一題多解 求雙曲線的離心率.doc

一題多解 求雙曲線的離心率一、典例分析，融合貫通 典例1 【2016年山東卷理科第13題】已知雙曲線，若矩形的四個(gè)頂點(diǎn)在上，的中點(diǎn)為的兩個(gè)焦點(diǎn)，且，則的離心率為 【解法1】直接法由題意，所以，于是點(diǎn)在雙曲線上，代入方程，得，在由得的離心率為.【點(diǎn)睛之筆】直接代入，少走彎路！【解法2】通徑法易得，所以，由，得離心率或（舍去），所以離心率為 【點(diǎn)睛之筆】通徑法，此徑通幽！【點(diǎn)睛之筆】幾何法，利用圖形畫出美好未來！【解后反思】解法1：直接將數(shù)據(jù)代入，直奔主題，不走回頭路！解法2：利用通徑，減少計(jì)算量！解法3：利用數(shù)形結(jié)合法，以形助數(shù)！典例2 【2009全國卷，理4】設(shè)雙曲線(a0, b0)的漸近線與拋物線y=x2+1相切，則該雙曲線的離心率等于（ ）A. B.2 C. D.【點(diǎn)睛之筆】設(shè)而不求法，不求也能求！【解法2】導(dǎo)數(shù)法設(shè)切點(diǎn) 切線斜率 . 又 ，故選C.【點(diǎn)睛之筆】導(dǎo)數(shù)法，快速確定解題方向！【解后反思】解法1:設(shè)而不求法，再也不求人！解法2：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，迅速突破難點(diǎn)，確定解題方略！3. 典例3雙曲線的離心率為e1,雙曲線的離心率為e2, 則 _, e1+e2 的最小值為_. e1e2的最小值為_ .由雙曲線離心率定義知： , 故有.【點(diǎn)睛之筆】均值不等式，不患寡而患不“均”！【解法2】換元法不妨設(shè)，則問題相當(dāng)于：求、的最小值。由均值不等式得： ， ，等號(hào)成立，當(dāng)且僅當(dāng) ，即 ，進(jìn)而推出 即時(shí).而 ， ，等號(hào)成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)（由去分母可得：） .故答案依次為： .【點(diǎn)睛之筆】換元法，換了都說好！【解后反思】解法1：一正二定三相等，解起題來不需等！解法2：換元法，越換越簡練，越換越明了！二、精選試題，能力升級(jí)1.【2018遼寧省八中模擬】已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)為、，在雙曲線上存在點(diǎn)P滿足,則此雙曲線的離心率e的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】B 2.【2018廣東省海珠區(qū)一?！恳阎p曲線的兩條漸近線均與圓相切，且雙曲線的右焦點(diǎn)為該圓的圓心，則的離心率為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】雙曲線的漸近線方程為，即，圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程，半徑為， 雙曲線的兩條漸近線均和圓相切， ， ， 雙曲線離心率對(duì)于，故選C.3.【2018廣西柳州市一?！咳綦p曲線 上存在一點(diǎn)P滿足以為邊長的正方形的面積等于（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】C 4.【2018湖南省永州市一?！恳阎c(diǎn)為雙曲線右支上一點(diǎn)， 分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)為的內(nèi)心（三角形內(nèi)切圓的圓心），若恒有成立，則雙曲線的離心率取值范圍為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】如圖，設(shè)圓與的三邊、分別相切于點(diǎn)，連接、，則，它們分別是的高， 其中是的內(nèi)切圓的半徑，因?yàn)樗裕瑑蛇吋s去得，根據(jù)雙曲線定義，得， 離心率為，雙曲線的離心率取值范圍為，故選A. 5.【2018陜西西工大附中六?！恳阎p曲線的兩條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線分別交于兩點(diǎn)， 為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的面積為，則雙曲線的離心率為( )A. B. 2 C. D. 4【答案】B 6.【2013課標(biāo)全國，理4】已知雙曲線C：(a0，b0)的離心率為，則C的漸近線方程為()Ay By Cy Dyx【答案】：C【解析】：， .a24b2，.漸近線方程為. 7.【2011全國新課標(biāo)，理7】設(shè)直線l過雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)，且與C的一條對(duì)稱軸垂直，l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|為C的實(shí)軸長的2倍，則C的離心率為()A B C 2 D 3【答案】B【解析】8.【2015高考新課標(biāo)1，理5】已知M（）是雙曲線C：上的一點(diǎn)，是C上的兩個(gè)焦點(diǎn)，若，則的取值范圍是( )（A）（-，） （B）（-，） （C）（，） （D）（，）【答案】A【解析】由題知，所以= =，解得，故選A.9.【2018湖南兩市九月調(diào)研】已知為雙曲線的左焦點(diǎn)，定點(diǎn)為雙曲線虛軸的一個(gè)端點(diǎn)，過兩點(diǎn)的直線與雙曲線的一條漸近線在軸右側(cè)的交點(diǎn)為，若，則此雙曲線的離心率為_【答案】 10.【2008全國1，理21】雙曲線的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，兩條漸近線分別為，