高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講課件 第10單元第64講 圓錐曲線的綜合應(yīng)用 湘教版 .ppt

1 第64講圓錐曲線的綜合應(yīng)用 2 掌握探究與圓錐曲線相關(guān)的最值問題 定點(diǎn)與定值問題 參變數(shù)取值范圍問題的基本思想與方法 培養(yǎng)并提升運(yùn)算能力和思維能力 3 1 已知 r 則不論 取何值 曲線c x2 x y 1 0恒過定點(diǎn) d a 0 1 b 1 1 c 1 0 d 1 1 由 x2 x y 1 0 得 x2 y x 1 0 x2 y 0 x 1x 1 0y 1 可知不論 取何值 曲線c過定點(diǎn) 1 1 依題設(shè) 即 解析 4 b 解析 5 b 解析 6 7 4 雙曲線x2 y2 4上一點(diǎn)p x0 y0 在雙曲線的一條漸近線上的射影為q 已知o為坐標(biāo)原點(diǎn) 則 poq的面積為定值 1 如圖 雙曲線x2 y2 4的兩條漸近線為y x 即x y 0 又 pq pr 所以s poq pq pr 1 解析 8 1 基本概念在圓錐曲線中 還有一類曲線系方程 對其參數(shù)取不同值時(shí) 曲線本身的性質(zhì)不變 或形態(tài)發(fā)生某些變化 但其某些固有的共同性質(zhì)始終保持著 這就是我們所指的定值問題 而當(dāng)某參數(shù)取不同值時(shí) 某幾何量達(dá)到最大或最小 這就是我們指的最值問題 曲線遵循某種條件時(shí) 參數(shù)有相應(yīng)的允許取值范圍 即我們指的參變數(shù)取值范圍問題 9 2 基本求法解析幾何中的最值和定值問題是以圓錐曲線與直線為載體 以函數(shù) 不等式 導(dǎo)數(shù)等知識為背景 綜合解決實(shí)際問題 其常用方法有兩種 1 代數(shù)法 引入?yún)⒆兞?通過圓錐曲線的性質(zhì) 及曲線與曲線的交點(diǎn)理論 韋達(dá)定理 方程思想等 用變量表示 計(jì)算 最值與定值問題 再用函數(shù)思想 不等式方法得到最值 定值 10 2 幾何法 若問題的條件和結(jié)論能明顯的體現(xiàn)幾何特征 利用圖形性質(zhì)來解決最值與定值問題 在圓錐曲線中經(jīng)常遇到求范圍問題 這類問題在題目中往往沒有給出不等關(guān)系 需要我們?nèi)ふ?對于圓錐曲線的參數(shù)的取值范圍問題 解法通常有兩種 當(dāng)題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義時(shí) 11 可考慮利用數(shù)形結(jié)合法求解或構(gòu)造參數(shù)滿足的不等式 如雙曲線的范圍 直線與圓錐曲線相交時(shí) 0等 通過解不等式 組 求得參數(shù)的取值范圍 當(dāng)題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系時(shí) 則可先建立目標(biāo)函數(shù) 進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的值域 12 題型一定點(diǎn) 定值問題 已知a 1 0 b 1 0 p是平面上一動(dòng)點(diǎn) 且滿足 1 求點(diǎn)p的軌跡c的方程 2 已知點(diǎn)m m 2 在曲線c上 過點(diǎn)m作直線l1 l2與c交于d e兩點(diǎn) 且l1 l2的斜率k1 k2滿足k1k2 2 求證 直線de過定點(diǎn) 并求此定點(diǎn) 例1 13 1 設(shè)p x y 則 1 x y 1 x y 2 0 2 0 因?yàn)?所以 2 2 x 1 即y2 4x 所以點(diǎn)p的軌跡c的方程為y2 4x 2 證明 由 1 知m 1 2 設(shè)d y1 e y2 所以k1k2 2 整理得 y1 2 y2 2 8 解析 14 kde k 所以y1 y2 由 知y1y2 4 所以直線de的方程為y y1 x 整理得4x y1 y2 y y1y2 0 即4x y 4 0 即 x 1 k y 2 0 所以直線de過定點(diǎn) 1 2 15 與圓錐曲線有關(guān)的定點(diǎn)問題的探求一般途徑是恰當(dāng)引入?yún)⒆兞?將題設(shè)轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系式 然后通過分析參變量取符合題設(shè)條件的任何一個(gè)值時(shí) 坐標(biāo)關(guān)系式恒成立的條件 而獲得定點(diǎn)坐標(biāo) 評析 16 如圖 f1 3 0 f2 3 0 是雙曲線c的兩焦點(diǎn) 其一條漸近線方程為y x a1 a2是雙曲線c的兩個(gè)頂點(diǎn) 點(diǎn)p是雙曲線c右支上異于a2的一動(dòng)點(diǎn) 直線a1p a2p交直線x 分別于m n兩點(diǎn) 1 求雙曲線c的方程 2 求證 是定值 素材1 17 1 由已知 c 3 又c2 a2 b2 所以a 2 b 5 所求雙曲線c的方程為 1 2 證明 設(shè)p的坐標(biāo)為 x0 y0 m n的縱坐標(biāo)分別為y1 y2 因?yàn)閍1 2 0 a2 2 0 所以 x0 2 y0 x0 2 y0 y1 y2 解析 18 因?yàn)榕c共線 所以 x0 2 y1 y0 y1 同理y2 因?yàn)?y1 y2 所以 y1y2 10 為定值 19 設(shè)f1 f2分別是橢圓 y2 1的左 右焦點(diǎn) 1 若p是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) 求的最大值與最小值 2 設(shè)過定點(diǎn)m 0 2 的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)a b 且 aob為銳角 其中o為坐標(biāo)原點(diǎn) 求直線l的斜率k的取值范圍 例2 題型二最值與范圍問題 20 1 由方程易知a 2 b 1 c 所以f1 0 f2 0 設(shè)p x y 則 x y x y x2 y2 3 x2 1 3 3x2 8 因?yàn)閤 2 2 所以0 x2 故 解析 21 2 顯然直線x 0不滿足題設(shè)條件 可設(shè)直線l y kx 2 a x1 y1 b x2 y2 y kx 2 y2 1 消去y 整理得 k2 x2 4kx 3 0 所以x1 x2 x1x2 由 4k 2 4 k2 3 4k2 3 0 解得k 或k 聯(lián)立方程組 22 又0 0 得 0 所以 x1x2 y1y2 0 又y1y2 kx1 2 kx2 2 k2x1x2 2k x1 x2 4 4 所以 0 即k2 4 結(jié)合 知 k的取值范圍是 2 2 23 圓錐曲線中求最值與范圍問題是高考題中的常考問題 解決此類問題 一般有兩個(gè)思路 1 構(gòu)造關(guān)于所求量的不等式 通過解不等式來獲得問題的解 如本題第 2 問 2 構(gòu)造關(guān)于所求量的函數(shù) 通過求函數(shù)的值域來獲得問題的解 如本題第 1 問 在解題的過程中 一定要深刻挖掘題目中的隱含條件 如判別式大于零等 評析 24 素材2 解析 25 26 題型三圓錐曲線綜合問題 例3 27 解析 28 評析 29 拋物線有光學(xué)性質(zhì) 由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線折射后 沿平行于拋物線的對稱軸的方向射出 今有拋物線y2 2px p 0 一光源在點(diǎn)m 4 處 由其發(fā)出的光線沿平行于拋物線的對稱軸的方向射向拋物線上的點(diǎn)p 折射后又射向拋物線上的點(diǎn)q 30 再折射后 又沿平行于拋物線的對稱軸的方向射出 途中遇到直線l 2x 4y 17 0上的點(diǎn)n 再折射后又射回點(diǎn)m 1 設(shè)p q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 x1 y1 x2 y2 證明 y1y2 p2 2 求拋物線的方程 3 試判斷在拋物線上是否存在一點(diǎn) 使該點(diǎn)與點(diǎn)m關(guān)于pn所在的直線對稱 若存在 請求出此點(diǎn)的坐標(biāo) 若不存在 請說明理由 31 解析 1 證明 由拋物線的光學(xué)性質(zhì)及題意知 光線pq必過拋物線的焦點(diǎn)f 0 設(shè)直線pq的方程為y k x 由 式得x y 將其代入拋物線的方程y2 2px中 整理得y2 y p2 0 由韋達(dá)定理得y1y2 p2 當(dāng)直線pq的傾斜角為90 時(shí) 將x 代入拋物線方程得y p 同樣得到y(tǒng)1y2 p2 32 2 設(shè)光線qn經(jīng)直線l反射后又射向m點(diǎn) 所以直線mn與直線qn關(guān)于直線l對稱 設(shè)點(diǎn)m 4 關(guān)于l的對稱點(diǎn)為m x y 1x 17 0y 1 則 解得 33 直線qn的方程為y 1 q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y2 1 由題設(shè)p點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y1 4 由 1 知y1y2 p2 則4 1 p2得p 2 故所求拋物線的方程為y2 4x 3 將y 4代入y2 4x得x 4 故p點(diǎn)的坐標(biāo)為 4 4 將y 1代入直線l的方程2x 4y 17 0 得x 故n點(diǎn)的坐標(biāo)為 1 由p n兩點(diǎn)坐標(biāo)得直線pn的方程為2x y 12 0 34 設(shè)m點(diǎn)關(guān)于直線np的對稱點(diǎn)m1 x1 y1 2 1x1 12 0y1 1 即m1 1 的坐標(biāo)是拋物線方程y2 4x的解 故拋物線上存在一點(diǎn) 1 與點(diǎn)m關(guān)于直線pn對稱 則 解得 35 36 1 若探究直線或曲線過定點(diǎn) 則直線或曲線的表示一定含有參變數(shù) 即直線系或曲線系 可將其方程變式為f x y g x y 0 其中 為參變數(shù) 由f x y 0g x y 0