分?jǐn)?shù)比較大小之萬(wàn)能法.doc

分?jǐn)?shù)專(zhuān)題 第 17 頁(yè) 共 17 頁(yè)分?jǐn)?shù)比較大小之萬(wàn)能法課堂上給孩子講分?jǐn)?shù)比較大小中的“作差法”。師：5/8與8/11哪個(gè)大？生：8/11大。師：為什么？生：1-5/8=3/8，1-8/11=3/11。3/83/11，所以5/88/11師：很好，那為什么大于號(hào)要變成小于號(hào)呢？生：被減數(shù)相同，差越大，減數(shù)越小。師：分?jǐn)?shù)比較大小中，什么時(shí)候用“作差法”呢？生：當(dāng)兩個(gè)分?jǐn)?shù)分子和分母的差相等的時(shí)候，用“作差法”。師：（想：全讓你說(shuō)了，我講什么？哼?。┱l(shuí)能快速的比較出下面分?jǐn)?shù)的大?。浚ò鍟?shū)：18/19和118/119，2005/2008和1998/2001）生：（很快解決）師：有什么規(guī)律，或方法嗎？生：分子和分母的差相等的時(shí)候，分母大的分?jǐn)?shù)就大！師：大家同意嗎？生：同意師：這個(gè)結(jié)論永遠(yuǎn)對(duì)嗎？生：思考中ing.師：比較8/5和10/7的大小生：（開(kāi)始跳躍了，我的學(xué)生都愛(ài)犯這個(gè)毛??！不回答當(dāng)前的問(wèn)題，總想解決過(guò)去沒(méi)有解決的問(wèn)題！）真分?jǐn)?shù)時(shí)。分母大的分?jǐn)?shù)就大！假分?jǐn)?shù)時(shí)，分母大的分?jǐn)?shù)就??！師：終于別你發(fā)現(xiàn)了，這次這個(gè)結(jié)論就完整了！但是前提一定是在分子和分母的差相等的時(shí)候。大家記下來(lái)吧！多好的一個(gè)方法??！生：恩。師：（想：全是學(xué)生發(fā)現(xiàn)的，沒(méi)有成就感。切！再提出一個(gè)課題，讓他們自己研究去，難難他們?。┩瑢W(xué)們，在分子和分母的差相等的時(shí)候，我們可以用上面的方法比較分?jǐn)?shù)的大小，但如果分子和分母的差不相等的時(shí)候，我也想用這個(gè)方法，怎么辦？（注：備課中沒(méi)備到，我發(fā)散了，你們也發(fā)散去吧?。┥核伎紶顜煟罕热绫容^9/25和5/13的大小師：差不相等，但是差好象有點(diǎn)關(guān)系生：2倍關(guān)系師：對(duì)啊，能把差變成相等嗎？生：5/13=10/26，10/269/25，所以5/139/25師：厲害啊！繼續(xù)發(fā)散，差是整數(shù)倍完全可以把差變相等，如果兩個(gè)差不是整數(shù)倍呢？師：隨便出兩個(gè)分?jǐn)?shù)生：2/5生：7/17師：誰(shuí)能解決？生：2/5分子分母的差是3，7/17分母的差是10，2/5=20/50，7/17=21/51，7/172/5師：太好了！當(dāng)分子分母的差相等的時(shí)候我們能比較大小，當(dāng)分子分母的差不相等的時(shí)候，我們能把它們變成相等后比較大小，那么這不就是分?jǐn)?shù)比較大小的萬(wàn)能法嗎？生：萬(wàn)能法，萬(wàn)能法，呵呵！我很開(kāi)心，學(xué)生更開(kāi)心！盡管這個(gè)方法有時(shí)候?qū)σ恍┨厥獾膯?wèn)題運(yùn)用起來(lái)顯的很笨拙，但是我的目的不是讓孩子記住這個(gè)方法，實(shí)際在現(xiàn)實(shí)中他們會(huì)選擇他們自己認(rèn)為的好方法，而是讓他們享受解決問(wèn)題的過(guò)程。第1講 比較分?jǐn)?shù)的大小同學(xué)們從一開(kāi)始接觸數(shù)學(xué)，就有比較數(shù)的大小問(wèn)題。比較整數(shù)、小數(shù)的大小的方法比較簡(jiǎn)單，而比較分?jǐn)?shù)的大小就不那么簡(jiǎn)單了，因此也就產(chǎn)生了多種多樣的方法。 對(duì)于兩個(gè)不同的分?jǐn)?shù)，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三種情況，其中前兩種情況判別大小的方法是：分母相同的兩個(gè)分?jǐn)?shù)，分子大的那個(gè)分?jǐn)?shù)比較大；分子相同的兩個(gè)分?jǐn)?shù)，分母大的那個(gè)分?jǐn)?shù)比較小。第三種情況，即分子、分母都不同的兩個(gè)分?jǐn)?shù)，通常是采用通分的方法，使它們的分母相同，化為第一種情況，再比較大小。由于要比較的分?jǐn)?shù)千差萬(wàn)別，所以通分的方法不一定是最簡(jiǎn)捷的。下面我們介紹另外幾種方法。1.“通分子”。當(dāng)兩個(gè)已知分?jǐn)?shù)的分母的最小公倍數(shù)比較大，而分子的最小公倍數(shù)比較小時(shí)，可以把它們化成同分子的分?jǐn)?shù)，再比較大小，這種方法比通分的方法簡(jiǎn)便。如果我們把課本里的通分稱(chēng)為“通分母”，那么這里講的方法可以稱(chēng)為“通分子”。2.化為小數(shù)。這種方法對(duì)任意的分?jǐn)?shù)都適用，因此也叫萬(wàn)能方法。但在比較大小時(shí)是否簡(jiǎn)便，就要看具體情況了。3.先約分，后比較。有時(shí)已知分?jǐn)?shù)不是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，可以先約分。4.根據(jù)倒數(shù)比較大小。5.若兩個(gè)真分?jǐn)?shù)的分母與分子的差相等、則分母（子）大的分?jǐn)?shù)較大；若兩個(gè)假分?jǐn)?shù)的分子與分母的差相等，則分母（子）小的分?jǐn)?shù)較大。也就是說(shuō)，6.借助第三個(gè)數(shù)進(jìn)行比較。有以下幾種情況：（1）對(duì)于分?jǐn)?shù)m和n，若mk，kn，則mn。（2）對(duì)于分?jǐn)?shù)m和n，若m-kn-k，則mn。前一個(gè)差比較小，所以mn。（3）對(duì)于分?jǐn)?shù)m和n，若k-mk-n，則mn。注意，（2）與（3）的差別在于，（2）中借助的數(shù)k小于原來(lái)的兩個(gè)分?jǐn)?shù)m和n；（3）中借助的數(shù)k大于原來(lái)的兩個(gè)分?jǐn)?shù)m和n。（4）把兩個(gè)已知分?jǐn)?shù)的分母、分子分別相加，得到一個(gè)新分?jǐn)?shù)。新分?jǐn)?shù)一定介于兩個(gè)已知分?jǐn)?shù)之間，即比其中一個(gè)分?jǐn)?shù)大，比另一個(gè)分?jǐn)?shù)小。利用這一點(diǎn)，當(dāng)兩個(gè)已知分?jǐn)?shù)不容易比較大小，新分?jǐn)?shù)與其中一個(gè)已知分?jǐn)?shù)容易比較大小時(shí)，就可以借助于這個(gè)新分?jǐn)?shù)。比較分?jǐn)?shù)大小的方法還有很多，同學(xué)們可以在學(xué)習(xí)中不斷發(fā)現(xiàn)總結(jié)，但無(wú)論哪種方法，均來(lái)源于：“分母相同，分子大的分?jǐn)?shù)大；分子相同，分母小的分?jǐn)?shù)大”這一基本方法。 練習(xí)11.比較下列各組分?jǐn)?shù)的大?。旱?講 巧求分?jǐn)?shù)我們經(jīng)常會(huì)遇到一些分?jǐn)?shù)的分子、分母發(fā)生變化的題目，例如分子或分母加、減某數(shù)，或分子與分母同時(shí)加、減某數(shù)，或分子、分母分別加、減不同的數(shù)，得到一個(gè)新分?jǐn)?shù)，求加、減的數(shù)，或求原來(lái)的分?jǐn)?shù)。這類(lèi)題目變化很多，因此解法也不盡相同。 數(shù)。分析：若把這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子、分母調(diào)換位置，原題中的分母加、減1就變成分子加、減1，這樣就可以用例1求平均數(shù)的方法求出分子、分母調(diào)換位置后的分?jǐn)?shù)，再求倒數(shù)即可。個(gè)分?jǐn)?shù)。分析與解：因?yàn)榧由虾蜏p去的數(shù)不同，所以不能用求平均數(shù)的方法求解。 ，這個(gè)分?jǐn)?shù)是多少？分析與解：如果把這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子與分母調(diào)換位置，問(wèn)題就變?yōu)椋哼@個(gè)分?jǐn)?shù)是多少？于是與例3類(lèi)似，可以求出在例1例4中，兩次改變的都是分子，或都是分母，如果分子、分母同時(shí)變化，那么會(huì)怎樣呢？數(shù)a。分析與解：分子減去a，分母加上a，（約分前）分子與分母之和不變，等于29+43=72。約分后的分子與分母之和變?yōu)?+5=8，所以分子、分母約掉45-43=2。 求這個(gè)自然數(shù)。同一個(gè)自然數(shù)，得到的新分?jǐn)?shù)如果不約分，那么差還是45，新分?jǐn)?shù)約分后變例7 一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子與分母之和是23，分母增加19后得到一個(gè)新分?jǐn)?shù)，分子與分母的和是1+5=6，是由新分?jǐn)?shù)的分子、分母同時(shí)除以426=7得到分析與解：分子加10，等于分子增加了105=2（倍），為保持分?jǐn)?shù)的大小不變，分母也應(yīng)增加相同的倍數(shù)，所以分母應(yīng)加82=16。在例8中，分母應(yīng)加的數(shù)是在例9中，分子應(yīng)加的數(shù)是由此，我們得到解答例8、例9這類(lèi)分?jǐn)?shù)問(wèn)題的公式：分子應(yīng)加（減）的數(shù)=分母所加（減）的數(shù)原分?jǐn)?shù)；分母應(yīng)加（減）的數(shù)=分子所加（減）的數(shù)原分?jǐn)?shù)。分析與解：這道題的分子、分母分別加、減不同的數(shù)，可以說(shuō)是這類(lèi)題中最難的，我們用設(shè)未知數(shù)列方程的方法解答。（2x+2）3=（x+5）4，6x+6=4x+20，2x=14，x=7。 練習(xí)2是多少？ 第3講 分?jǐn)?shù)運(yùn)算的技巧對(duì)于分?jǐn)?shù)的混合運(yùn)算，除了掌握常規(guī)的四則運(yùn)算法則外，還應(yīng)該掌握一些特殊的運(yùn)算技巧，才能提高運(yùn)算速度，解答較難的問(wèn)題。1.湊整法與整數(shù)運(yùn)算中的“湊整法”相同，在分?jǐn)?shù)運(yùn)算中，充分利用四則運(yùn)算法則和運(yùn)算律（如交換律、結(jié)合律、分配律），使部分的和、差、積、商成為整數(shù)、整十?dāng)?shù)從而使運(yùn)算得到簡(jiǎn)化。2.約分法3.裂項(xiàng)法若能將每個(gè)分?jǐn)?shù)都分解成兩個(gè)分?jǐn)?shù)之差，并且使中間的分?jǐn)?shù)相互抵消，則能大大簡(jiǎn)化運(yùn)算。例7 在自然數(shù)1100中找出10個(gè)不同的數(shù)，使這10個(gè)數(shù)的倒數(shù)的和等于1。分析與解：這道題看上去比較復(fù)雜，要求10個(gè)分子為1，而分母不同的就非常簡(jiǎn)單了。括號(hào)。此題要求的是10個(gè)數(shù)的倒數(shù)和為1，于是做成：所求的10個(gè)數(shù)是2，6，12，20，30，42，56，72，90，10。的10和30，仍是符合題意的解。4.代數(shù)法5.分組法分析與解：利用加法交換律和結(jié)合律，先將同分母的分?jǐn)?shù)相加。分母為n的分?jǐn)?shù)之和為原式中分母為220的分?jǐn)?shù)之和依次為 練習(xí)38.在自然數(shù)160中找出8個(gè)不同的數(shù)，使這8個(gè)數(shù)的倒數(shù)之和等于1。 第4講 循環(huán)小數(shù)與分?jǐn)?shù)任何分?jǐn)?shù)化為小數(shù)只有兩種結(jié)果，或者是有限小數(shù)，或者是循環(huán)小數(shù)，而循環(huán)小數(shù)又分為純循環(huán)小數(shù)和混循環(huán)小數(shù)兩類(lèi)。那么，什么樣的分?jǐn)?shù)能化成有限小數(shù)？什么樣的分?jǐn)?shù)能化成純循環(huán)小數(shù)、混循環(huán)小數(shù)呢？我們先看下面的分?jǐn)?shù)。（1）中的分?jǐn)?shù)都化成了有限小數(shù)，其分?jǐn)?shù)的分母只有質(zhì)因數(shù)2和5，化因?yàn)?0=235，含有3個(gè)2，1個(gè)5，所以化成的小數(shù)有三位。（2）中的分?jǐn)?shù)都化成了純循環(huán)小數(shù)，其分?jǐn)?shù)的分母沒(méi)有質(zhì)因數(shù)2和5。（3）中的分?jǐn)?shù)都化成了混循環(huán)小數(shù)，其分?jǐn)?shù)的分母中既含有質(zhì)因數(shù)2或5，又含有2和5以外的質(zhì)因數(shù)，化成的混循環(huán)小數(shù)中的不循環(huán)部分的位數(shù)與5，所以化成混循環(huán)小數(shù)中的不循環(huán)部分有兩位。于是我們得到結(jié)論：一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)化為小數(shù)有三種情況：（1）如果分母只含有質(zhì)因數(shù)2和5，那么這個(gè)分?jǐn)?shù)一定能化成有限小數(shù)，并且小數(shù)部分的位數(shù)等于分母中質(zhì)因數(shù)2與5中個(gè)數(shù)較多的那個(gè)數(shù)的個(gè)數(shù)；（2）如果分母中只含有2與5以外的質(zhì)因數(shù)，那么這個(gè)分?jǐn)?shù)一定能化成純循環(huán)小數(shù)；（3）如果分母中既含有質(zhì)因數(shù)2或5，又含有2與5以外的質(zhì)因數(shù)，那么這個(gè)分?jǐn)?shù)一定能化成混循環(huán)小數(shù)，并且不循環(huán)部分的位數(shù)等于分母中質(zhì)因數(shù)2與5中個(gè)數(shù)較多的那個(gè)數(shù)的個(gè)數(shù)。例1判斷下列分?jǐn)?shù)中，哪些能化成有限小數(shù)、純循環(huán)小數(shù)、混循環(huán)小數(shù)？能化成有限小數(shù)的，小數(shù)部分有幾位？能化成混循環(huán)小數(shù)的，不循環(huán)部分有幾位？分析與解：上述分?jǐn)?shù)都是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，并且32=25，21=37，250=253，78=2313，117=3313，850=25217，根據(jù)上面的結(jié)論，得到：不循環(huán)部分有兩位。將分?jǐn)?shù)化為小數(shù)是非常簡(jiǎn)單的。反過(guò)來(lái)，將小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，同學(xué)們可能比較熟悉將有限小數(shù)化成分?jǐn)?shù)的方法，而對(duì)將循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)的方法就不一定清楚了。我們分純循環(huán)小數(shù)和混循環(huán)小數(shù)兩種情況，講解將循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)的方法。1.將純循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)。將上兩式相減，得將上兩式相減，得從例2、例3可以總結(jié)出將純循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)的方法。純循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)的方法：分?jǐn)?shù)的分子是一個(gè)循環(huán)節(jié)的數(shù)字組成的數(shù)，分母的各位數(shù)都是9，9的個(gè)數(shù)與循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同。2.將混循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)。將上兩式相減，得將上兩式相減，得從例4、例5可以總結(jié)出將混循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)的方法?；煅h(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)的方法：分?jǐn)?shù)的分子是小數(shù)點(diǎn)后面第一個(gè)數(shù)字到第一個(gè)循環(huán)節(jié)的末位數(shù)字所組成的數(shù)，減去不循環(huán)數(shù)字所組成的數(shù)所得的差；分母的頭幾位數(shù)字是9，末幾位