2010年湖南長沙一中三模(理科數(shù)學).doc

長沙市一中2010屆第三次模擬試卷理科數(shù)學一選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1 函數(shù)的定義域是（ ） ABCD2有下列四個命題，其中真命題是 （ ） AB CD3已知三棱柱的三視圖如下圖所示，其中俯視圖為正三角形，則該三棱柱的體積為 （ ）ABC D64函數(shù)f（x）=的圖象大致是 （ ）5已知ABP的頂點A、B分別為雙曲線的左、右焦點，頂點P在雙曲線C上，則的值等于 A B CD 6我市某機構調查小學生課業(yè)負擔的情況，設平均每人每天做作業(yè)時間為x(單位：分鐘)，按時間分下列四種情況統(tǒng)計：030分鐘；3060分鐘；6090分鐘；90分鐘及90分鐘以上，有1 000名小學生參加了此項調查，下圖是此次調查的流程圖，已知輸出的結果是600，則平均每天做作業(yè)時間在060分鐘內的學生的頻率是 ( )A0.20B0.40C0.60D0.807已知0a1，0b1，則函數(shù)的圖象恒在x軸上方的概率為（ ） ABCD8已知f(x)是R上的偶函數(shù)，當x0時，f (x)= ，又a是函數(shù)g (x) =的正零點，則f（2），f（a），f（1.5）的大上關系是（ ） AB CD二、填空題（本大題共7小題，每小題5分，共35分，把答案填在答題卡對應題號后的橫線上）9用0.618法確定的試點，則經過 次試驗后，存優(yōu)范圍縮小為原來的0.6184倍10在等差數(shù)列an中，若a2+a4+a6+a8+a10=80，則的值為 11已知復數(shù)，它們在復平面上所對應的點分別為A，B，C，若，則的值是 12在極坐標系中，和極軸垂直相交的直線l與圓相交于A、B兩點，若|AB|=4，則直線l的極坐標方程為 13在計算機的運行過程中，常常要進行二進制數(shù)與十進制數(shù)的轉換與運算如：十進制數(shù)8轉換成二進制是1000，記作8（10）=1000（2）；二進制數(shù)111轉換成十進制數(shù)是7，記作111（2）=7（10）二進制的四則運算，如：11（2）+101（2）=1000（2），請計算：11（2）111（2）+1111（2）= （2）14不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是 15設集合M=1，2，3，4，5，6，對于ai，biM，記且，由所有組成的集合設為：A=e1，e2，ek，則k的值為 ；設集合B=，對任意eiA，B，則的概率為 三、解答題（本大題共6小題，共75分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16（本大題滿分12分）上海世博會在游客入園參觀的試運營階段，為了解每個入口的通行速度，在一號入口處隨機抽取甲、乙兩名安檢人員在一小時內完成游客入園人數(shù)的8次記錄，記錄人數(shù)的莖葉圖如下： （1）現(xiàn)在從甲、乙兩人中選一人擔任客流高峰階段的安檢員，從統(tǒng)計學的角度考慮，你認為選派哪位安檢員參加合適？請說明理由；（2）若將頻率視為概率，甲安檢員在正式開園的一個工作日的4小時內,每個單位小時段安檢人數(shù)高于80人的次數(shù)記為，求的分布列及數(shù)學期望E17（本大題滿分12分）已知函數(shù)f (x) = 2sin2（1）若函數(shù)h (x) = f (x + t)的圖象關于點對稱，且t(0，)，求t的值；（2）設p：x，q：|f (x) m|3，若p是q的充分不必要條件，求實數(shù)m的取值范圍18（本大題滿分12分）如圖1所示，圓O的直徑AB = 6，C為圓周上一點，BC = 3過C作圓的切線l，過A作l的垂線AD，AD與直線l、圓O分別交于點D、E （1）求DAC的大小及線段AE的長； 圖2 （2）如圖2所示,將ACD沿AC折起，點D折至點圖1P處，且使得ACP所在平面與圓O所在平面垂直，連結BP，求二面角PABC大小的余弦值19（本小題滿分13分）2010年我國西南地區(qū)遭受特大旱災，某地政府決定興修水利，某灌渠的橫截面設計方案如圖所示，橫截面邊界AOB設計為拋物線型，渠寬AB為2m，渠深OC為1.5m，正常灌溉時水面EF距AB為0.5m （1）求水面EF的寬度； （2）為了使灌渠流量加大，將此水渠的橫截面改造為等腰梯形，受地理條件限制要求渠深不變，不準往回填土，只準挖土，試求截面等腰梯形的下底邊長為多大時，才能使所挖的土最少？ 20（本小題滿分13分）已知函數(shù)f (x) = （1）若函數(shù)f (x)在其定義域內為單調函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍； （2）若函數(shù)f (x)的圖象在x = 1處的切線的斜率為0，且 若a13，求證：ann + 2；若a1 = 4，試比較的大小，并說明你的理由21（本大題滿分13分）已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點，半焦距為c，直線與x軸的交點為N，滿足，設A、B是上半橢圓上滿足的兩點，其中 （1）求橢圓的方程及直線AB的斜率k的取值范圍； （2）過A、B兩點分別作橢圓的切線，兩切線相交于一點P，試問：點P是否恒在某定直線上運動，請說明理由理科數(shù)學參考答案1 【解析】A 由2x10，求得x02【解析】B 對于選項A，令即可驗證不正確；對于選項C、選項D，可令n= 1加以驗證其不正確，故選B3【解析】C 如圖將三棱柱還原為直觀圖，由三視圖知，三棱柱的高為4，設底面連長為a，則故體積4【解析】B 函數(shù)y=ln|x|（x0）的圖象與函數(shù)y=lnx的圖象關于y軸對稱，函數(shù)的圖象是反比例函數(shù) 的圖象在每一象限的部分5【解析】C 由題意得：|PBPA|=8，|AB|=2，從而由正弦定理，得6【解析】B 由流程圖可見，當作業(yè)時間X大于60時，S將會增加1，由此可知S統(tǒng)計的是作業(yè)時間為60分鐘以上的學生數(shù)量，因此由輸出結果為600知有600名學生的作業(yè)時間超過60分鐘，因此作業(yè)時間在060分鐘內的學生總數(shù)有1000600=400名，所以所求頻率為400/1000=0.4. 7【解析】D 因為函數(shù)圖象恒在x軸上方，則4，所以，即則建立關于a，b的直角坐標系，畫出關于a和b的平面區(qū)域，如圖此時，可知此題求解的概率類型為關于面積的幾何概型，由圖可知基本事件空間所對應的幾何度量，滿足圖象在x軸上方的事件A所對應的幾何度量所以8【解析】A 當a0時，易知g（x）為增函數(shù)，而且g（2）=ln3 10，g（1.5）=ln2.5lne1=0，于是由零點存在定理可知在區(qū)間（1.5，2）內g（x）存在零點，再由單調性結合題意可知a就為這個零點，因此有1.5a2又當x0時，直接求導即得，于是當x1時，我們有，由此可見f（x）在上單調增，可見必有，而又由于f（x）為偶函數(shù)，所以，故選A 9【解析】5次 10【解析】8 由已知得：，又分別設等差數(shù)列首項為a1，公差為d，則11【解析】因為點A(1，2)，B(1，1)，C(3，4)所以+，因此，即，所以12【解析】 由該圓的極坐標方程為知該圓的半徑為4，又直線l被該圓截得的弦長|AB|為4，設該圓圓心為O，則AOB=60，極點到直線l的距離為，所以直線的極坐標方程為13【解析】100100 由題可知，在二進制數(shù)中的運算規(guī)律是“逢二進一”，所以11（2）111（2=10101（2），10101（2）+1111（2）=100100（2）14【解析】4a6 不等式對于一切非零實數(shù)x均成立，可以先求出的最小值，然后利用小于這個最小值即可求解a的取值范圍當x0時，；當x0時，從而恒成立，所以不等式對于一切非零實數(shù)x均成立，可轉化主，即15【解析】11； 由題意知，ai，biM，aibi，首先考慮M中的二元子集有1，2，1，3，5，6，共15個，即為=15個又aibi，滿足的二元子集有：1，2，2，4，3，6，這時，1，3，2，6，這時，2，3，4，6，這時，共7個二元子集故集全A中的元素個數(shù)為k=15 7 +3=11列舉A=，B=2，3，4，5，6，共6對所求概率為：16【解析】（1）派甲參賽比較合適理由如下：甲 = (702 + 804 + 902 + 8 + 9 + 1 + 2 + 4 + 8 + 3 + 5) = 85，(701 + 804 + 903 + 5 + 0 + 0 + 3 + 5 + 0 + 2 + 5) = 85，(78 85)2+ (79 85)2 + (81 85)2 + (82 85)2 + (84 85)2 + (88 85)2 + (90 85)2 + (92 85)2 + (95 85)2 = 35.5 S乙2=41，甲的成績較穩(wěn)定，派甲參賽比較合適（6分）注：本小題的結論及理由均不唯一，如果考生能從統(tǒng)計學的角度分析，給出其他合理回答，同樣給分如派乙參賽比較合適，理由如下：從統(tǒng)計的角度看，甲檢測85人以上（含85人）的概率P1 = ，乙檢測85人以上（含85人）的概率P2P1，派乙參賽比較合適（2）記“甲安檢員在一小時內完成安檢人數(shù)高于80人”為事件A，隨機變量的可能取值為0、1、2、3，且B (4，)P (= k) = k = 01，2，3，4 8分所以變量的分布列為：01234P（10分） E = 4= 3 （12分）17【解析】（1）（4分）h (x) = f (x + t) = 2sin ()，h (x)的圖象的對稱中心為，kZ，又已知點為h (x)的圖象的一個對稱中心，而t(0，)，t = （7分）（2）若p成立，即當x時，f (x)1，2，由|f (x) m|3m 3f (x)m + 3，p是q的充分不必要條件，解得1m4，即m的取值范圍是1，4（12分）18 【解析】（1）連結OC，則OCAD，CB = OB = OC，COB =EAO = 60，CAO = 30，RtAEBRtBCA，CB = AE = 3（5分）（2）過P作PHAC于H，由于平面PAC平面O，則PH平面O過H作HFAB于F，連結PF，則PFAB，故PFH為二面角PABC的平面角（8分）在RtAPC中，PH = APsin30= ACcos30sin30= ，圖2DAP2 = AHAC得AH = ，在RtAFH中，F(xiàn)H = AH sin30=，故tanPFH = 12分另解：過P作PHAC于H，則PH平面O，過H作HFCB交AB于F，以H為原點，HF、HA、HP分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標則H (0，0，0)，A (，0，0)，B (，3，0)，P (0，0，)從而，設平面PAB的法向量則令x=1，從而，而平面ABC的法向量為故12分 19【解析】（1）建立如圖所示的直角坐標系，則A(1，1.5)，B (1，1.5)，C (0，1.5) 設拋物線方程為x2 = 2py (p0)，由點A (1，1.5)代入方程，得到1 = 2p1.5，即，所以拋物線方程為x2 = ，由點E的縱坐標為1，得到點E橫坐標為，所以截面圖中水面寬度為m（6分） （2）設拋物線上一點M因為改造水渠時只準挖土，而且要求挖出的土最少，所以只能沿過點M與拋物線相切的切線挖土 由，即，求導得，所以過點M的切線斜率為3t，切線方程為，令y = 0，則，所以截面面積為S = ，當且僅當t = 時等號成立 所以截面梯形的下底邊長為m時，才能使所挖的土最少（13分）20【解析】（1）f (1) = a b = 0，a = b，f(x) = 要使函數(shù)f (x)在其定義域內為單調函數(shù)，則在(0，+)內f(x) 恒大于或等于零，或恒小于或等于零 由得而 由得 而 經驗證a=0及a=1均合題意，故所求實數(shù)a的取值范圍為a1或a0（5分）（2）函數(shù)f (x)的圖象在x = 1處的切線的斜率為0，f(1) = 0，即a + a 2 = 0，解得a = 1，f(x) = ，an + 1 = f（7分）用數(shù)學歸納法證明：（i）當n = 1時，a13 = 1 + 2，不等式成立；（ii）假設當n = k時不等式成立，即那么ak k20，ak + 1 = ak (ak k) + 12 (k + 2) + 1 = (k + 3) + k + 2k + 3，也就是說，當n = k + 1時，ak + 1(k + 1) + 2根據(jù)（i）和（ii），對于所有n1，有ann + 2（10分）由an + 1 = an (an n) + 1及，對k2，有ak = ak 1 (ak1 k + 1) + 1ak 1 (k 1 + 2 k + 1) + 1 = 2ak1 + 1，ak + 12 (ak1 + 1)22 (ak 2 + 1)23 (ak 3 + 1)2k1 (a1 + 1)而，于是當k2時，（13分）21【解析】(1)由于， 解得a2=2，b2=1，從而所求橢圓的方程為（2分）三點共線，而點N的坐標為（2，0）設直線AB的方程為，其中k為直線AB的斜率，依條件知k0由消去x得即根據(jù)條件可知解得，依題意取 （5分）設，則根據(jù)韋達定理，得又由