n個隨機變量的聯(lián)合分布是n維正態(tài)分布 則稱隨機過程X t 是正態(tài)隨機過程 高斯過程 正態(tài)隨機過程定義 n維正態(tài)隨機變量的聯(lián)合密度函數(shù)為 則稱為n維正態(tài)隨機變量 其中C為n維實對稱正定矩陣 也是協(xié)方差矩陣 記為 n維正態(tài)隨機變量的特征函數(shù)為 6 5正態(tài)隨機過程的性質(zhì) 若正態(tài)隨機過程為寬平穩(wěn) 則必為嚴(yán)平穩(wěn) 二階矩過程 若正態(tài)過程為寬平穩(wěn)過程 則mX t a為常數(shù) RX tk ti RX tk ti 任取n個抽樣時刻t1 t2 tn 這n個時刻所對應(yīng)的隨機變量的協(xié)方差矩陣為C 其任意一元素cki RX tk ti a2 c tk ti 則該n個正態(tài)變量對應(yīng)的特征函數(shù)為 證明 若把n個時間抽樣點作一個時間平移h 即取抽樣時刻為t1 h t2 h tn h 則平移后的對應(yīng)的n個正態(tài)分布的隨機變量的特征函數(shù)為 如果對高斯過程X t 在n個不同時刻采樣 所得一組隨機變量X1 X2 Xn為兩兩互不相關(guān) 則這些隨機變量也是相互獨立的 平穩(wěn)正態(tài)隨機過程與確定信號之和的概率分布仍為正態(tài)隨機過程 若正態(tài)隨機過程X t 在T上是均方可微的 則其導(dǎo)數(shù)X t 也是正態(tài)過程 若正態(tài)隨機過程X t 在T上是均方可積的 則其下列積分也是正態(tài)過程 高斯過程通過線性系統(tǒng) 其輸出亦為正態(tài)隨機過程 若系統(tǒng)輸入端的隨機過程為非高斯過程 只要輸入隨機過程的等效帶寬遠(yuǎn)大于系統(tǒng)的通頻帶 系統(tǒng)輸出端得到正態(tài)隨機過程 例題6 2 設(shè)平穩(wěn)正態(tài)過程X t 均值為0 相關(guān)函數(shù)RX e 2 4 求對給定時刻t X t1 的值在0 5和1之間的概率 解 例題6 3 X t Acosw0t Bsinw0t 其中A與B為兩個獨立的正態(tài)隨機變量 且EA EB 0 EA2 EB2 2 w0為常數(shù) 求X t 的一維 二維密度函數(shù) 解 X t 為正態(tài)隨機過程 所以 或者 或者 所以 X t Xcos2 t Ysin