《向量的數(shù)乘運算及其幾何意義》教學設計.doc

2.2.3 向量的數(shù)乘運算及幾何意義教學設計溫江二中 何汝兵一、教材分析：向量具有豐富的實際背景和幾何背景，向量既有大小，又有方向.但是引進向量，而不研究它的運算，則向量只是起到一個路標的作用；向量只有引進運算后才顯得威力無窮.本章從第二節(jié)開始學習向量的加法、減法運算及其幾何意義；本節(jié)接著學習向量的數(shù)乘運算及其幾何意義.向量數(shù)乘運算以及加法、減法統(tǒng)稱為向量的三大線性運算，向量的數(shù)乘運算其實是加法運算的推廣及簡化.教學時從加法入手，引入數(shù)乘運算，充分體現(xiàn)了數(shù)學知識之間的內(nèi)在聯(lián)系.實數(shù)與向量的乘積仍然是一個向量，既有大小，又有方向.特別是方向與已知向量是共線向量，進而引出共線向量定理.這樣平面內(nèi)任意一條直線就可以用點A和某個向量表示了.共線向量定理是本章節(jié)的重要的內(nèi)容，應用相當廣泛，且容易出錯，尤其是定理的前提條件：向量是非零向量.共線向量的應用主要用于證明點共線或線平行等，且與后學的知識有著密切的聯(lián)系.二、學情分析： 學生在已經(jīng)學習了近一學期的高中課程內(nèi)容后，在思想和思維模式上已經(jīng)適應了高中的課程和高中的教學方式。學生能適應自主探究、師生互動的學習方式，動手操作能力強，勇于創(chuàng)新，敢于發(fā)表自己的見解。只要教師創(chuàng)設情境合理，精心設計問題串，循序漸進層層深入，學生能很快地構建起新的數(shù)學知識，教師只要作必要的歸納，就會幫助學生上升到理性認識的層面。同時為了更熟練地掌握知識和應用知識，需加強學生的課堂練習。三、教學目標：1、知識與技能 通過經(jīng)歷探究數(shù)乘運算法則及其幾何意義的過程，掌握實數(shù)與向量積的定義；理解實數(shù)與向量積的幾何意義；掌握實數(shù)與向量積的運算律。2、過程與方法通過師生互動理解兩個向量共線的等價條件，能夠運用兩向量共線條件判斷兩向量是否平行，進而判定點共線或直線平行。3、情感態(tài)度與價值觀通過探究，體會類比遷移的思想方法，滲透研究新問題的思想和方法（從特殊到一般、分類討論、轉化化歸、觀察、猜想、歸納、類比、總結等）；培養(yǎng)創(chuàng)新能力和積極進取精神；通過具體問題，體會數(shù)學在實際生活中的重要作用。四、教學重難點教學重點：1理解并掌握向量數(shù)乘的定義及幾何意義；2熟練地掌握和運用實數(shù)與向量積的運算律；3掌握向量共線定理，會判定或證明兩向量共線。教學難點：對向量共線的等價條件的理解以及運用。五、教具選取三角板、投影儀、多媒體輔助教學。六、教學基本流程實例引入 探究：觀察、發(fā)現(xiàn)和類比 向量數(shù)乘運算的定義及其幾何意義口答題、練習題向量數(shù)乘運算律及其幾何意義例1及鞏固練習練習共線向量定理例3、例4講解歸納總結變式一、變式二講解例2講解課堂作業(yè)課堂小結作業(yè)布置七、教學過程教學環(huán)節(jié)教學內(nèi)容教師活動學生活動設計意圖復習回顧向量的加法、向量的減法教師提問學生回答復習回顧，引發(fā)新知引入新課已知非零向量，作出+和（）+（）+（）想一想：它們的大小和方向有什么變化？學生作圖，觀察并思考認識和理解向量數(shù)乘的幾何意義必須從幾何直觀入手，即通過讓學生自己作圖，以及獨立觀察、思考，讓學生對向量的伸縮有一個初步的感性認識，進而為下一步對向量的數(shù)乘的定義及其幾何意義的理性認識作好鋪墊。新課講解實數(shù)與向量的積的定義：一般地，實數(shù)與向量的積是一個向量，記作，它的長度與方向規(guī)定如下：（1）；（2）當時，的方向與的方向相同；當時，的方向與的方向相反；當 時，問題1：請大家根據(jù)上述問題并作一下類比，看看怎樣定義實數(shù)與向量的積？小組合作交流，學生單獨作答通過引出向量的數(shù)乘的定義，讓學生體會從特殊到一般的思想方法問題2：你能說明它的幾何意義嗎？小組合作交流，學生單獨作答從從直觀入手，從具體開始，逐步抽象。通過師生互動，得到向量數(shù)乘的幾何意義是把向量沿的方向或反方向伸長或縮短倍。說一說：抽學生回答，并指出其幾何意義通過簡單口答題來鞏固學生對向量數(shù)乘的理解及應用，同時滲透幾何問題向量化的一種思考方式。練一練：教材P90 練習2、3題學生單獨作答從心理學認為：概念一旦形成，必須及時鞏固實數(shù)與向量的積的運算律：（1）（結合律）；（2）（第一分配律）；（3）（第二分配律）問題4：數(shù)的運算和運算律是緊密相連的，運算律可以有效地簡化運算。類比數(shù)的乘法的運算律，你能說出數(shù)乘的運算律嗎？小組交流探討數(shù)學中引進一個新的量自然要看看它的運算及其運算律的問題。向量運算可以與學生熟悉的數(shù)的運算進行類比，從中得到啟發(fā)。而書的運算和運算律是緊密相連的，運算律可以有效的簡化運算。類比數(shù)的乘法的運算律引出數(shù)乘向量的運算律。問題5：你能解釋上述運算律的幾何意義嗎？小組交流探討例1 計算：（1）； （2）；（3）提問、及時評價獨立完成，單獨回答從心理學認為：概念一旦形成，必須及時鞏固，通過例1加深學生對數(shù)乘向量運算律的理解。練一練教材P90 練習5題學生單獨作答及時練習，及時鞏固，反饋學生的學習情況向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算。對于任意的向量，以及任意實數(shù)，恒有本節(jié)作為向量線性運算的最后一節(jié)，有必要綜合認識向量線性運算。對于向量、，如果有一個實數(shù)，使，那么由向量數(shù)乘的定義知與共線，且向量是向量模的倍，而的正負由向量、的方向所決定.反過來，已知向量與共線，且向量的長度是向量的長度的倍，即，那么當與同方向時，有；當與反方向時，有.從上述兩方面可知（板書）共線向量定理：向量、共線，當且僅當有一個實數(shù)，使得.問題6：引入數(shù)乘向量后，你能發(fā)現(xiàn)數(shù)乘向量與原向量的位置關系嗎？思考: 1) 為什么要是非零向量?2) 可以是零向量嗎?3) 怎樣理解向量平行？與兩直線平行有什么異同？合作交流，獨立作答.師生共同活動引出向量共線的定理；引導學生理解向量共線只需看這兩個向量的方向相同或是相反，在向量的前提下，向量、共線，當且僅當有一個實數(shù)，使得；且實數(shù)的唯一性是由向量和的模和方向同時決定.通過學生合作交流，促進學生合作的集體意識；通過學生獨立作答，提高學生分析問題、解決問題的能力.練一練教材P90練習題4題學生單獨作答從心理學認為：概念一旦形成，必須及時鞏固引導學生思考學生思考作答共線向量定理的應用一：判斷兩向量是否共線引導學生思考學生思考作答共線向量定理的應用二：判斷三點共線引導學生思考學生思考作答共線向量定理的應用三：判斷直線平行例3.如圖，已知任意兩個向量試作出你能判斷A、B、C三點之間的位置關系嗎？為什么？引導學生思考學生思考作答這道例題是先讓學生猜想，再證明；利用向量共線證明點共線，具體方法是先證明向量共線，再證明向量有公共點；進而引出利用向量共線證明直線平行.例4.如圖，ABCD的兩條對角線相交于點M，且，你能用表示嗎？引導學生思考學生思考作答綜合運用向量的加、減、數(shù)乘等向量的線性運算.使學生明確：有了向量的線性運算，平面中的點、線段（直線）就可以得到向量表示，這是利用向量解決幾何問題的重要步驟.課堂小結一、 的定義及運算律； 向量共線定理， 向量與共線.二、 定理的應用：（1） 證明向量共線；（2） 證明三點共線；A、B、C三點共線；（3） 證明兩直線平行： 直線AB直線CD.三、你體會到了那些數(shù)學思想.引導學生體會本節(jié)學習中用到的思想方法：特殊到一般，歸納，猜想，類比，分類討論，等價轉化.1.知識性內(nèi)容的總結，可以把課堂教學傳授的知識盡快轉化為學生的素質.2.運用數(shù)學方法，創(chuàng)新素質的小結能讓學生更系統(tǒng)，更深刻地理解數(shù)學理想方法在解題中的地位和作用，并且逐漸培養(yǎng)學生的良好個性品質.3.由學生口頭表述，不僅可以提高學生的綜合概括能力，還能提高學生的口頭表達能力.課后作業(yè)教材P9