概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(04).ppt

第四章數(shù)字特征 主講 周仲禮 一 數(shù)學(xué)期望 在前面的課程中 我們討論了隨機(jī)變量及其分布 如果知道了隨機(jī)變量X的概率分布 那么X的全部概率特征也就知道了 然而 在實(shí)際問(wèn)題中 概率分布一般是較難確定的 而在一些實(shí)際應(yīng)用中 人們并不需要知道隨機(jī)變量的一切概率性質(zhì) 只要知道它的某些數(shù)字特征就夠了 因此 在對(duì)隨機(jī)變量的研究中 確定某些數(shù)字特征是重要的 其中最常用的是 期望和方差 一 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 概念的引入 某車(chē)間對(duì)工人的生產(chǎn)情況進(jìn)行考察 車(chē)工小張每天生產(chǎn)的廢品數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量 如何定義X的平均值呢 我們來(lái)看這個(gè)問(wèn)題 若統(tǒng)計(jì)100天 例1某車(chē)間對(duì)工人的生產(chǎn)情況進(jìn)行考察 車(chē)工小張每天生產(chǎn)的廢品數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量 如何定義X的平均值呢 32天沒(méi)有出廢品 30天每天出一件廢品 17天每天出兩件廢品 21天每天出三件廢品 可以得到這100天中每天的平均廢品數(shù)為 這個(gè)數(shù)能否作為X的平均值呢 可以想象 若另外統(tǒng)計(jì)100天 車(chē)工小張不出廢品 出一件 二件 三件廢品的天數(shù)與前面的100天一般不會(huì)完全相同 這另外100天每天的平均廢品數(shù)也不一定是1 27 n0天沒(méi)有出廢品 n1天每天出一件廢品 n2天每天出兩件廢品 n3天每天出三件廢品 可以得到n天中每天的平均廢品數(shù)為 假定小張每天至多出三件廢品 一般來(lái)說(shuō) 若統(tǒng)計(jì)n天 這是以頻率為權(quán)的加權(quán)平均 由頻率和概率的關(guān)系 不難想到 在求廢品數(shù)X的平均值時(shí) 用概率代替頻率 得平均值為 這是以概率為權(quán)的加權(quán)平均 這樣得到一個(gè)確定的數(shù) 我們就用這個(gè)數(shù)作為隨機(jī)變量X的平均值 定義1設(shè)X是離散型隨機(jī)變量 它的概率分布是 P X Xk pk k 1 2 也就是說(shuō) 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個(gè)絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)的和 兩點(diǎn)分布X B 1 p 0 p 1P X 1 p P X 0 1 p E X 1 p 0 1 p p 常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 二項(xiàng)分布X B n p 其中0 p 1 推導(dǎo)見(jiàn) 板 書(shū) 另一簡(jiǎn)單證明見(jiàn)期望的性質(zhì)后面例題 泊松分布X P 其中 0 則E X 二 連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量 其密度函數(shù)為f x 在數(shù)軸上取很密的分點(diǎn)x0 x1 x2 則X落在小區(qū)間 xi xi 1 的概率是 小區(qū)間 xi xi 1 陰影面積近似為 小區(qū)間 Xi Xi 1 由于xi與xi 1很接近 所以區(qū)間 xi xi 1 中的值可以用xi來(lái)近似代替 這正是 的漸近和式 陰影面積近似為 該離散型r v的數(shù)學(xué)期望是 由此啟發(fā)我們引進(jìn)如下定義 定義2設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量 其密度函數(shù)為f x 如果 有限 定義X的數(shù)學(xué)期望為 也就是說(shuō) 連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個(gè)絕對(duì)收斂的積分 若X U a b 即X服從 a b 上的均勻分布 則 若X服從 若X服從參數(shù)為 由隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義 不難計(jì)算得 這意味著 若從該地區(qū)抽查很多個(gè)成年男子 分別測(cè)量他們的身高 那么 這些身高的平均值近似是1 68 已知某地區(qū)成年男子身高X 三 隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 1 問(wèn)題的提出 設(shè)已知隨機(jī)變量X的分布 我們需要計(jì)算的不是X的期望 而是X的某個(gè)函數(shù)的期望 比如說(shuō)g X 的期望 那么應(yīng)該如何計(jì)算呢 如何計(jì)算隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 一種方法是 因?yàn)間 X 也是隨機(jī)變量 故應(yīng)有概率分布 它的分布可以由已知的X的分布求出來(lái) 一旦我們知道了g X 的分布 就可以按照期望的定義把E g X 計(jì)算出來(lái) 使用這種方法必須先求出隨機(jī)變量函數(shù)g X 的分布 一般是比較復(fù)雜的 那么是否可以不先求g X 的分布而只根據(jù)X的分布求得E g X 呢 下面的基本公式指出 答案是肯定的 類(lèi)似引入上述E X 的推理 可得如下的基本公式 設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量 Y g X 則 當(dāng)X為離散型時(shí) P X xk pk 當(dāng)X為連續(xù)型時(shí) X的密度函數(shù)為f x 該公式的重要性在于 當(dāng)我們求E g X 時(shí) 不必知道g X 的分布 而只需知道X的分布就可以了 這給求隨機(jī)變量函數(shù)的期望帶來(lái)很大方便 X N 0 1 求 E X2 解 例3 設(shè) 國(guó)際市場(chǎng)上對(duì)我國(guó)某種出口商品的每年需求量是隨機(jī)變量X 單位 噸 X服從區(qū)間 2000 4000 上的均勻分布 每銷(xiāo)售出一噸商品 可為國(guó)家賺取外匯3萬(wàn)元 若銷(xiāo)售不出 則每噸商品需貯存費(fèi)1萬(wàn)元 求 應(yīng)組織多少貨源 才能使國(guó)家收益最大 例4 設(shè)組織貨源t噸 顯然應(yīng)要求2000 t 4000 國(guó)家收益Y 單位 萬(wàn)元 是X的函數(shù)Y g X 表達(dá)式為 解 由已知條件 X的概率密度函為 可算得當(dāng)t 3500時(shí) E Y 2t2 14000t 8000000達(dá)到最大 因此 應(yīng)組織3500噸貨源 說(shuō)明 前面我們給出了求g X 的期望的方法 實(shí)際上定理的結(jié)論可以原封不動(dòng)地推廣到兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)Z g X Y 的情形 設(shè)二維離散型隨機(jī)向量 X Y 的分布律為piji 1 2 j 1 2 則 設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)向量 X Y 的密度函數(shù)為f x y 則 設(shè)二維離散型隨機(jī)向量 X Y 的概率分布如下表所示 求 Z X2 Y的期望 E Z g 1 1 0 125 g 1 2 0 25 g 2 1 0 5 g 2 2 0 125 解 例5 4 25 設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立 概率密度函數(shù)分別為 求 E XY 解 G X Y XY X和Y相互獨(dú)立 例6 四 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) 1 設(shè)C是常數(shù) 則E C C 4 設(shè)X Y獨(dú)立 則E XY E X E Y 2 若k是常數(shù) 則E kX kE X 3 E X1 X2 E X1 E X2 諸Xi獨(dú)立時(shí) 注意 由E XY E X E Y 不一定能推出X Y獨(dú)立 五 數(shù)學(xué)期望性質(zhì)的應(yīng)用 例7求二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望 若X B n p 則X表示n重貝努里試驗(yàn)中的 成功 次數(shù) 現(xiàn)在我們來(lái)求X的數(shù)學(xué)期望 可見(jiàn) 服從參數(shù)為n和p的二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望是np X B n p 若設(shè) 則X X1 X2 Xn np i 1 2 n 因?yàn)镻 Xi 1 p P Xi 0 1 p 所以E X 則X表示n重貝努里試驗(yàn)中的 成功 次數(shù) 例8 將n個(gè)球放入M個(gè)盒子中 設(shè)每個(gè)球落入各個(gè)盒子是等可能的 求有球的盒子數(shù)X的期望 解 引入隨機(jī)變量 則X X1 X2 XM 于是 E X E X1 E X2 E XM 每個(gè)隨機(jī)變量Xi都服從兩點(diǎn)分布 i 1 2 M 每個(gè)球落入每個(gè)盒子是等可能的均為1 M 對(duì)第i個(gè)盒子 一個(gè)球不落入這個(gè)盒子內(nèi)的概率為 1 1 M 故N個(gè)球都不落入這個(gè)盒子內(nèi)的概率為 1 1 M n 即 小結(jié) 這一講 我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 它反映了隨機(jī)變量取值的平均水平 是隨機(jī)變量的一個(gè)重要的數(shù)字特征 接下來(lái)的一講中 我們將向大家介紹隨機(jī)變量另一個(gè)重要的數(shù)字特征 方差 二 方差 上一講我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 它體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均水平 是隨機(jī)變量的一個(gè)重要的數(shù)字特征 但是在一些場(chǎng)合 僅僅知道平均值是不夠的 例如 某零件的真實(shí)長(zhǎng)度為a 現(xiàn)用甲 乙兩臺(tái)儀器各測(cè)量10次 將測(cè)量結(jié)果X用坐標(biāo)上的點(diǎn)表示如圖 若讓你就上述結(jié)果評(píng)價(jià)一下兩臺(tái)儀器的優(yōu)劣 你認(rèn)為哪臺(tái)儀器好一些呢 測(cè)量結(jié)果的均值都是a 因?yàn)橐覂x器的測(cè)量結(jié)果集中在均值附近 又如 甲 乙兩門(mén)炮同時(shí)向一目標(biāo)射擊10發(fā)炮彈 其落點(diǎn)距目標(biāo)的位置如圖 你認(rèn)為哪門(mén)炮射擊效果好一些呢 甲炮射擊結(jié)果 乙炮射擊結(jié)果 因?yàn)橐遗诘膹椫c(diǎn)較集中在中心附近 為此需要引進(jìn)另一個(gè)數(shù)字特征 用它來(lái)度量隨機(jī)變量取值在其中心附近的離散程度 這個(gè)數(shù)字特征就是我們這一講要介紹的 方差 一 方差的定義 采用平方是為了保證一切差值X E X 都起正面的作用 由于它與X具有相同的度量單位 在實(shí)際問(wèn)題中經(jīng)常使用 注 有的書(shū)上記作D X 若X的取值比較分散 則方差較大 若方差Var X 0 則r v X以概率1取常數(shù)值 方差刻劃了隨機(jī)變量的取值對(duì)于其數(shù)學(xué)期望的離散程度 若X的取值比較集中 則方差較小 Var X E X E X 2 X為離散型 P X xk pk 由定義知 方差是隨機(jī)變量X的函數(shù)g X X E X 2的數(shù)學(xué)期望 X為連續(xù)型 X f x 二 計(jì)算方差的一個(gè)簡(jiǎn)化公式 Var X E X2 E X 2 展開(kāi) 證 Var X E X E X 2 E X2 2XE X E X 2 E X2 2 E X 2 E X 2 E X2 E X 2 利用期望性質(zhì) 請(qǐng)自己用此公式計(jì)算常見(jiàn)分布的方差 例1設(shè)r v X服從幾何分布 概率函數(shù)為 P X k p 1 p k 1 k 1 2 n 其中0 p 1 求Var X 解 記q 1 p 求和與求導(dǎo)交換次序 無(wú)窮遞縮等比級(jí)數(shù)求和公式 Var X E X2 E X 2 E X 求 Var X 解 例2 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)f x 為 例3 設(shè)隨機(jī)變量X的期望和方差為E X 和Var X 且Var X 0 求 解 設(shè) X為某加油站在一天開(kāi)始時(shí)貯存的油量 Y為一天中賣(mài)出的油量 當(dāng)然Y X 設(shè) X Y 具有概率密度函數(shù) 這里1表明1個(gè)容積單位 求 每日賣(mài)出的油量Y的期望與方差 例4 解 當(dāng)y1時(shí) 當(dāng)0 y 1時(shí) 三 方差的性質(zhì) 1 設(shè)C是常數(shù) 則Var C 0 2 若C是常數(shù) 則Var CX C2D X 3 若X1與X2獨(dú)立 則Var X1 X2 Var X1 Var X2 可推廣為 若X1 X2 Xn相互獨(dú)立 則 X1與X2不一定獨(dú)立時(shí) Var X1 X2 請(qǐng)思考 4 Var X 0P X C 1 這里C E X 下面我們用一例說(shuō)明方差性質(zhì)的應(yīng)用 兩點(diǎn)分布X B 1 p Var X p 1 p 四 常見(jiàn)隨機(jī)變量的方差 二項(xiàng)分布X B n p 其中0 p 1 Var X np 1 p 泊松分布X P 其中 0 Var X 泊松分布X P 其中 0 Var X E X2 E X 2 2 2 均勻分布X U a b 指數(shù)分布 正態(tài)分布X N 2 由第一節(jié)E X 小結(jié) 這一講 我們介紹了隨機(jī)變量的方差 它是刻劃隨機(jī)變量取值在其中心附近離散程度的一個(gè)數(shù)字特征 通過(guò)方差 可以判斷均值相同的隨機(jī)變量的取值情況 下面 我們將介紹刻劃兩r v 間線性相關(guān)程度的兩個(gè)重要的數(shù)字特征 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù) 三 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù) 任意兩個(gè)隨機(jī)變量X和Y的協(xié)方差 記為Cov X Y 定義為 Cov X1 X2 Y Cov X1 Y Cov X2 Y Cov X Y Cov Y X 一 協(xié)方差 2 簡(jiǎn)單性質(zhì) Cov aX bY abCov X Y a b是常數(shù) Cov X Y E X E X Y E Y 1 定義 Cov X Y E XY E X E Y 可見(jiàn) 若X與Y獨(dú)立 Cov X Y 0 3 計(jì)算協(xié)方差的一個(gè)簡(jiǎn)單公式 由協(xié)方差的定義及期望的性質(zhì) 可得 Cov X Y E X E X Y E Y E XY E X E Y E Y E X E X E Y E XY E X E Y 即 若X1 X2 Xn兩兩獨(dú)立 上式化為 Var X Y Var X Var Y 2Cov X Y 4 隨機(jī)變量和的方差與協(xié)方差的關(guān)系 協(xié)方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互間的關(guān)系 但它還受X與Y本身度量單位的影響 例如 Cov kX kY k2Cov X Y 為了克服這一缺點(diǎn) 對(duì)協(xié)方差進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化 這就引入了相關(guān)系數(shù) 二 相關(guān)系數(shù) 為隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù) 定義 設(shè)Var X 0 Var Y 0 稱(chēng) 在不致引起混淆時(shí) 記為 關(guān)于 XY的符號(hào) 當(dāng) XY 0時(shí) 稱(chēng)X與Y為正相關(guān) 當(dāng) XY 0時(shí) 稱(chēng)X與Y為負(fù)相關(guān) 相關(guān)系數(shù)和協(xié)方差具有相同的符號(hào) 因此 前面關(guān)于協(xié)方差的符號(hào)意義的討論可以移到這里 即正相關(guān)表示兩個(gè)隨機(jī)變量有同時(shí)增加或同時(shí)減少的變化趨勢(shì) 負(fù)相關(guān)表示兩個(gè)隨機(jī)變量有相反的變化趨勢(shì) 相關(guān)系數(shù)的性質(zhì) 證 由方差的性質(zhì)和協(xié)方差的定義知 對(duì)任意實(shí)數(shù)b 有 0 Var Y bX b2Var X Var Y 2bCov X Y Var Y bX 2 X和Y獨(dú)立時(shí) 0 但其逆不真 由于當(dāng)X和Y獨(dú)立時(shí) Cov X Y 0 請(qǐng)看下例 證明 例1 設(shè) X Y 服從單位圓域x2 y2 1上的均勻分布 證明 XY 0 Cov X Y E XY E X E Y 0 同樣得E Y 0 可易得Var X 0 Var Y 0 XY 0 故X與Y不相關(guān) 但在前面計(jì)算過(guò) X和Y不相互獨(dú)立 存在常數(shù)a b b 0 使P Y a bX 1 即X和Y以概率1線性相關(guān) 但對(duì)下述情形 獨(dú)立與不相關(guān)等價(jià) 前面 我們已經(jīng)看到 若X與Y獨(dú)立 則X與Y不相關(guān) 但由X與Y不相關(guān) 不一定能推出X與Y獨(dú)立 參見(jiàn)書(shū)P121 122 小結(jié) 本節(jié)主要介紹了協(xié)方差與相關(guān)系數(shù) 它們都是用來(lái)刻畫(huà)兩個(gè)隨機(jī)變量之間的相關(guān)程度的量 它們?nèi)≈档恼?反映了兩個(gè)隨機(jī)變量變化方向的趨勢(shì) 四 矩 協(xié)方差矩陣 在數(shù)學(xué)期望一講中 我們已經(jīng)介紹了矩和中心矩的概念 這里再給出混合矩 混合中心矩的概念 協(xié)方差Cov X Y 是X和Y的二階混合中心矩 稱(chēng)它為X和Y的k L階混合 原點(diǎn) 矩 稱(chēng)它為X和Y的k L階混合中心矩 可見(jiàn) 協(xié)方差矩陣的定義 將二維隨機(jī)變量 X1 X2 的四個(gè)二階中心矩 排成矩陣的形式 稱(chēng)此矩陣為 X1 X2 的協(xié)方差矩陣 類(lèi)似定義n維隨機(jī)變量 X1 X2 Xn 的協(xié)方差矩陣 下面給出n元正態(tài)分布的概率密度的定義 為