高考數(shù)學(一輪)復習精品學案課件：第2章函數(shù)與導數(shù)—定義域與值域.ppt

學案2函數(shù)的定義域與值域 返回目錄 1 定義 在函數(shù)y f x x A中 自變量x的取值范圍A叫做函數(shù)的 對應的函數(shù)值的集合 f x x A 叫做函數(shù)的 2 一般地 設函數(shù)y f x 的定義域為I 如果存在實數(shù)M滿足 1 對于任意的x I 都有f x M m 2 存在x0 I 使得f x0 M m 那么 我們稱M m 是函數(shù)y f x 的 最大 小 值 定義域 值域 考點分析 返回目錄 考點一求函數(shù)的定義域 求下列函數(shù)的定義域 1 2 3 y lg cosx 4 已知函數(shù)f x 的定義域是 0 1 求函數(shù)g x f x a f x a 其中 a 的定義域 題型分析 返回目錄 分析 求函數(shù)定義域 應使函數(shù)的解析式有意義 其主要依據(jù)是 分式函數(shù) 分母不等于零 偶次根式函數(shù) 被開方式 0 一次函數(shù) 二次函數(shù)的定義域為R x0中的底數(shù)x 0 y ax 定義域為R y logax 定義域為 x x 0 2 x 0 x 2 x2 1 0 x 1或x 1 函數(shù)的定義域為 2 2 1 1 2 2 4x 3 0 x 4x 3 1x 5x 4 0 x 函數(shù)的定義域為 解析 1 由 得 2 由 得 返回目錄 25 x2 0cosx 0 5 x 5 2k x 2k k Z 函數(shù)的定義域為 返回目錄 3 由 得 0 a a 1 a a 1 a a 1 a 當0a 函數(shù)g x 的定義域為 a 1 a a 1 a a 1 a 返回目錄 4 由已知 得 即 返回目錄 評析 1 當函數(shù)是由解析式給出時 其定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合 2 當函數(shù)是由實際問題給出時 其定義域的確定不僅要考慮解析式有意義 還要有實際意義 如長度 面積必須大于零 人數(shù)必須為自然數(shù)等 3 若一函數(shù)解析式是由幾個函數(shù)經(jīng)四則運算得到的 則函數(shù)定義域應是同時使這幾個函數(shù)有意義的不等式組的解集 若函數(shù)定義域為空集 則函數(shù)不存在 4 對于 4 題要注意 對在同一對應法則f下的量 x x a x a 所要滿足的范圍是一樣的 函數(shù)g x 中的自變量是x 所以求g x 的定義域應求g x 中的x的范圍 返回目錄 對應演練 若函數(shù)f 2x 的定義域是 1 1 求函數(shù)f log2x 的定義域 y f 2x 的定義域是 1 1 2x 2 y f x 的定義域是 由 log2x 2得 x 4 y f log2x 的定義域是 4 返回目錄 考點二求函數(shù)的值域 求下列函數(shù)的值域 1 2 y x 3 y x 4 y 5 y x 分析 上述各題在求解之前 先觀察其特點 選擇最優(yōu)解法 返回目錄 解析 1 解法一 1 x2 1 0 2 1 y 1 1 即y 1 1 解法二 由y 得x2 x2 0 0 解得 1 y 1 y 1 1 2 解法一 設 t t 0 得x y t t 1 2 1 t 0 y 解法二 1 2x 0 x 定義域為 函數(shù)y x y 在上均為單調遞增 y y 返回目錄 返回目錄 3 解法一 當x 0時 y x 2 4 當且僅當x 2時 取等號 當x 0時 4 當且僅當x 2時 取等號 綜上 所求函數(shù)的值域為 4 4 解法二 先證此函數(shù)的單調性 任取x1 x2且x1 x2 f x1 f x2 x1 x2 當x1 x2 2或2 x1 x2時 f x 遞增 當 2 x 0或0 x 2時 f x 遞減 故當x 2時 f x 極大 f 2 4 當x 2時 f x 極小 f 2 4 所求函數(shù)的值域為 4 4 返回目錄 4 解法一 利用函數(shù)的有界性 將原函數(shù)化為sinx ycosx 2y 即令cos 且sin sin x 平方得3y2 1 y 原函數(shù)的值域為 返回目錄 解法二 數(shù)形結合法或圖象法 原函數(shù)式可化為y 此式可以看作點 2 0 和 cosx sinx 連線的斜率 而點 cosx sinx 的軌跡方程為x2 y2 1 如圖所示 在坐標系中作出圓x2 y2 1和點 2 0 返回目錄 返回目錄 由圖可看出 當過 2 0 的直線與圓相切時 斜率分別取得最大值和最小值 由直線與圓的位置關系 可設直線方程為y k x 2 即kx y 2k 0 解得k 斜率的范圍是 即函數(shù)y 的值域 返回目錄 5 函數(shù)的定義域為 1 1 當x 1 1 時 f x 由f x 0 得 x 0 解得x x 舍去 f 又f 1 1 f 1 1 f x max f f x min f 1 1 值域為 1 評析 求函數(shù)值域 或最值 的常用方法 1 基本函數(shù)法對于基本函數(shù)的值域可通過它的圖象性質直接求解 2 配方法對于形如 y ax2 bx c a 0 或F x a f2 x bf x c a 0 類型的函數(shù)的值域問題 均可用配方法求解 3 換元法利用代數(shù)或三角換元 將所給函數(shù)轉化成易求值域的函數(shù) 形如y 的函數(shù) 令f x t 形如 y ax b a b c d均為常數(shù) ac 0 的函數(shù) 令 t 形如含的結構的函數(shù) 可利用三角代換 令x acos 0 或令x asin 返回目錄 返回目錄 4 不等式法利用基本不等式 a b 2 用此法求函數(shù)值域時 要注意條件 一正 二定 三相等 如 a b 2求某些函數(shù)值域 或最值 時應滿足三個條件 a 0 b 0 a b 或ab 為定值 取等號條件a b 三個條件缺一不可 5 函數(shù)的單調性法確定函數(shù)在定義域 或某個定義域的子集上 的單調性求出函數(shù)的值域 例如 f x ax a 0 b 0 當利用不等式法等號不能成立時 可考慮用函數(shù)的單調性 6 數(shù)形結合法如果所給函數(shù)有較明顯的幾何意義 可借助幾何法求函數(shù)的值域 形如 可聯(lián)想兩點 x1 y1 與 x2 y2 連線的斜率 7 函數(shù)的有界性法形如y 可用y表示出sinx 再根據(jù) 1 sinx 1 解關于x的不等式 可求y的值的范圍 8 導數(shù)法設y f x 的導數(shù)為f x 由f x 0可求得極值點坐標 若函數(shù)定義域為 a b 則最值必定為極值點和區(qū)間端點中函數(shù)值的最大值和最小值 返回目錄 返回目錄 對應演練 求下列函數(shù)的最值與值域 1 y 4 2 y 3 y 1 由3 2x x2 0得函數(shù)定義域為 1 3 又t 3 2x x2 4 x 1 2 t 0 4 0 2 從而 當x 1時 ymin 2 當x 1或x 3時 ymax 4 故值域為 2 4 2 其中 0 y 的值域是 2 2 返回目錄 返回目錄 3 將函數(shù)變形為y 可視為動點M x 0 與定點A 0 1 B 2 2 距離之和 連結AB 則直線AB與x軸的交點 橫坐標 即為所求的最小值點 ymin AB 可求得x 時 ymin 顯然無最大值 故值域為 考點三關于定義域 值域及參數(shù)問題 函數(shù)f x 1 若f x 的定義域為R 求實數(shù)a的取值范圍 2 若f x 的定義域為 2 1 求實數(shù)a的值 分析 1 定義域為R 即不等式 1 a2 x2 3 1 a x 6 0恒成立 2 定義域為 2 1 即 1 a2 x2 3 1 a x 6 0的解集為 2 1 返回目錄 返回目錄 解析 1 若1 a2 0 即a 1 當a 1時 f x 定義域為R 符合 當a 1時 f x 定義域不為R 不合題意 若1 a2 0 則g x 1 a2 x2 3 1 a x 6為二次函數(shù) f x 的定義域為R g x 0對x R恒成立 1 a2 0 9 1 a 2 24 1 a2 0 1 a 1 a 1 11a 5 0 綜合 得a的取值范圍是 a 1 返回目錄 2 命題等價于不等式 1 a2 x2 3 1 a x 6 0的解集為 2 1 顯然1 a2 0 1 a21x1 x2 x1 x2 a1a2 3a 2 0a2 4 解得a 2 評析 本題要注意分類討論 要分1 a2 0和1 a2 0兩種情況 分類一定要做到不重不漏 返回目錄 返回目錄 對應演練 已知函數(shù)f x ax 2 1 a 0 且a 1 1 求函數(shù)f x 的定義域 值域 2 若當x 1 時 f x 0恒成立 求實數(shù)a的取值范圍 1 由4 ax 0 得ax 4 當a 1時 f x 的定義域為 loga4 當0 a 1時 f x 的定義域為 loga4 令t 則t 0 2 y 4 t2 2t 1 4 t 1 2 當t 0 2 時 y 4 t 1 2是減函數(shù) 函數(shù)的值域是 5 3 返回目錄 返回目錄 2 x 1 由 1 知a 1且loga4 1 1 a 4 當a 1時 f x axlna axlna 又a 1 lna 0 f x 0 f x 是關