經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)41定積分的概念與性質(zhì).ppt

4 1定積分概念與性質(zhì) 4 3積分的基本公式 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 第4章 ESC 第4章積分及其應(yīng)用 4 4換元積分法 4 2不定積分概念與性質(zhì) 4 5分部積分法 4 6無限區(qū)間的廣義積分 4 7積分學(xué)的應(yīng)用 一 定積分定義 ESC 4 1定積分概念與性質(zhì) 二 定積分的幾何意義 4 1定積分概念與性質(zhì) 三 定積分的性質(zhì) ESC 一 定積分定義 規(guī)則圖形的面積 矩形的面積 長寬 長 寬 高 下底 上底 直角梯形的面積 中位線 長為 直角梯形的面積可用矩形面積計(jì)算 ESC 一 定積分定義 一 定積分定義 用若干條平行于軸及軸的直線將圖形分割 所求面積應(yīng)為被分割的所有小面積之和 如左圖 將其放入平面直角坐標(biāo)系中 我們分析 由三條直線和一條曲線圍成 其中兩條直線互相平行 第三條直線與這兩條直線垂直 另一邊為曲線 稱這樣的圖形為曲邊梯形 對(duì)四周的不規(guī)則圖形 面積怎么求 只要將其求出 則大的不規(guī)則圖形面積也即求出 ESC 求不規(guī)則圖形的面積問題 其中 中間部分為矩形 易求面積 求曲邊梯形的面積問題 ESC 一 定積分定義 案例 如何求曲邊梯形的面積 將曲邊梯形放在平面直角坐標(biāo)系中 則由連續(xù)曲線 稱為曲邊梯形 直線 面積 ESC 一 定積分定義 直 曲 在區(qū)間上任意選取分點(diǎn) 每個(gè)小區(qū)間的長度為 其中最長的記作 我們從計(jì)算矩形面積出發(fā)計(jì)算曲邊梯形面積 1 分割 分曲邊梯形為個(gè)小曲邊梯形 ESC 一 定積分定義 過每個(gè)分點(diǎn) 作軸的垂線 把曲邊梯形分成個(gè)窄曲邊梯形 1 分割 分曲邊梯形為個(gè)小曲邊梯形 用表示所求曲邊梯形的面積 表示第個(gè)小曲邊梯形面積 則有 ESC 一 定積分定義 2 近似代替 用小矩形的面積代替小曲邊梯形的面積 在每一個(gè)小區(qū)間上任選一點(diǎn) 用與小曲邊梯形同底 以為高的小矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積 即 ESC 一 定積分定義 3 求和 求個(gè)小矩形面積之和 個(gè)小矩形構(gòu)成的階梯形的面積是 這是原曲邊梯形面積的一個(gè)近似值 即 ESC 一 定積分定義 4 取極限 由近似值過渡到精確值 分割區(qū)間的點(diǎn)數(shù)越多 即越大 且每個(gè)小區(qū)間的長度越短 即分割越細(xì) 階梯形的面積 即和數(shù)與曲邊梯形面積的誤差越小 現(xiàn)將區(qū)間無限地細(xì)分下去 并使每個(gè)小區(qū)間的長度都趨于零 這時(shí) 和數(shù)的極限就是原曲邊梯形面積的精確值 動(dòng)態(tài)描述階梯形面積與曲邊梯形面積的無限接近過程 ESC 一 定積分定義 案例 如何求曲邊梯形的面積 面積 1 分割 2 近似代替 3 求和 4 取極限 經(jīng)以下四步 一 定積分定義 案例 如何求曲邊梯形的面積 1 分割 2 近似代替 3 求和 4 取極限 經(jīng)以下四步 一 定積分定義 案例 如何求曲邊梯形的面積 1 分割 2 近似代替 3 求和 4 取極限 經(jīng)以下四步 A 一 定積分定義 案例 如何求曲邊梯形的面積 1 分割 2 近似代替 3 求和 4 取極限 經(jīng)以下四步 A 一 定積分定義 案例 如何求曲邊梯形的面積 1 分割 2 近似代替 3 求和 4 取極限 經(jīng)以下四步 A 一 定積分定義 案例 如何求曲邊梯形的面積 1 分割 2 近似代替 3 求和 4 取極限 經(jīng)以下四步 A 一 定積分定義 案例 如何求曲邊梯形的面積 1 分割 2 近似代替 3 求和 4 取極限 經(jīng)以下四步 ESC 一 定積分定義 案例 求得曲邊梯形的面積 1 分割 2 近似代替 3 求和 4 取極限 經(jīng) ESC 一 定積分定義 定義4 1 用分點(diǎn) 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上有定義 把區(qū)間分成個(gè)小區(qū)間 其長度 并記 在每一個(gè)小區(qū)間 上任選一點(diǎn) 作乘積的和式 當(dāng)時(shí) 若上述和式的極限存在 且這極限與區(qū)間的分法無關(guān) 與點(diǎn)的取法無關(guān) 則稱函數(shù)在上是可積的 并稱此極限值為函數(shù)在上的定積分 記作 即 ESC 一 定積分定義 積分上限 積分下限 積分變量 積分號(hào) 稱為積分區(qū)間 由定積分定義還可知 案例中 ESC 一 定積分定義 由定積分定義知 積分上限 1 定積分是一個(gè)數(shù)值 該數(shù)值取決于被積函數(shù)和積分區(qū)間 與積分變量無關(guān) 即 積分下限 2 交換定積分的上下限 定積分變號(hào) 即 特別地 有 ESC 一 定積分定義 3 可以證明 如果在區(qū)間上可積 則在區(qū)間上有界 即函數(shù)有界是其可積的必要條件 這一結(jié)論也可以敘述為 如果函數(shù)在區(qū)間上無界 則在上不可積 4 可積的充分條件 且只有有限個(gè)第一類 函數(shù)在上連續(xù) 在上可積 函數(shù)在上有界 在上可積 間斷點(diǎn) ESC 一 定積分定義 例1下列函數(shù)在區(qū)間 1 1 上不可積的是 解 選 在區(qū)間 1 1 上有 無窮型間斷點(diǎn)即無界 學(xué)生思考 為什么選項(xiàng)中的函數(shù)在區(qū)間 1 1 上可積 ESC 二 定積分的幾何意義 特別地 在區(qū)間上 若 則 面積 二 定積分的幾何意義 在區(qū)間上 若 ESC 二 定積分的幾何意義 則圖中陰影部分的面積為 在區(qū)間上 ESC 二 定積分的幾何意義 例2 ESC 用幾何圖形說明下列等式成立 1 1 由定積分的幾何意義 該面積就是作為曲邊的函數(shù)在區(qū)間上的定積分 即 解 二 定積分的幾何意義 ESC 2 解 2 由定積分的幾何意義 該面積就是作為直線的函數(shù)在區(qū)間上的定積分 即 三 定積分的性質(zhì) 性質(zhì)1 ESC 常數(shù)因子可提到積分符號(hào)前 性質(zhì)2 代數(shù)和的積分等于積分的代數(shù)和 例3 ESC 解 計(jì)算定積分 由上述定積分的性質(zhì)及例2 有 由性質(zhì)2 由性質(zhì)1 由例2 1 2 三 定積分的性質(zhì) 三 定積分的性質(zhì) ESC 對(duì)任意三個(gè)數(shù) 總有 1 當(dāng)時(shí) 由定積分的幾何意義可知 曲邊梯形的面積 曲邊梯形的面積 曲邊梯形的面積 即 性質(zhì)3 定積分對(duì)積分區(qū)間的可加性 三 定積分的性質(zhì) 性質(zhì)3 定積分對(duì)積分區(qū)間的可加性 對(duì)任意三個(gè)數(shù) 總有 2 當(dāng)時(shí) 由前一種情形 應(yīng)有 ESC 其他情形可類似推出 例4 ESC 用幾何圖形說明下列等式成立 解 三 定積分的性質(zhì) 1 1 由定積分對(duì)區(qū)間的可加性知 面積 由定積分的幾何意義 故 奇函數(shù) ESC 解 三 定積分的性質(zhì) 2 由定積分對(duì)區(qū)間的可加性知 面積 由定積分的幾何意義 故 2 偶函數(shù) 三 定積分的性質(zhì) ESC 則 則 1 若是奇函數(shù) 即 設(shè)函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上連續(xù) 2 若是偶函數(shù) 即 三 定積分的性質(zhì) ESC 性質(zhì)4 比較性質(zhì) 若函數(shù)和在閉區(qū)間上總有 則 由圖 兩個(gè)曲邊梯形的面積有關(guān)系 的面積 的面積 例5 ESC 比較下列積分值的大小 解 三 定積分的性質(zhì) 由定積分的比較性質(zhì) 1 在區(qū)間上 因 ESC 解 三 定積分的性質(zhì) 由定積分的比較性質(zhì) 2 在區(qū)間上 因 ESC 三 定積分的性質(zhì) 5 1 1 ESC 三 定積分的性質(zhì) 這一性質(zhì)的幾何意義是 由曲線 軸和直線 所圍成的曲邊梯形面積等于區(qū)間上某個(gè)矩形的面積 這個(gè)矩形的底是區(qū)間 其高為區(qū)間內(nèi)某一點(diǎn)處的函數(shù)值 ESC 三 定積分的性質(zhì) 由 5 1 1 式得到的 稱為函數(shù)在區(qū)間上的平均值 例 已知需求函數(shù)為試求出在區(qū)間平均 價(jià)格的表示式 單位 元 ESC 三 定積分的性質(zhì) 解在區(qū)間平均價(jià)格記為 則 例 估計(jì)的值 解令 求導(dǎo)得 令 得 ESC 三 定積分的性質(zhì) 所以 ESC 內(nèi)容小結(jié) 1 定積分的定義 乘積和式的極限 近似計(jì)算 矩形公式 梯形公式 3 定積分的性質(zhì) 4 積分中值定理 連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的平均值公式 2 定積分的幾何意義 ESC 課