第三講 空間位置關(guān)系與綜合題目的向量解法.doc

交流試題 會(huì)員交流資料 第三講空間位置關(guān)系與綜合題目的向量解法知識(shí)梳理知識(shí)盤點(diǎn)一平行關(guān)系（1）所謂直線的方向向量，就是指的向量，一條直線的方向向量有個(gè)。（2）所謂平面的法向量，就是指所在直線與平面垂直的直線，一個(gè)平面的法向量也有個(gè)。1線線平行證明兩條直線平等，只要證明這兩條直線的方向向量是，也可以證這兩條直線平行于同一個(gè)平面的法向量。2線面平行證明線面平行的方法：（1）證明直線的方向向量與平面的法向量；（2）證明能夠在平面內(nèi)找到一個(gè)向量與已知直線的方向向量；（3）利用共面向量基本定理，即證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量是。3面面平行的證明方法：（1）轉(zhuǎn)化為、處理；（2）證明這兩個(gè)平面的法向量是。二垂直關(guān)系4線線垂直：證明線線垂直的方法是證明這兩條直線的方向向量是；5線面垂直的證明方法：（1）證明線面垂直的方法是證明這兩條直線的方向向量是；（2）證明直線與平面內(nèi)的；6面面垂直的證明方法：（1）轉(zhuǎn)化為證明、；（2）證明這兩個(gè)平面的法向量是。特別提醒1.用向量證明立體幾何問(wèn)題，有兩種基本思維：一種是用向量表示幾何量，利用向量的運(yùn)算進(jìn)行判斷；別一種是用向量的坐標(biāo)表示幾何量，共分為三步進(jìn)行判斷：(1)建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量(或坐標(biāo))表示問(wèn)題中的點(diǎn)、線、面，把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；(2)通過(guò)向量的運(yùn)算，研究點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系；(3)根據(jù)運(yùn)算結(jié)果的幾何意義來(lái)解釋相關(guān)問(wèn)題。2用向量知識(shí)證明立體幾何問(wèn)題，仍然離不開立體幾何定理。例如要證明線面平行，只需要證明平面中的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，即轉(zhuǎn)化為證明線線平行問(wèn)題，也就是用向量方法證明直線時(shí)，只需要證明直線的方向向量共線即可。3向量作為溝通“數(shù)”與“形”的橋梁，是利用數(shù)形結(jié)合解題的一種重要載體，只有掌握了向量運(yùn)算的各種幾何意義，才能較好地利用向量這一工具解決實(shí)際問(wèn)題。4以柱體、錐體為依托，考查空間中的線線、線面、面面關(guān)系，以及角和距離是高考的“熱點(diǎn)”，在角題時(shí)，應(yīng)深入挖掘里面的特殊關(guān)系，尤其是垂直關(guān)系，建立空間直角坐標(biāo)系，是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵?；A(chǔ)闖關(guān)1正方體中，是的中點(diǎn)，是底面的中心，是棱上任意一點(diǎn)，則直線與直線所成的角是( )(A) (B) (C) (D)與點(diǎn)的位置有關(guān)2在正方體中，是底面的中心，分別是棱、的中點(diǎn)，則直線( )(A)是與的公垂線 (B)垂直于，但不垂直于(C)垂直于，但不垂直于 (D)與、都不垂直3在正方體中，是異面直線和的公垂線，則直線與的關(guān)系是( )(A)異面直線 (B)平行直線 (C)垂直但不相交 (D)垂直相交4空間中有四點(diǎn)，其中，且，則直線和( )(A)平行 (B)平行或重合 (C)必定相交 (D)必定垂直5設(shè)是平面外一點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則直線與平面的位置關(guān)系是。6已知矩形中，平面，且，若在邊上存在一點(diǎn)，使得，則的取值范圍是。典例精析例1已知是正三棱柱，是的中點(diǎn)，求證：平面剖析證明線面平行問(wèn)題，可以有以下三種方法：(1)利用線面平行的判斷定理，轉(zhuǎn)化為線線平行問(wèn)題；(2)向量與兩個(gè)不共線的向量共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對(duì)，使得，利用共面向量基定理可以證明線面平行問(wèn)題；(3)設(shè)為平面的法向量，要證明直線平面，只需要證明即可。zCxDyBAC1B1A1解證法一：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為，則 從而設(shè)平面的法向量，由，得取，得，由，得，即平面.證法二：如圖所示，記，則，共面， 平面，平面警示利用空間向量方法證明立體幾何中的平行與垂直關(guān)系問(wèn)題，主要運(yùn)用了直線的方向向量與平面的法向量的，同時(shí)也要借助空間中已有的一些關(guān)于平行、垂直的定理。另外，利用向量知識(shí)解題，一般不需要添加輔助線，只是利用向量運(yùn)算及向量基本定理，把要證明的直線或平面用該平面內(nèi)的向量表示即可。變式訓(xùn)練NMD1DCBAC1B1A11 如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為，分別是和上的點(diǎn)，求證：平面.例2(2006年山東高密調(diào)研)如圖，在四棱錐PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD=DC，E、F 分別是AB、PB的中點(diǎn).（）求證：EFCD；（）在平面PAD內(nèi)求一點(diǎn)G，使GF平面PCB，并證明你的結(jié)論。剖析證明線線垂直問(wèn)題，可以利用線線垂直的判定定理，或者證明這兩條直線的方向向量的內(nèi)積為零。 解以DA、DC、DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），設(shè)AD=a，則D（0，0，0）、A（a,0,0）、B(a,a,0)、C(0,a,0)，、（）（）警示本題是一道開放型的綜合題目，以四棱錐為載體，考查線線垂直、線面垂直關(guān)系，對(duì)于此類問(wèn)題，要掌握柱休與錐體特有的性質(zhì)、關(guān)系，在解題時(shí)要充分利用，從而找出隱含條件，促使問(wèn)題的解決。變式訓(xùn)練2正方體的邊長(zhǎng)為4，分別是棱的中點(diǎn)，求證：平面平面.例3(2006年河南開封)已知正四棱柱中，分別為的中點(diǎn)，平面.（I）求二面角平面角的正切值；（II）求點(diǎn)到平面的距離剖析由于題設(shè)中條件中已知平面，而可知的方法向量即為平面的法向量。解 （1）如圖建立坐標(biāo)系，設(shè)zABCDxyA1B1C1D1MN故、 即向量與面垂直設(shè)與面BDN垂直，則即 設(shè)所求二面角為，則， （2）由，在向量方向上的投影為，所以到面的距離為警示若問(wèn)題的題設(shè)中存在垂直關(guān)系時(shí)，建立空間直角坐標(biāo)系大多較為方便；如果不存在時(shí)，應(yīng)選好基底進(jìn)行運(yùn)算，或采用傳統(tǒng)的歐氏幾何法加以證明。變式訓(xùn)練3. 如圖，PD垂直正方形ABCD所在平面，AB2，E是PB的中點(diǎn)，）（1）建立適當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；（2）在平面PAD內(nèi)求一點(diǎn)F，使EF平面PCB例4在正方體中，分別是的中點(diǎn)。(1)證明：平面平面；(2)在上求一點(diǎn)，使得平面.剖析證明面面垂直通常有兩種方法，一是利用面面垂直的判斷定理，轉(zhuǎn)化為證明線面垂直、線線垂直的問(wèn)題去證明，二是證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直。zyxFEMD1A1C1B1DCBA解（1）建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，同理可得平面的法向量.，平面平面.（2）由于點(diǎn)在直線上，設(shè)可得，要使平面，需有，解得.故當(dāng)時(shí)，平面.警示平面的法向量是指所在直線與平面垂直的問(wèn)題，它在解決立體幾何問(wèn)題中有著非常重要的應(yīng)用。一個(gè)平面的法向量有無(wú)窮多個(gè)，一般來(lái)說(shuō)，我們只需求出其中最簡(jiǎn)單的一個(gè)即可。求法向量的方法一般是用待定系數(shù)法，即設(shè)出平面法向量的坐標(biāo)，然后根據(jù)與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量都垂直，即數(shù)量積為0，建立方程組進(jìn)行求解。變式訓(xùn)練：4如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為的正方形，ABEF是矩形，且二面角CABF是直二面角，G是EF的中點(diǎn)，（）求證平面平面；（）求GB與平面AGC所成角的正弦值. 例5（2006年湖北卷）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，是側(cè)棱上的一點(diǎn)，.（）試確定，使得直線與平面所成角的正切值為；（）在線段上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得對(duì)任意的，在平面上的射影垂直于.并證明你的結(jié)論.剖析解決探索性題目的一般方法是假設(shè)存在，然后據(jù)此并結(jié)合已知條件進(jìn)行推理和計(jì)算 ，若沒(méi)有矛盾，則假設(shè)成立，否則假設(shè)錯(cuò)誤，也就是說(shuō)不存在。為此本題可先假設(shè)符合條件的存在，并結(jié)合已知條件進(jìn)行推導(dǎo)。解()建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)所以又由知，為平面的一個(gè)法向量。設(shè)AP與平面所成的角為，則。依題意有解得。故當(dāng)時(shí)，直線AP與平面所成的角的正切值為。（）若在A1C1上存在這樣的點(diǎn)Q，設(shè)此點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則Q(x，1，1)，。依題意，對(duì)任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，等價(jià)于D1QAP即Q為A1C1的中點(diǎn)時(shí)，滿足題設(shè)要求。警示空間向量最適合于解決這類立體幾何中的探索性的問(wèn)題，它不必進(jìn)行復(fù)雜繁難的作圖、論證和推理，只需要通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行判斷，在解題過(guò)程中，往往把“是否存在”的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的坐標(biāo)是否有解”“是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等等，所以使問(wèn)題簡(jiǎn)單、有效地得以解決，在復(fù)習(xí)中要注意運(yùn)用這一方法解題。變式訓(xùn)練5（2006年江西卷）如圖，在三棱錐ABCD中，側(cè)面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜邊，且AD，BDCD1，另一個(gè)側(cè)面是正三角形DCBA（1） 求證：ADBC（2） 求二面角BACD余弦值的大小（3） 在線段AC上是否存在一點(diǎn)E，使ED與面BCD成30角？若存在，確定E的位置；若不存在，說(shuō)明理由。例6(2006年上海春)四棱錐中，底面是一個(gè)平行四邊形，.(1)求證：底面；(2)求四棱錐的體積；(3)對(duì)于向量，定義一種運(yùn)算：，試計(jì)算的絕對(duì)值，說(shuō)明其與四棱錐體積的關(guān)系，并由此猜測(cè)向量這一運(yùn)算的絕對(duì)值的幾何意義。剖析要證底面，只需證明是底面的一個(gè)法向量即可。解(1)又是底面內(nèi)的兩條相交直線，底面.(2)設(shè)與的夾角為，則.(3)，它是四棱錐體積的3倍。據(jù)此可以猜測(cè)：在幾何意義上表示以為棱的平行六面體的體積。警示本題是一道探索性的新定義題目，對(duì)應(yīng)新定義問(wèn)題的解決，一定要讀懂題目中所給出的定義，只有理角清楚了新定義的含義，才能準(zhǔn)確地解決該題。變式訓(xùn)練6(2006年上海南匯區(qū))直三棱柱ABC-A1B1C1的底面為等腰直角三角形，BAC=900，AB=AC=2，AA=2，E, F分別是BC、AA1的中點(diǎn)。求（1）異面直線EF和A1B所成的角。（2）直三棱柱ABC-A1B1C1的體積。能力提升1若向量夾角的余弦值是，則的值為( )(A)2 (B)2(C)2或(D)2或2直線的方向向量為，平面內(nèi)兩共點(diǎn)向量，下列關(guān)系中能表示的是（）（A）= （B）= （C）= (D)以上均不能3以下向量中與向量a（1,2,3），b（3,1,2）都垂直的向量為（）（A）(1,7,5) （B）(1,7,5) （C）(1，7,5)（D）（1，7，5）4在正方體中，棱長(zhǎng)為，分別是和上的點(diǎn)，則與平面的關(guān)系是( )(A)相交 (B)平行 (C)垂直 (D)不能確定 5已知斜三棱柱ABCA1B1C1的底ABC為直角三角形，C=90；側(cè)棱與底面成60角，B1點(diǎn)在底面射影D為BC中點(diǎn),若側(cè)面A1ABB1與C1CBB1成30的二面角，BC=2cm，則四棱錐AB1BCC1的體積是（ ） （） （） （） （） 6在空間四邊形中，分別是和對(duì)角線的中點(diǎn)，則平面與平面的位置關(guān)系是。7在正方體中，分別是與的中點(diǎn)，則與所成的角為。8設(shè)正四棱錐S-ABCD的側(cè)棱之長(zhǎng)為，底面邊長(zhǎng)為，E是SA的中點(diǎn)，則異面直線BE與SC所成的角等于。9在正三棱錐中，已知在棱上，且，若與平面所成的角為，則 10已知三棱錐P-ABC中,PA=PC, APC=ACB=900, BAC=300, 平面PAC平面PBC.求證: 平面PAB平面PBC.11. （2007年高考新方案）如圖所示，已知四棱錐PABCD的底面是直角梯形，ABC=BCD = 90，AB = BC = PB = PC = 2CD，側(cè)面PBC底面ABCD （1）證明：PABD； （2）求二面角P BD C的正切值； （3）求證：平面PAD平面PAB12. (2006年山東濟(jì)寧)如圖,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC=90,AB=BC=a,AA1=2AB，M為CC1上的點(diǎn).（）當(dāng)M在C1C上的什么位置時(shí)，B1M與平面AA1C1C所成的角為30；（）在（）的條件下求B到平面AMB1的距離. 仿真訓(xùn)練一選擇題1在下列命題中：若、共線，則、所在的直線平行；若、所在的直線是異 面直線，則、一定不共面；若、三向量?jī)蓛晒裁?，則、三向量一定也共面；已知三向量、，則空間任意一個(gè)向量總可以唯一表示為 其中正確命題的個(gè)數(shù)為 （ ）(A)0 (B)1 (C)2 (D)32已知（ ）(A)15(B)5(C)3(D)13已知（2，1，3），（1，4，2），（7，5，），若、三向量共 面，則實(shí)數(shù)等于 （ ）(A) (B) (C) (D)4直三棱柱ABCA1B1C1中，若， 則 （ ）(A)+ (B)+ (C)+ (D)+5已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A（3，3，2），B（4，3，7），C（0，5，1），則BC邊上的中線長(zhǎng)為 （ ）(A)2 (B)3 (C)4 (D)56將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折起，使得平面ABD平面BCD，若E是CD的中點(diǎn)，則異面直線AE、BC所成角的正切值為（A） （B） （C）2 （D）7已知為平面外一點(diǎn)，為的兩條斜線段，若，與所成的角的差為45，則的長(zhǎng)為（ ）(A)4 (B)6或8 (C)4或6 (D)88已知，點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為 （ ）ABCC1A1B1D1F1(A) (B) (C) (D)9（2006年廣西柳州）如圖，A1B1C1ABC是直三棱柱，BCA=900，點(diǎn)D1、F1分別是A1B1、A1C1的中點(diǎn)，若BC=CA=CC1，則BD1與AF1所成角的余弦值是 （ ）（A） （B） （C） （D） 10在三棱錐ABCD中，AB=CD=2，E、F分別是AC、BD的中點(diǎn)，且EF=，則AB與CD所成的角為：( ) （） 30 （） 60 （） 90 （） 120BACD11(2007上海浦東)右圖是一個(gè)正方體的表面展開圖，A、B、C均為棱的中點(diǎn)，D是頂點(diǎn)，則在正方體中，異面直線AB和CD的夾角的余弦值為（ ）（A）（B）（C）（D）12（2006年黃岡）如圖，在正三角形ABC中，D、E、F分別為各邊的中點(diǎn)，G、H分別為DE、AC的中點(diǎn)，將ABC沿DE、EF、DF折成三棱錐以后，BG與DH所成的角的余弦值為（）（A）0 （B） （C） （D）二填空題13若A(m1，n1,3)，B(2m,n,m2n)，C(m3,n3,9)三點(diǎn)共線，則m+n= 14在空間四邊形ABCD中，AC和BD為對(duì)角線，G為ABC的重心，E是BD上一點(diǎn)，BE3ED，以，為基底，則 15（2005年山東模擬）若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，且滿足，則點(diǎn)到平面的距離是.16在長(zhǎng)方體中，和與底面所成的角分別為600和450，則異面