正余弦定理解三角形教案.doc

個(gè)性化教案教師姓名學(xué)生姓名填寫(xiě)時(shí)間學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)上課時(shí)間 課題名稱(chēng)正余弦定理解三角形課時(shí)計(jì)劃 教學(xué)目標(biāo)1正、余弦定理解三角形2正、余弦定理判斷三角形的形狀以及計(jì)算三角形的面積3.正余弦定理的實(shí)際應(yīng)用（靈活運(yùn)用）教學(xué)重點(diǎn)難 點(diǎn)1掌握利用正、余弦定理解任意三角形的方法2正、余弦定理判斷三角形的形狀以及計(jì)算三角形的面積【知識(shí)梳理】1正弦定理：2R，其中R是三角形外接圓的半徑由正弦定理可以變形為：(1)abcsin Asin Bsin C；(2)a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；(3)sin A，sin B，sin C等形式，以解決不同的三角形問(wèn)題2余弦定理：a2b2c22bccos_A，b2a2c22accos_B，c2a2b22abcos_C余弦定理可以變形為：cos A，cos B，cos C.3SABCabsin Cbcsin Aacsin B(abc)r(R是三角形外接圓半徑，r是三角形內(nèi)切圓的半徑)，并可由此計(jì)算R，r.4.三角形內(nèi)角和為，故有sin A 0 sin Asin(B+ C)，cos Acos(B+ C)5.三角形大邊對(duì)大角，或者說(shuō)大角對(duì)大邊。即：若ab, A B,sin A sin B 知一推二6.正弦值(不是1)的情況下，對(duì)應(yīng)角度有兩個(gè)，而余弦值與角度一一對(duì)應(yīng)?！境？伎键c(diǎn)】1考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法2考查利用正、余弦定理判斷三角形的形狀以及計(jì)算三角形的面積3.正余弦定理的實(shí)際應(yīng)用（靈活運(yùn)用）【解題關(guān)鍵】1三角函數(shù)及三角恒等變換的基礎(chǔ)2正弦定理、余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化。（通過(guò)正、余定理變形技巧實(shí)現(xiàn)三角形中的邊角轉(zhuǎn)換，解題過(guò)程中做到正余弦定理的正確選擇）3.能利用三角形的判定方法準(zhǔn)確判斷解三角形的情況。4.三角形的邊角關(guān)系（大邊對(duì)大角）、三角形內(nèi)角和180度。5已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，解三角形時(shí)，注意解的情況如已知a，b，A，則A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式absin Aabsin Absin Aabababab解的個(gè)數(shù)無(wú)解一解兩解一解一解無(wú)解【一條規(guī)律】在三角形中，大角對(duì)大邊，大邊對(duì)大角；大角的正弦值也較大，正弦值較大的角也較大，即在ABC中，ABabsin Asin B.【兩類(lèi)問(wèn)題】在解三角形時(shí)，正弦定理可解決兩類(lèi)問(wèn)題：(1)已知兩角及任一邊，求其它邊或角；(2)已知兩邊及一邊的對(duì)角，求其它邊或角情況(2)中結(jié)果可能有一解、兩解、無(wú)解，應(yīng)注意區(qū)分余弦定理可解決兩類(lèi)問(wèn)題：(1)已知兩邊及夾角求第三邊和其他兩角；(2)已知三邊，求各角【兩種途徑】根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：(1)化邊為角；(2)化角為邊，并常用正弦(余弦)定理實(shí)施邊、角轉(zhuǎn)換雙基自測(cè)1(人教A版教材習(xí)題改編)在ABC中，A60，B75，a10，則c等于()A5 B10 C. D5解析由ABC180，知C45，由正弦定理得：，即.c.答案C2在ABC中，若，則B的值為()A30 B45 C60 D90解析由正弦定理知：，sin Bcos B，B45.答案B3(2011鄭州聯(lián)考)在ABC中，a，b1，c2，則A等于()A30 B45 C60 D75解析由余弦定理得：cos A，0A，A60.答案C4在ABC中，a3，b2，cos C，則ABC的面積為()A3 B2 C4 D.解析cos C，0C，sin C，SABCabsin C324.答案C5已知ABC三邊滿(mǎn)足a2b2c2ab，則此三角形的最大內(nèi)角為_(kāi)解析a2b2c2ab，cos C，故C150為三角形的最大內(nèi)角答案150考點(diǎn)一利用正弦定理解三角形【例1】在ABC中，a，b，B45.求角A，C和邊c.審題視點(diǎn) 已知兩邊及一邊對(duì)角或已知兩角及一邊，可利用正弦定理解這個(gè)三角形，但要注意解的判斷解由正弦定理得，sin A.ab，A60或A120.當(dāng)A60時(shí)，C180456075，c；當(dāng)A120時(shí)，C1804512015，c. (1)已知兩角一邊可求第三角，解這樣的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可(2)已知兩邊和一邊對(duì)角，解三角形時(shí)，利用正弦定理求另一邊的對(duì)角時(shí)要注意討論該角，這是解題的難點(diǎn)，應(yīng)引起注意【訓(xùn)練1】 (2011北京)在ABC中，若b5，B，tan A2，則sin A_；a_.解析因?yàn)锳BC中，tan A2，所以A是銳角，且2，sin2Acos2A1，聯(lián)立解得sin A，再由正弦定理得，代入數(shù)據(jù)解得a2.答案2考點(diǎn)二利用余弦定理解三角形【例2】在ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，且.(1)求角B的大?。?2)若b，ac4，求ABC的面積審題視點(diǎn) 由，利用余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系求解解(1)由余弦定理知：cos B，cos C.將上式代入得：，整理得：a2c2b2ac.cos B.B為三角形的內(nèi)角，B.(2)將b，ac4，B代入b2a2c22accos B，得b2(ac)22ac2accos B，13162ac，ac3.SABCacsin B. (1)根據(jù)所給等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)利用余弦定理將角化邊進(jìn)行變形是迅速解答本題的關(guān)鍵(2)熟練運(yùn)用余弦定理及其推論，同時(shí)還要注意整體思想、方程思想在解題過(guò)程中的運(yùn)用【訓(xùn)練2】已知A，B，C為ABC的三個(gè)內(nèi)角，其所對(duì)的邊分別為a，b，c，且2cos2 cos A0.(1)求角A的值；(2)若a2，bc4，求ABC的面積解(1)由2cos2 cos A0，得1cos Acos A0，即cos A，0A，A.(2)由余弦定理得，a2b2c22bccos A，A，則a2(bc)2bc，又a2，bc4，有1242bc，則bc4，故SABCbcsin A.考點(diǎn)三利用正、余弦定理判斷三角形形狀【例3】在ABC中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin C，試判斷ABC的形狀審題視點(diǎn) 首先邊化角或角化邊，再整理化簡(jiǎn)即可判斷解由已知(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin C，得b2sin(AB)sin Ca2sin Csin(AB)，即b2sin Acos Ba2cos Asin B，即sin2Bsin Acos Bsin2Acos Bsin B，所以sin 2Bsin 2A，由于A，B是三角形的內(nèi)角故02A2，02B2.故只可能2A2B或2A2B，即AB或AB.故ABC為等腰三角形或直角三角形 判斷三角形的形狀的基本思想是；利用正、余弦定理進(jìn)行邊角的統(tǒng)一即將條件化為只含角的三角函數(shù)關(guān)系式，然后利用三角恒等變換得出內(nèi)角之間的關(guān)系式；或?qū)l件化為只含有邊的關(guān)系式，然后利用常見(jiàn)的化簡(jiǎn)變形得出三邊的關(guān)系【訓(xùn)練3】 在ABC中，若；則ABC是()A直角三角形 B等邊三角形C鈍角三角形 D等腰直角三角形解析由正弦定理得a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C(R為ABC外接圓半徑).即tan Atan Btan C，ABC.答案B考點(diǎn)四正、余弦定理的綜合應(yīng)用【例3】在ABC中，內(nèi)角A，B，C對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是a，b，c，已知c2，C.(1)若ABC的面積等于，求a，b；(2)若sin Csin(BA)2sin 2A，求ABC的面積審題視點(diǎn) 第(1)問(wèn)根據(jù)三角形的面積公式和余弦定理列出關(guān)于a，b的方程，通過(guò)方程組求解；第(2)問(wèn)根據(jù)sin Csin(BA)2sin 2A進(jìn)行三角恒等變換，將角的關(guān)系轉(zhuǎn)換為邊的關(guān)系，求出邊a，b的值即可解決問(wèn)題解(1)由余弦定理及已知條件，得a2b2ab4.又因?yàn)锳BC的面積等于，所以absin C，得ab4，聯(lián)立方程組解得(2)由題意，得sin(BA)sin(BA)4sin Acos A，即sin Bcos A2sin Acos A.當(dāng)cos A0，即A時(shí)，B，a，b；當(dāng)cos A0時(shí)，得sin B2sin A，由正弦定理，得b2a.聯(lián)立方程組解得所以ABC的面積Sa bsin C. 正弦定理、余弦定理、三角形面積公式對(duì)任意三角形都成立，通過(guò)這些等式就可以把有限的條件納入到方程中，通過(guò)解方程組獲得更多的元素，再通過(guò)這些新的條件解決問(wèn)題【訓(xùn)練3】 (2011北京西城一模)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且cos B，b2.(1)當(dāng)A30時(shí)，求a的值；(2)當(dāng)ABC的面積為3時(shí)，求ac的值解(1)因?yàn)閏os B，所以sin B.由正弦定理，可得，所以a.(2)因?yàn)锳BC的面積Sacsin B，sin B，所以ac3，ac10.由余弦定理得b2a2c22accos B，得4a2c2aca2c216，即a2c220.所以(ac)22ac20，(ac)240.所以ac2.閱卷報(bào)告4忽視三角形中的邊角條件致錯(cuò)【問(wèn)題診斷】 考查解三角形的題在高考中一般難度不大，但稍不注意，會(huì)出現(xiàn)“會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全”的情況，其主要原因就是忽視三角形中的邊角條件.,【防范措施】 解三角函數(shù)的求值問(wèn)題時(shí)，估算是一個(gè)重要步驟，估算時(shí)應(yīng)考慮三角形中的邊角條件.【示例】(2011安徽)在ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)，a，b，12cos(BC)0，求邊BC上的高錯(cuò)因忽視三角形中“大邊對(duì)大角”的定理，產(chǎn)生了增根實(shí)錄由12cos(BC)0，知cos A，A，根據(jù)正弦定理得：sin B，B或.以下解答過(guò)程略正解在ABC中，cos(BC)cos A，12cos(BC)12cos A0，A.在ABC中，根據(jù)正弦定理，sin B.ab，B，C(AB).sin Csin(BA)sin Bcos Acos Bsin A.BC邊上的高為bsin C.【試一試】ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，asin Asin Bbcos2 Aa.(1)求；(2)若c2b2a2，求B.嘗試解答(1)由正弦定理得，sin2Asin Bsin Bcos2Asin A，即sin B(sin2Acos2A)sin A.故sin Bsin A，所以.(2)由余弦定理和c2b2a2，得cos B.由(1)知b22a2，故c2(2)a2.可得cos2B，又cos B0，故cos B，所以B45.【鞏固練習(xí)】1 在銳角中，角所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為.若（）A. B. C. D.2 設(shè)ABC的內(nèi)角A, B, C所對(duì)的邊分別為a, b, c, 若, 則ABC的形狀為（）A直角三角形B銳角三角形C鈍角三角形D不確定3 在,內(nèi)角所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為（）ABCD 4 的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，則的面積為（ ）（A） （B） （C） （D）5.的內(nèi)角的對(duì)邊分別是,若,則（）AB2CD16設(shè)的內(nèi)角所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為,若,則角=（）ABCD7已知銳角的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,則（）ABCD8.在ABC中,則（）ABCD19.已知的內(nèi)角、所對(duì)的邊分別是,.若,則角的大小是_10設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,.(I)求(II)若,求11.在ABC中, 內(nèi)角A, B, C所對(duì)的邊分別是a, b, c. 已知, a = 3, . () 求b的值; () 求的值. 12在銳角ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且2asinB=b .