Lyapunov穩(wěn)定性.ppt

第三章Lyapunov穩(wěn)定性理論 Lyapunov穩(wěn)定性的定義Lyapunov穩(wěn)定性的定理線性系統(tǒng)Lyapunov穩(wěn)定性分析非線性系統(tǒng)Lyapunov穩(wěn)定性分析應(yīng)用實(shí)例 在SSO LFO中的應(yīng)用 1 Lyapunov穩(wěn)定性的定義 控制系統(tǒng)的首要條件 穩(wěn)定線性定常系統(tǒng) Nyquist穩(wěn)定判據(jù) Routh判據(jù)等線性時(shí)變與非線性 Lyapunov第二法 無(wú)需求出系統(tǒng)的解 但構(gòu)造Lyapunov函數(shù)困難 逐點(diǎn)法與域的方法 1 Lyapunov穩(wěn)定性的定義 系統(tǒng)狀態(tài)方程的解 狀態(tài)空間中的一條軌跡 曲線 1 Lyapunov穩(wěn)定性的定義 系統(tǒng)的平衡狀態(tài) 1 Lyapunov穩(wěn)定性的定義 坐標(biāo)變換 主要研究系統(tǒng)在平衡 坐標(biāo)原點(diǎn) 狀態(tài)的穩(wěn)定性 1 Lyapunov穩(wěn)定性的定義 超球域 歐幾里德范數(shù) n 2 圓 n 3 球 1 Lyapunov穩(wěn)定性的定義 Lyapunov意義下的穩(wěn)定性 1 Lyapunov穩(wěn)定性的定義 Lyapunov意義下的穩(wěn)定性 1 Lyapunov穩(wěn)定性的定義 Lyapunov意義下的穩(wěn)定性 1 Lyapunov穩(wěn)定性的定義 Lyapunov意義下的穩(wěn)定性 1 Lyapunov穩(wěn)定性的定義 Lyapunov意義下的穩(wěn)定性 1 Lyapunov穩(wěn)定性的定義 Lyapunov意義下的穩(wěn)定性 1 Lyapunov穩(wěn)定性的定義 標(biāo)量函數(shù)的正定性 1 Lyapunov穩(wěn)定性的定義 判斷以下標(biāo)量函數(shù)的正定性 1 Lyapunov穩(wěn)定性的定義 Sylvester準(zhǔn)則 判斷二次型標(biāo)量函數(shù)的正定性 2 Lyapunov穩(wěn)定性定理 Lyapunov第一法 2 Lyapunov穩(wěn)定性定理 Lyapunov第一法 2 Lyapunov穩(wěn)定性定理 Lyapunov第二法 基本思路 系統(tǒng)能量衰減 系統(tǒng)將達(dá)到靜止?fàn)顟B(tài)如果存在漸近穩(wěn)定平衡點(diǎn) 則在平衡點(diǎn)處衰減到最小Lyapunov函數(shù) 能量函數(shù) V X t 或V X 無(wú)需求解系統(tǒng)的狀態(tài)方程 2 Lyapunov穩(wěn)定性定理 Lyapunov穩(wěn)定性定理 1 2 Lyapunov穩(wěn)定性定理 Lyapunov穩(wěn)定性定理 1 2 Lyapunov穩(wěn)定性定理 Lyapunov穩(wěn)定性定理 1 2 Lyapunov穩(wěn)定性定理 Lyapunov穩(wěn)定性定理 1 2 Lyapunov穩(wěn)定性定理 Lyapunov穩(wěn)定性定理 2 2 Lyapunov穩(wěn)定性定理 Lyapunov穩(wěn)定性定理 2 2 Lyapunov穩(wěn)定性定理 Lyapunov穩(wěn)定性定理 2 2 Lyapunov穩(wěn)定性定理 Lyapunov穩(wěn)定性定理 3 2 Lyapunov穩(wěn)定性定理 Lyapunov穩(wěn)定性定理 3 2 Lyapunov穩(wěn)定性定理 Lyapunov穩(wěn)定性定理 4 2 Lyapunov穩(wěn)定性定理 Lyapunov穩(wěn)定性定理 4 2 Lyapunov穩(wěn)定性定理 Lyapunov第二法 能夠找到Lyapunov函數(shù) 能量函數(shù) 并判斷出系統(tǒng)是穩(wěn)定的 則系統(tǒng)必為穩(wěn)定 若判斷出系統(tǒng)是不穩(wěn)定的 不能就此判斷系統(tǒng)肯定不穩(wěn)定 2 Lyapunov穩(wěn)定性定理 3 線性系統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定性分析 線性定常系統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定性分析 3 線性系統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定性分析 確定使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的K的范圍 4 非線性系統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定性分析 線性系統(tǒng) 局部漸近穩(wěn)定 大范圍漸近穩(wěn)定 非線性系統(tǒng) 大范圍不是漸近穩(wěn)定 但在局部可能是漸近穩(wěn)定 4 非線性系統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定性分析 找出原點(diǎn)周?chē)畲蠓秶鷥?nèi)滿足穩(wěn)定條件的能量函數(shù) 4 非線性系統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定性分析 克拉索夫斯基方法變量梯度法Lure型Lyapunov函數(shù) 4 非線性系統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定性分析 Lure非線性控制系統(tǒng) 即先將系統(tǒng)的非線性部分孤立出來(lái) 將其視為余下線性系統(tǒng)的反饋控制 這就使得該非線性系統(tǒng)具有反饋控制系統(tǒng)的形式 尋找使這個(gè)反饋控制系統(tǒng)在不確定性約束條件下具有絕對(duì)穩(wěn)定性的充分必要條件的問(wèn)題就是著名的魯里葉問(wèn)題 4 非線性系統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定性分析 Lure非線性控制系統(tǒng) 逐點(diǎn)法域的方法 4 非線性系統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定性分析 4 非線性系統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定性分析 5 應(yīng)用實(shí)例 在SSO中的應(yīng)用 次同步諧振SSR subsynchronousresonance次同步振蕩SSO subsynchronousoscillation 1970和1971年 美國(guó)mohave電廠兩臺(tái)大型機(jī)組的大軸損壞 線路電流中包含30 5Hz的振蕩分量 與軸系二階固有振蕩頻率互補(bǔ) 汽輪發(fā)電機(jī)帶串聯(lián)補(bǔ)償 SSR 軸系扭振各種開(kāi)關(guān)操作 HVDC PSS SVC等都可能引起 SSO我國(guó) 1980年代發(fā)生了幾次 目前比較嚴(yán)重 尤其是TCSC的線路 5 應(yīng)用實(shí)例 在SSO中的應(yīng)用 SSR SSO 5 應(yīng)用實(shí)例 在SSO中的應(yīng)用 IEEE工作組第一標(biāo)準(zhǔn)模型 SSR SSO 5 應(yīng)用實(shí)例 在SSO中的應(yīng)用 SSR SSO IEEE第二標(biāo)準(zhǔn)模型 5 應(yīng)用實(shí)例 在SSO中的應(yīng)用 Lyapunov第二法 基于魯里葉型Lyapunov函數(shù)的電力系統(tǒng)次同步諧振穩(wěn)定運(yùn)行域的分析 SSR的IEEE第一基準(zhǔn)軸系模型 D1 D6 分別為對(duì)應(yīng)軸系的自阻尼系數(shù) k1 k5 為相鄰兩段軸系間的彈性系數(shù) M1 M6 分別為對(duì)應(yīng)軸系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 軸系運(yùn)動(dòng)方程 基于魯里葉型Lyapunov函數(shù)的電力系統(tǒng)次同步諧振穩(wěn)定運(yùn)行域的分析 式中 i 1 2 3 4 5 6 k0 k6 0 T5 P0sin T6 0 Ti為對(duì)應(yīng)段的輸入轉(zhuǎn)矩或功率 為對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)角和角速度 為工頻 為了求得軸系平衡點(diǎn) 令 只有當(dāng)時(shí)軸系才有穩(wěn)定運(yùn)行點(diǎn) 其中 此時(shí)軸系存在兩類似孤立的以2 為周期的平衡點(diǎn) 分別為 只有是穩(wěn)定的 僅需考察在其鄰域內(nèi)的局部漸進(jìn)穩(wěn)定性 令 軸系方程可改寫(xiě)為 僅當(dāng)時(shí) 才是Lure控制系統(tǒng) 要求 改寫(xiě)為標(biāo)準(zhǔn)的Lure控制系統(tǒng) 對(duì)于Lure系統(tǒng) 可構(gòu)造如下的Lyaponov函數(shù) 成立的充分條件是 由于A矩陣是正半定 故條件 1 成立 條件 8 成立的充分條件是由于 故可取和 以上條件簡(jiǎn)化為 只要以上條件成立 則構(gòu)造的即為L(zhǎng)yapunov函數(shù) 5 應(yīng)用實(shí)例 在LFO中的應(yīng)用 低頻振蕩LFO Lowfrequencyoscillation 由于系統(tǒng)本身的阻尼不足 很小的擾動(dòng)就可能使一些阻尼很弱的模態(tài)激發(fā)出來(lái) 表現(xiàn)為發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子角之間的搖擺 聯(lián)絡(luò)線上的功率持續(xù)振蕩 5 應(yīng)用實(shí)例 在LFO中的應(yīng)用 電網(wǎng)規(guī)模越來(lái)越大區(qū)域電網(wǎng)互聯(lián)高增益勵(lì)磁調(diào)節(jié)器的廣泛使用 低頻振蕩增多的原因 1996 8 10美國(guó)WECC大停電典型的由于低頻振蕩造成的大面積停電事故 我國(guó) 隨著大區(qū)聯(lián)網(wǎng)的出現(xiàn) 低頻振蕩現(xiàn)象也逐漸增多 其嚴(yán)重性甚至超過(guò)暫態(tài)穩(wěn)定性 成為系統(tǒng)安全穩(wěn)定運(yùn)行主要障礙 5 應(yīng)用實(shí)例 在LFO中的應(yīng)用 10 29 2005年10月29日22 21 22 26 振蕩頻率0 77Hz 鄂西北存在弱阻尼振蕩模式 7 1 2006年7月1日21 00 21 06 振蕩頻率1 1 2Hz 河南500kV系統(tǒng)故障 5 應(yīng)用實(shí)例 在LFO中的應(yīng)用 特征值法 特征值 特征向量 阻尼比 相關(guān)因子 目前電力系統(tǒng)認(rèn)為 阻尼比大于3 即表明系統(tǒng)阻尼較強(qiáng) 5 應(yīng)用實(shí)例 在LFO中的應(yīng)用 振蕩衰減到10 所需的周波數(shù)為 5 應(yīng)用實(shí)例 在LFO中的應(yīng)用 阻尼比為3 時(shí)振蕩衰減到10 所需的時(shí)間 5 應(yīng)用實(shí)例 在SSO LFO中的應(yīng)用 低頻振蕩LFO Lowfrequencyoscillation 阻尼比為3 時(shí)的振蕩衰減曲線 5 應(yīng)用實(shí)例 在SSO LFO中的應(yīng)用 低頻振蕩LFO Lowfrequencyoscillation 阻尼比為3 時(shí)的振蕩衰減曲線 湖北電網(wǎng)的斗孝線功率振蕩現(xiàn)象 田口法的關(guān)鍵是正交表和信噪比 RSNR 正交表工具用來(lái)確定實(shí)驗(yàn)的方式和次數(shù) 正交表可記為L(zhǎng)c ab 全介正交表滿足c abL 表示正交表c 表示總共要做c次實(shí)驗(yàn)a 表示每個(gè)因素都有a個(gè)水準(zhǔn)B 表示最多可考慮b個(gè)因素田口法通過(guò)將因素的變化視為噪聲 以一種新的指標(biāo) 信噪比 來(lái)表示系統(tǒng)的魯棒性能 SNR越大表示魯棒性能越好 基于田口法與Lyapunov函數(shù)的魯棒性PSS參數(shù)設(shè)計(jì) 式中 r為實(shí)驗(yàn)次數(shù) y為品質(zhì)特性指標(biāo) 分別適用于品質(zhì)特性指標(biāo)越小越好 lowerisbetter LB 一般最好 nominalisbest NB 和越大越好 higherisbetter HB 的不同問(wèn)題的應(yīng)用 基于Lyapunov函數(shù)的系統(tǒng)穩(wěn)定性指標(biāo) 電力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性可描述為式中 x為狀態(tài)向量 u為外部輸入向量 在研究系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定性時(shí) 在平衡點(diǎn)通過(guò)泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式并略去二階及高階項(xiàng) 這樣線性化后能夠得到式中 考慮沒(méi)有外部輸入 此時(shí)的系統(tǒng)方程為可見(jiàn) 在進(jìn)行小干擾穩(wěn)定性分析時(shí) 在運(yùn)行點(diǎn)附近 電力系統(tǒng)可以近似看作一個(gè)線性定常連續(xù)系統(tǒng) 采用二次型Lyapunov函數(shù)Jop來(lái)表征系統(tǒng)在小干擾情況下的穩(wěn)定性能 式中 x為狀態(tài)變量向量 Q為權(quán)重矩陣 基于PSS參數(shù)優(yōu)化的特點(diǎn) 比較關(guān)注的是與發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)速 有關(guān)的信息 因此將Q取為一個(gè)n階方陣 n為狀態(tài)矩陣的階數(shù) 其對(duì)應(yīng)狀態(tài)方程中發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)速變化量 的行和列的對(duì)角線上的元素為1 其余元素均為零 該式反映的是整個(gè)系統(tǒng)在運(yùn)行點(diǎn)附近對(duì)于發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)速變化 的穩(wěn)定性能指標(biāo) 因此需要通過(guò)最小化Jop來(lái)得到最好的穩(wěn)定品質(zhì) 根據(jù)李雅普諾夫第二法 線性連續(xù)定常系統(tǒng)在平衡點(diǎn)x 0為大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定的充要條件是 對(duì)于給定的正定實(shí)對(duì)稱矩陣Q 必存在正定的實(shí)對(duì)稱矩陣P 滿足如下李雅普諾夫方程對(duì)應(yīng)的能量函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)為L(zhǎng)yapunov函數(shù)Jop可改寫(xiě)為 由于系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的 因此x 0 基于線性定常的假設(shè) 可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為式中 P為一個(gè)正定實(shí)對(duì)稱矩陣 x 0 為狀態(tài)變量的初始值向量 基于田口法信噪比的目標(biāo)函數(shù) PSS參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)模型 PSS