數(shù)學(xué)建模答辯.ppt

追趕曲線的計(jì)算機(jī)模擬 一 問(wèn)題描述 歐洲文藝復(fù)興時(shí)期的著名人物達(dá) 芬奇曾經(jīng)提出一個(gè)有趣的 狼追兔子 問(wèn)題 當(dāng)一只兔子正在它的洞穴南面60碼處覓食時(shí) 一只餓狼出現(xiàn)在兔子正東的100碼處 兔子急忙奔向自己的洞穴 狼立即以快于兔子一倍的速度緊追兔子不放 兔子一旦回到洞穴便逃脫厄 問(wèn)狼是否會(huì)追趕上兔子 二 背景分析 這一問(wèn)題的研究方法可以推廣到如魚(yú)雷追擊潛艇 地對(duì)空導(dǎo)彈擊飛機(jī)等問(wèn)題上去 在對(duì)真實(shí)系統(tǒng)做實(shí)驗(yàn)時(shí) 可能時(shí)間太長(zhǎng) 費(fèi)用太高 危險(xiǎn)太大 甚至很難進(jìn)行 計(jì)算機(jī)模擬是用計(jì)算機(jī)模仿實(shí)物系統(tǒng) 對(duì)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和行為進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示 以評(píng)價(jià)或預(yù)測(cè)系統(tǒng)的行為效果 根據(jù)模擬對(duì)象的不同特點(diǎn) 分為確定性模擬和隨機(jī)性模擬兩大類(lèi) 模擬通常所用的是時(shí)間步長(zhǎng)法 即按照時(shí)間流逝的順序一步一步對(duì)所研究的系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示 以提取所需要的數(shù)據(jù) 三 模型假設(shè) 1 設(shè)兔子奔跑的速度為 則狼運(yùn)動(dòng)的速度為 建立平面直角坐標(biāo)系 若當(dāng)時(shí)刻 兔子位于點(diǎn)處 狼位于點(diǎn)處 試根據(jù) 的坐標(biāo)確定一個(gè)單位向量 描述狼在時(shí)段內(nèi)的運(yùn)動(dòng)方向 2 根據(jù)狼的運(yùn)動(dòng)方向和速度推導(dǎo)到的坐標(biāo)的具體表達(dá)式 3 用計(jì)算機(jī)繪制追趕曲線的圖形 包括靜態(tài)和動(dòng)態(tài)的圖形 四 模型的建立 首先計(jì)算狼的初始位置到兔子洞穴的直線距離 由于狼奔跑的速度是兔子速度的兩倍 兔子跑60碼的時(shí)間狼可以跑120碼 如果狼沿直線奔向兔窩 應(yīng)該是可以追上兔子的 但是 有人推導(dǎo)出狼在追趕兔子過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)曲線為 根據(jù)曲線方程 當(dāng)時(shí) 也就是說(shuō) 在沒(méi)有兔窩的情況下兔子一直往北跑 在跑到大約66碼處將被狼追上 由此可知 在有兔窩時(shí)狼是追趕不上兔子的 用計(jì)算機(jī)模擬的方法也可以得到同樣的結(jié)論 取時(shí)間步長(zhǎng)為1s 隨時(shí)間步長(zhǎng)的增加 考慮這一系統(tǒng)中的各個(gè)元素 狼和兔子 所處的位置變化規(guī)律 用計(jì)算機(jī)作出模擬 最后 根據(jù)第60s時(shí)狼所在的位置的坐標(biāo) 判斷狼是否能追上兔子 設(shè)兔子所在位置為動(dòng)點(diǎn)Q 狼所在位置為動(dòng)點(diǎn)P 在時(shí)刻tk 兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 Q uk vk P xk yk 動(dòng)點(diǎn)P的軌跡就是追趕曲線 在tk時(shí)刻到tk 1時(shí)刻這個(gè)時(shí)段 P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向可以用單位向量描述 顯然 uk 0 vk tk 五 源程序 設(shè)在初始時(shí)刻兔子和狼的位置分別為Q 0 0 P 100 0 初始時(shí)刻的狼 兔距離為100碼 我們不妨規(guī)定當(dāng)狼 兔距離小于0 5碼時(shí) 兔子被狼追上 結(jié)束追趕 下面MATLAB程序可計(jì)算并繪制追趕曲線 x 1 100 y 1 0 u 1 0 v 1 0 t 1 d 100 e 10 whiled 0 5 x t 1 x t 2 e 1 y t 1 y t 2 e 2 t t 1 u t 0 v t t e x