高階統(tǒng)計量在隨機信號建模中應(yīng)用.doc

第2章高階統(tǒng)計量在隨機信號建模中應(yīng)用21引言* 建模：根據(jù)采集的有限個含有噪聲的觀測信號找到一個合適的模型與觀測值或其統(tǒng)計量相匹配，這就是隨機建模。* 建模的關(guān)鍵：（1） 模型的假設(shè)（2） 參數(shù)的估計* 模型* 線性模型（1） 參數(shù)模型： 其中若; 若（2） 非參數(shù)模型（3） 二者關(guān)系為有限值模型為有限值* 建模的目的：由觀測值確定系統(tǒng)的的幅度與相位，或 用自相關(guān)函數(shù)建模：系統(tǒng)輸入必須為白噪聲；系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)。 用高階累積量建模輸入可為非高斯有色或白色噪聲; 系統(tǒng)可以是非最小相位系統(tǒng)22封閉型遞推方法模型建模方法 設(shè)系統(tǒng)，已知，, 。要求滿足下列條件：(1)是i.i.d.過程，(非高斯白噪聲)且, , 是未知數(shù)。(2)是高斯噪聲（有色或無色），方差未知,且與互相獨立。(3)一、與的辨識設(shè)，則上式，又，只能取0； ，只能取0設(shè) 只能取 二、 封閉型遞推方法設(shè)（歸一化）則遞推公式如下： （） （）如果為偶數(shù)。則說明： 同理，把，代入式右端，代數(shù)化簡同理可證式。三、 遞推方法(1)根據(jù)觀測值 (2)計算， （根據(jù)前面三個公式）。(3)求，(4)求，的遞推過程設(shè) 再由式及式，得， 設(shè) 再根據(jù)，式，得，依此類推。優(yōu)點：簡單。缺點：有累計誤差，且較嚴(yán)重。23公式，模型建模方法二設(shè)系統(tǒng)單位沖擊響應(yīng)為則，稱此為公式。證明： 設(shè)時，上式變?yōu)?(I)再設(shè)(II)(I)/(II)，得同理：還可得：公式計算方法：(1)觀測值(2)估計： 24切片法設(shè)是模型沖擊響應(yīng)(IR) 根據(jù)沖擊響應(yīng)定義： (*) （此公式今后經(jīng)常見到。）則證明：設(shè) () 設(shè)將上式代入(I)式，得 ()由式得() 所以(II)式成為：設(shè)，則 () 設(shè),則(III)變?yōu)椋褐荒苋≡僭O(shè)，則(III)式變?yōu)椋?只能取則討論：(1) 若是模型模型變?yōu)椋河谑牵捍斯脚c公式等價。(2)若是模型，求已知和。25線性系統(tǒng)中二階與高階統(tǒng)計量之間的關(guān)系一、的雙譜與維譜之間的關(guān)系 一維對角線切片稱此為維譜證明： 變換： 復(fù)卷積定理 曲線積分設(shè)，則 (*)， 第2章得出的由此得出代入式，原式得證。二、功率譜與維譜之間的關(guān)系設(shè)是相關(guān)函數(shù)變換，且，則 方程證明: 前面提到過 ()而 （第2章講過） ()將()式代入()中，得：推廣：是的變換。時域方程：設(shè)系統(tǒng)為系統(tǒng)則時域方程為：證明：兩邊取反變換： 根據(jù)復(fù)卷積定理 系統(tǒng) 推廣 三、 三階累計量之間的關(guān)系第2章而來對于系統(tǒng)（過程）設(shè)，則 ()設(shè)，則()式成為： ()設(shè)對()式兩邊取變換(對取變換) () () ()/ (),得：域乘積時域解：時域卷積（此為三階累積量之間的關(guān)系）設(shè)，則 () 稱此為累積量方程看如何轉(zhuǎn)換：設(shè)，根據(jù)()式得： 取0,1，2，表達成矩陣形式： 用最小二乘法，準(zhǔn)確度高，取出的是，符號沒了。建議：用方法識別符號。26非最小相位模型建模一、模型假設(shè)設(shè)表示一非高斯信號過程，它可以用一個模型來描述： (1)這里，如果，則退化為模型。其中，通常被觀測噪聲所污染，即觀測值為假設(shè)(1) 階次已知；(2) 輸入過程是一個不可觀測的、零均值i.i.d.非高斯過程，它至少存在一個有限的非零高階累積量，。(3) 系統(tǒng)是因果的、指數(shù)穩(wěn)定的且可以是非最小相位的，即的根在單位圓內(nèi)，而的根可以在單位圓內(nèi)，也可以在單位圓外。(4) 觀測噪聲是一個零均值有色高斯過程，其能譜密度未知，且與相互獨立。由于高斯過程的高階累積量等于零，于是的階累積量為這樣，非最小相位信號建模的實質(zhì)就是怎樣由觀測值的高階累積量估計信號模型的參數(shù)和參數(shù)。二、參數(shù)估計1.基于高階累積量的高階Yule-Walker方程設(shè)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為，則根據(jù)單位沖激響應(yīng)的定義，有 又由第1章公式(15)可知 綜合上面兩式，有 當(dāng)時，于是 (2)方程式(2)稱作基于高階累積量的高階Yule-Walker方程。2.參數(shù)的唯一可識別性定理眾所周知，一個非高斯過程的模型給定的話，則其階累積量就唯一確定。因此，從累積量匹配的觀點出發(fā)，參數(shù)是由所有的階累積量對所有求解式(2)而唯一確定。由于方程組的個數(shù)是無窮大，這樣的方程組的求解顯然是不現(xiàn)實的。于是，必須選擇少量合適的高階累積量切片構(gòu)造具有唯一解的方程組。在式(2)中，取并固定，且記，得到下列由一個切片構(gòu)造的方程組 (3)或其中，為維矩陣，和均為維向量。若矩陣為滿矩，則由式(3)可以得到唯一的參數(shù)；然而，矩陣不一定為滿秩，這樣，式(3)不能保證參數(shù)的唯一可識別性。盡管單獨某個切片構(gòu)造的矩陣可能非滿秩，Giannakis and Mendel建議利用個一維切片構(gòu)造的矩陣則是滿秩的，并提出了參數(shù)的唯一可識別性定理。定理1在假設(shè)(1)(4)下，當(dāng)且僅當(dāng)模型式(1)不存在著零、極點相消時，參數(shù)可由個一維累積量切片構(gòu)造的下列線性方程組唯一確定 (4)其中，。令式（2）中，得到下列矩陣方程(5)3.參數(shù)估計的SVD-TLS方法實際上，只能由觀測值得到高階累積量的估計，同時階次也未知，因此必須確定方程式(5)的實用性問題。1) 用奇異值分解(SVD)法確定階次設(shè)模型階次的上限為（通常可以預(yù)先選定一組較大的值），??；，則矩陣的秩為，若用代替，則構(gòu)造的新矩陣的有效秩為，這樣，通過對進行奇異值分解可以確定的有效秩，從而確定模型階次。2) 用SVD-TLS法估計參數(shù)式(5)是忽略噪聲影響的一種近似。通常有兩種方法來補償這種噪聲擾動的影響。第一種方法是最小二乘(LS)法，這種方法假定在式(5)右邊的矢量中有一擾動項；第二種方法是主特征矢量(PE)法，這種方法則假定式(5)左邊的系數(shù)矩陣中有一擾動項。顯然，這兩種方法都是不夠的，因為式(5)中的系數(shù)矩陣和累積量矢量中元素均由觀測值估計得到，因此都含有噪聲擾動項。我們采用同時考慮這兩種噪聲擾動項的整體最小二乘(TLS)法來解決這一問題。由于TLS法通常采用SVD來實現(xiàn)，因而又稱作SVD-TLS法。SVD-TLS法步驟如下：(1) 選擇階次上限，取，并用代替由式(4)得到矩陣方程其中，為維矩陣，為維向量，且 (2) 對進行奇異值分解其中和分別為和的特征向量矩陣，為由奇異值所構(gòu)成的對角陣。(3) 取，計算取使明顯接近于1的轉(zhuǎn)折點處的值當(dāng)作有效秩。(4) 計算矩陣其中，表示由矩陣中第列向量中的個元素組成的維向量，且(5) 求解線性方程組其中，和均為維向量，且，的選取是以中第一個元素為1為原則，若為奇異矩陣，則以的零特征值對應(yīng)的歸一化特征向量當(dāng)作參數(shù)估計。三、MA參數(shù)估計我們采用殘差時間序列法來估計參數(shù)。設(shè)估計的參數(shù)為，則定義殘差時間序列為由式，代入得并考慮到式(1)，有如果，則由于假設(shè)(4)可知是高斯有色噪聲，故也是高斯有色噪聲，于是殘差時間序列可以看成純非高斯過程與高斯有色噪聲的合成，因此參數(shù)的估計轉(zhuǎn)化成高斯有色噪聲中的非高斯過程的參數(shù)估計問題，我們將在下一節(jié)非最小相位模型建模中一起討論這個問題。23非高斯相位模型建模一、模型假設(shè)設(shè)非最小相位信號模型為模型，即觀測模型為其中，動態(tài)噪聲不可觀測，并假定：(1) 為零均值、獨立地服從同一分布的非高斯白噪聲；(2) 為零均值、高斯分布噪聲；(3) 與相互獨立，因而與也相互獨立；(4) 階次已知且。有關(guān)及更進一步的假設(shè)將在研究不同估計算法中給出。由于系統(tǒng)是非最小相位的，故傳遞函數(shù)的零點可以在單位圓外。我們感興趣的問題是，怎樣利用觀測值的統(tǒng)計量信息來估計模型參數(shù)。目前，基于高階統(tǒng)計量解決上述問題的方法有兩大類：非