高一數(shù)學(xué) 3.3.1 幾何概型 2課件 新人教A版必修3.ppt

必修3幾何概型 復(fù)習(xí) 古典概型的兩個基本特點(diǎn) 1 所有的基本事件只有有限個 2 每個基本事件發(fā)生都是等可能的 那么對于有無限多個試驗(yàn)結(jié)果的情況相應(yīng)的概率應(yīng)如何求呢 1 取一根長度為30cm的繩子 拉直后在任意位置剪斷 那么剪得兩段的長度都不小于10cm的概率有多大 從30cm的繩子上的任意一點(diǎn)剪斷 基本事件 問題情境 2 射箭比賽的箭靶是涂有五個彩色的分環(huán) 從外向內(nèi)為白色 黑色 藍(lán)色 紅色 靶心是金色 金色靶心叫 黃心 奧運(yùn)會的比賽靶面直徑為122cm 靶心直徑為12 2cm 運(yùn)動員在70m外射箭 假設(shè)每箭都能中靶 且射中靶面內(nèi)任一點(diǎn)都是等可能的 那么射中黃心的概率是多少 射中靶面直徑為122cm的大圓內(nèi)的任意一點(diǎn) 這兩個問題能否用古典概型的方法來求解呢 基本事件 問題情境 對于一個隨機(jī)試驗(yàn) 我們將每個基本事件理解為從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn) 該區(qū)域中的每一個點(diǎn)被取到的機(jī)會都一樣 而一個隨機(jī)事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個指定區(qū)域中的點(diǎn) 這里的區(qū)域可以是線段 平面圖形 立體圖形等 用這種方法處理隨機(jī)試驗(yàn) 稱為幾何概型 幾何概型的特點(diǎn) 1 基本事件有無限多個 2 基本事件發(fā)生是等可能的 建構(gòu)數(shù)學(xué) 在幾何概型中 事件a的概率的計(jì)算公式如下 例1 取一個邊長為2a的正方形及其內(nèi)切圓 隨機(jī)向正方形內(nèi)丟一粒豆子 求豆子落入圓內(nèi)的概率 數(shù)學(xué)應(yīng)用 數(shù)學(xué)應(yīng)用 數(shù)學(xué)拓展 模擬撒豆子試驗(yàn)估計(jì)圓周率 由此可得 如果向正方形內(nèi)撒顆豆子 其中落在圓內(nèi)的豆子數(shù)為 那么當(dāng)很大時 比值 即頻率應(yīng)接近于 于是有 1 某人午休醒來 發(fā)覺表停了 他打開收音機(jī)想聽電臺整點(diǎn)報(bào)時 求他等待的時間短于10分鐘的概率 2 已知地鐵列車每10min一班 在車站停1min 求乘客到達(dá)站臺立即乘上車的概率 打開收音機(jī)的時刻位于 50 60 時間段內(nèi)則事件a發(fā)生 由幾何概型的求概率公式得p a 60 50 60 1 6即 等待報(bào)時的時間不超過10分鐘 的概率為1 6 例題2 解 記 等待的時間小于10分鐘 為事件a 會面問題 甲 乙二人約定在12點(diǎn)到5點(diǎn)之間在某地會面 先到者等一個小時后即離去 設(shè)二人在這段時間內(nèi)的各時刻到達(dá)是等可能的 且二人互不影響 求二人能會面的概率 解 以x y分別表示甲 乙二人到達(dá)的時刻 于是 即點(diǎn)m落在圖中的陰影部分 所有的點(diǎn)構(gòu)成一個正方形 即有無窮多個結(jié)果 由于每人在任一時刻到達(dá)都是等可能的 所以落在正方形內(nèi)各點(diǎn)是等可能的 m x y 二人會面的條件是 012345 y x 54321 y x 1 y x 1 記 兩人會面 為事件a 練習(xí) 假設(shè)你家訂了一份報(bào)紙 送報(bào)人可能在早上6 30 7 30之間把報(bào)紙送到你家 你父親離開家去工作的時間在早上7 00 8 00之間 問你父親在離開家前能得到報(bào)紙 稱為事件a 的概率是多少 解 以橫坐標(biāo)x表示報(bào)紙送到時間 以縱坐標(biāo)y表示父親離家時間建立平面直角坐標(biāo)系 由于隨機(jī)試驗(yàn)落在方形區(qū)域內(nèi)任何一點(diǎn)是等可能的 所以符合幾何概型的條件 根據(jù)題意 只要點(diǎn)落到陰影部分 就表示父親在離開家前能得到報(bào)紙 即時間a發(fā)生 所以 歸納 對于復(fù)雜的實(shí)際問題 解題的關(guān)鍵是要建立模型 找出隨機(jī)事件與所有基本事件相對應(yīng)的幾何區(qū)域 把問題轉(zhuǎn)化為幾何概率問題 利用幾何概率公式求解 練習(xí) 一海豚在水池中自由游弋 水池為長30m 寬20m的長方形 求此海豚離岸邊不超過2m的概率 例3 在1l高產(chǎn)小麥種子中混入了一粒帶麥銹病的種子 從中隨機(jī)取出10ml 含有麥銹病種子的概率是多少 5 有一杯1升的水 其中含有1個大腸桿菌 用一個小杯從這杯水中取出0 1升 求小杯水中含有這個細(xì)菌的概率 練一練 問題 例 某商場為了吸引顧客 設(shè)立了一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤 并規(guī)定 顧客每購買100元的商品 就能獲得一次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機(jī)會 如果轉(zhuǎn)盤停止時 指針正好對準(zhǔn)紅 黃或綠的區(qū)域 顧客就可以獲得100元 50元 20元的購物券 轉(zhuǎn)盤等分成20份 甲顧客購物120元 他獲得購物券的概率是多少 他得到100元 50元 20元的購物券的概率分別是多少 例2 兩根相距8m的木桿上系一根拉直繩子 并在繩子上掛一盞燈 求燈與兩端距離都大于3m的概率 數(shù)學(xué)應(yīng)用 解 記 燈與兩端距離都大于3m 為事件a 由于繩長8m 當(dāng)掛燈位置介于中間2m時 事件a發(fā)生 于是 用幾何概型解簡單試驗(yàn)問題的方法 1 適當(dāng)選擇觀察角度 把問題轉(zhuǎn)化為幾何概型求解 2 把基本事件轉(zhuǎn)化為與之對應(yīng)的區(qū)域d 3 把隨機(jī)事件a轉(zhuǎn)化為與之對應(yīng)的區(qū)域d 4 利用幾何概型概率公式計(jì)算 注意 要注意基本事件是等可能的